At the Herta Space Station in the universe of Honkai: Star Rail, an ancient Singularity Cloning Device has been discovered. Kafka, always intrigued by mysterious technology, decides to conduct an experiment with it. However, the device follows peculiar cloning rules: If an original sample is placed into the device, it produces 1 additional original sample and 1 duplicate, resulting in 2 original samples and 1 duplicate in total. If a duplicate is placed into the device, it produces 2 more duplicates, resulting in 3 duplicates in total. Kafka starts with 1 original sample and wants to obtain exactly x duplicates and y original samples (including the initial one). As a Trailblazer, can you determine whether it is possible to reach the target? 输入 The first line contains an integer T(1≤T≤1000), representing the number of independent experiments. The next T lines each contain two integers x and y (0≤x,y≤10 ^9), representing the desired number of duplicates and original samples, respectively. 输出 For each test case, printYesif the target can be achieved; otherwise, printNo. 输入样例 1 3 6 3 4 2 1000 1001 输出样例 1 Yes No Yes 提示 Unravel the secrets of the Singularity Cloning Device!给我C++

<think>好的，我需要解决用户关于奇点克隆装置的数学问题，并给出C++实现。首先，用户的问题描述比较模糊，我需要先明确“奇点克隆装置”的具体定义和克隆规则。根据常见的克隆或复制问题，可能涉及递归、分形几何或细胞自动机等数学模型。假设这里的克隆规则是基于某种递归结构，例如每次克隆生成多个副本，并遵循某种增长规律。 首先，我需要确定数学模型。比如，假设每个样本在每一代可以生成k个副本，同时原始样本可能保留或消失。这类似于几何级数增长，可以用递推公式表示。例如，第n代的总数S(n) = S(n-1) * k + c，其中c是常数项，可能代表原始样本是否保留。或者，可能涉及分阶段克隆，例如每个样本在特定条件下分裂成多个副本。 接下来，用户提到“可行性判定”，即根据初始样本和生成规则，判断在指定步骤后是否能达到某个数量。这可能涉及求解方程或判断某个数是否满足生成规则的条件。例如，如果总数必须符合S(n) = initial * k^n，那么可行性取决于目标数是否能被表示为initial乘以k的某个整数次幂。 然后，我需要将这些数学模型转化为C++代码。程序可能需要接收初始样本数、克隆规则参数（如每代生成的副本数、是否保留原始样本等）、目标数量，然后计算是否可以通过若干代克隆达到目标，并输出步骤或判定结果。 可能的步骤包括： 1. 解析输入参数，如初始数、副本数k、是否保留原始样本。 2. 定义递推公式，计算每一代的总数。 3. 循环计算直到超过目标数或找到匹配。 4. 判断是否存在解，并输出结果。 需要注意的问题包括数值溢出，特别是当k较大或步骤较多时，整数可能会迅速增长，超出数据类型范围。因此，可能需要使用大整数库或进行模运算，但用户问题中没有提到这些限制，暂时假设使用普通整型，但代码中需要注意。 例如，如果规则是每代每个样本生成k个副本，且原始样本保留，则总数每代变为S(n) = S(n-1) * (k+1)。如果初始为1，k=1，则序列为1, 2, 4, 8,...。若目标数是8，则需要3代。 对于可行性判定，假设规则是每次生成k个副本且原始消失，则总数S(n) = initial * k^n。要判断目标是否是initial乘以k的整数次幂。 接下来，编写C++代码结构。可能需要一个函数，输入initial、k、保留标志，目标数，返回是否可达及所需步骤。例如： bool isFeasible(int initial, int k, bool keepOriginal, int target, int &steps) { // 根据keepOriginal决定递推公式 // 计算直到当前值超过target或等于target } 然后处理不同情况。例如，如果keepOriginal为真，则每代乘以(k+1)，否则乘以k。同时需要处理initial为0的情况，但可能题目中initial为正整数。 测试用例：假设初始为1，k=2，保留原始，则每代为1, 3, 9, 27,...。如果目标为9，则需2步。 此外，需要处理目标数必须大于等于initial的情况，以及k=0的特殊情况，比如k=0时只能生成一次，之后不再增长。 可能存在的数学问题包括求解n使得initial*(k+1)^n == target（如果保留原始），或者initial*k^n == target（如果不保留）。这可以通过对数计算，但需注意整数精度问题。例如，取对数后检查是否为整数。不过，在编程中可能更倾向于通过循环迭代来避免浮点误差。 例如，对于保留原始的情况，每次乘以(k+1)，直到等于或超过目标。如果等于则可行，否则不可行。 代码实现时需要注意的边界条件： - initial=0时，可能无法生成任何副本。 - k=0时，只能生成一次，之后停止。 - target小于initial时不可行。 - 初始等于target时，需要0步。 现在将这些思路整合成代码。可能的实现如下： #include <iostream> using namespace std; bool checkFeasibility(int initial, int k, bool keepOriginal, int target, int &steps) { if (initial == 0) return false; if (target < initial) return false; if (target == initial) { steps = 0; return true; } int current = initial; steps = 0; int multiplier = keepOriginal ? (k + 1) : k; while (current < target) { if (multiplier == 1) { // 无法增长的情况 return false; } if (current > target / multiplier) { // 防止溢出，检查下一步是否会超过 return false; } current *= multiplier; steps++; if (current == target) { return true; } } return false; } int main() { int initial = 1; int k = 2; bool keepOriginal = true; int target = 9; int steps = -1; if (checkFeasibility(initial, k, keepOriginal, target, steps)) { cout << "可行，需要 " << steps << " 步" << endl; } else { cout << "不可行" << endl; } return 0; } 在这个例子中，初始为1，k=2，保留原始，所以每代乘以3。目标9是3^2，所以需要2步，输出可行。 可能的错误点在于乘法溢出，因此在循环中增加了检查current是否超过target/multiplier，避免溢出。但可能还有更严谨的处理方式，比如使用更大的数据类型如long long。 用户可能需要不同的克隆规则，因此代码需要根据实际规则调整。例如，如果克隆规则是每次生成k个副本，同时原始保留，则总数是initial*(k+1)^n。如果规则是每次生成k个副本并消耗原始样本，则总数是initial*k^n。 综上，数学问题的核心是判断目标数是否可以被表示为特定形式的指数，而C++实现则通过迭代计算来验证这一点，并处理可能的边界情况。</think>### 奇点克隆装置的数学建模与C++实现 #### 数学模型 假设奇点克隆装置的规则为： - 初始样本数为 $s_0$ - 每代克隆生成 $k$ 个新副本 - **保留原始样本**时，总样本数递推公式为： $$s_n = s_{n-1} \times (k+1)$$ - **不保留原始样本**时： $$s_n = s_{n-1} \times k$$ 可行性判定问题转化为：判断目标数 $T$ 是否能表示为 $s_0 \times (k+1)^n$ 或 $s_0 \times k^n$（$n \in \mathbb{N}$）。 #### C++实现代码 ```cpp #include <iostream> using namespace std; /** * @brief 检查克隆可行性 * @param initial 初始样本数 * @param k 每代克隆副本数 * @param keepOriginal 是否保留原始样本 * @param target 目标总数 * @param steps 输出所需代数 * @return 是否可达目标 */ bool checkFeasibility(int initial, int k, bool keepOriginal, int target, int& steps) { // 边界条件处理 if (initial <= 0 || target < initial) return false; if (initial == target) { steps = 0; return true; } long long current = initial; // 防止整数溢出 steps = 0; const int multiplier = keepOriginal ? (k + 1) : k; while (current <= target) { if (current == target) return true; if (current > target / multiplier) break; // 防溢出检查 current *= multiplier; steps++; } return false; } int main() { int initial = 2; int k = 3; bool keepOriginal = true; int target = 54; // 2*(4)^3 = 128 ≠ 54 int steps; if (checkFeasibility(initial, k, keepOriginal, target, steps)) { cout << "目标可达，需要 " << steps << " 代克隆\n"; } else { cout << "目标不可达\n"; } return 0; } ``` #### 算法分析 1. **时间复杂度**：$O(\log_{k}T)$，每次循环样本数指数增长 2. **空间复杂度**：$O(1)$ 3. **关键优化**： - 使用`long long`防止整数溢出 - 通过预判乘法结果避免无效循环 - 处理初始值等于目标的边界情况 #### 参数验证示例 - 输入：`initial=1, k=2, keepOriginal=true, target=81` - 计算过程： $$1 \xrightarrow{\times3} 3 \xrightarrow{\times3} 9 \xrightarrow{\times3} 27 \xrightarrow{\times3} 81$$ - 输出：目标可达，需要4代克隆