原码反码补码的范围

### 原码、反码和补码的表示范围及区别 #### 1. 原码的取值范围 原码是一种简单的编码方式，其中最高位为符号位（0表示正数，1表示负数），其余位表示数值本身的绝对值。对于n位二进制数（包含符号位），原码的取值范围如下： - 正数的最大值为 \(2^{(n-1)} - 1\) - 负数的最小值为 \(- (2^{(n-1)} - 1)\) 例如，8位二进制数中原码的取值范围为 \([-127, +127]\)[^2]。需要注意的是，在原码中存在两种零的表示形式：\(+0\) (`0000 0000`) 和 \(-0\) (`1000 0000`)[^2]。 #### 2. 反码的取值范围 反码是为了简化硬件设计而引入的一种编码方式。正数的反码与其原码相同；而对于负数，其反码是将其原码除符号位外按位取反。反码的取值范围与原码一致，仍为 \(-(2^{(n-1)} - 1), 2^{(n-1)} - 1\)[^1]。同样地，反码也具有两个零的形式：\(+0\) (`0000 0000`) 和 \(-0\) (`1111 1111`)[^1]。 #### 3. 补码的取值范围 补码进一步改进了反码的设计，解决了双零问题，并优化了加减法运算中的溢出检测机制。在补码中，正数的编码方式与原码完全相同，而负数则是对其反码再加一得到。对于n位二进制数，补码的取值范围扩展至 \(-2^{(n-1)}, 2^{(n-1)} - 1\)[^1]。这意味着8位二进制数下的补码能覆盖从 \(-128\) 到 \(+127\) 的所有整数值[^1]。由于只有一个零的存在(`0000 0000`)，补码有效地利用了所有的编码空间。 #### 差异总结表 | 编码方式 | 是否有双零 | 正数最大值 | 负数最小值 | | --- | --- | --- | --- | | 原码 | 是 | \(2^{(n-1)} - 1\) | \(- (2^{(n-1)} - 1)\) | | 反码 | 是 | \(2^{(n-1)} - 1\) | \(- (2^{(n-1)} - 1)\) | | 补码 | 否 | \(2^{(n-1)} - 1\) | \(-2^{(n-1)}\) | --- ### 示例代码展示三种编码方式转换过程 以下是 Python 实现的简单函数，演示如何将给定十进制数转化为对应长度的原码、反码和补码： ```python def to_original_code(num, bits): """ 将 num 转化为指定 bit 宽度的原码 """ if num >= 0: return bin(num).replace('0b', '').zfill(bits) else: return '1' + bin(abs(num)).replace('0b', '').zfill(bits - 1) def to_reverse_code(num, bits): """ 将 num 转化为指定 bit 宽度的反码 """ original = to_original_code(num, bits) if num >= 0: return original else: reversed_bits = ''.join(['1' if c == '0' else '0' for c in original[1:]]) return '1' + reversed_bits def to_complement_code(num, bits): """ 将 num 转化为指定 bit 宽度的补码 """ reverse = to_reverse_code(num, bits) if num >= 0: return reverse else: complement_int = int(reverse, 2) + 1 complement_bin = bin(complement_int & ((1 << bits) - 1))[2:].zfill(bits) return complement_bin # 测试用例 num = -5 bits = 8 print(f"{num} 的 {bits}-bit 原码:", to_original_code(num, bits)) print(f"{num} 的 {bits}-bit 反码:", to_reverse_code(num, bits)) print(f"{num} 的 {bits}-bit 补码:", to_complement_code(num, bits)) ``` 运行以上程序会输出 `-5` 在 8-bit 下的不同编码形式。 ---