滤波slam和优化slam

### 卡尔曼滤波和粒子滤波在SLAM中的MATLAB实现 #### 卡尔曼滤波器简介 卡尔曼滤波是一种递归算法，用于估计线性动态系统的状态。该方法通过预测更新阶段来最小化均方误差[^1]。 ```matlab function [x,P]=kalman_filter(z,Q,R,H,F,B,u,x,P) % z: 测量值 % Q: 过程噪声协方差矩阵 % R: 测量噪声协方差矩阵 % H: 观测模型 % F: 状态转移模型 % B: 控制输入模型 % u: 输入向量 % x: 初始状态估计 % P: 初始估计误差协方差 % 预测过程 x_pred = F*x + B*u; P_pred = F*P*F' + Q; % 更新过程 K = P_pred * H' / (H * P_pred * H' + R); x = x_pred + K*(z - H*x_pred); P = (eye(size(x)) - K*H)*P_pred; end ``` 此函数实现了标准的离散时间卡尔曼滤波器，适用于线性和高斯分布的情况。 #### 粒子滤波器简介 对于非线性或非高斯系统，则可以采用基于蒙特卡洛模拟的方法——即粒子滤波。这种方法利用一系列加权样本（称为“粒子”）近似表示概率密度函数，并随着新数据的到来不断调整这些权重以反映最新信息[^2]。 ```matlab function [X,W] = particle_filter(X,prediction_model,measurement_model,z,N) % X: 当前时刻所有粒子的状态集合 % prediction_model: 系统运动学模型 % measurement_model: 传感器观测模型 % z: 实际测量值 % N: 总共使用的粒子数量 for i=1:N % 使用给定的动力学方程预测下一个位置 X(i,:) = prediction_model(X(i,:)); % 计算每个粒子的重要性权重 W(i) = likelihood(measurement_model,X(i,:),z); end % 归一化重要度权重 W=W/sum(W); % 轮盘赌重采样 [X,W]=resample_particles(X,W,N); end ``` 上述代码片段展示了如何构建一个简单的粒子滤波框架，在实际应用中还需要定义具体的`prediction_model`、`measurement_model`以及计算似然性的`likelihood`函数。 为了更好地理解这两种技术并将其应用于同步定位与建图(SLAM)，建议查阅更详细的文献资料或者官方文档获取完整的案例研究和支持工具箱的帮助说明。

### 粒子滤波在SLAM中的应用 粒子滤波是一种基于蒙特卡洛方法的概率推断技术，在SLAM（Simultaneous Localization and Mapping）领域具有广泛的应用。它通过一组带权重的随机样本（即粒子）来表示状态空间的概率分布，从而能够有效解决非线性和非高斯噪声下的估计问题。 #### 基本原理 粒子滤波的核心思想是利用一系列加权粒子 \( \{x_t^{(i)}, w_t^{(i)}\}_{i=1}^N \) 来近似目标概率密度函数 \( p(x_t | z_{1:t}, u_{1:t}) \)，其中 \( x_t \) 表示机器人在时间步 t 的状态向量，\( z_{1:t} \) 是观测序列，而 \( u_{1:t} \) 则代表控制输入序列[^2]。这些粒子不仅描述了机器人的位置和姿态，还可能包括地图的信息。 #### 预测阶段 预测过程涉及根据运动模型更新每颗粒子的位置。假设当前时刻的状态为 \( x_t \)，下一时刻的状态可以通过如下公式计算： \[ x_{t+1} = f(x_t, u_t, v_t), \] 这里 \( f(\cdot) \) 描述的是系统的动态方程，\( u_t \) 是已知的动作指令，\( v_t \) 代表过程噪声[^3]。 #### 更新阶段 当接收到新的传感器读数后，需调整各粒子对应的权重以反映最新证据的影响程度。具体而言，对于第 i 个粒子， \[ w_t^{(i)} \propto w_{t-1}^{(i)}p(z_t|x_t^{(i)}) \], 此处 \( p(z_t|x_t^{(i)}) \) 称作重要性因子，衡量该粒子与实际测量数据的一致性水平[^1]。 #### 转化成代码形式可表述如下： ```python import numpy as np def predict_particles(particles, control_input, motion_model_noise): """Predict new particle positions based on the given model.""" predicted_particles = [] for part in particles: next_pos = apply_motion_model(part['state'], control_input, motion_model_noise) predicted_particles.append({'state':next_pos}) return predicted_particles def update_weights(predicted_particles, measurement, sensor_model_func): """Update weights according to likelihood of measurements.""" total_weight = 0. updated_parts = [] for pp in predicted_particles: weight = compute_likelihood(pp['state'], measurement, sensor_model_func)*pp.get('weight',1.) total_weight += weight updated_parts.append({'state':pp['state'],'weight':weight}) # Normalize Weights norm_factor = sum([up['weight'] for up in updated_parts]) normalized_updated_parts = [{'state':u_p['state'],'weight':u_p['weight']/norm_factor} for u_p in updated_parts] return normalized_updated_parts # Example usage within a loop over time steps... particles = initialize_randomly() for step_data in data_stream(): controls, obsv = step_data pred_parts = predict_particles(particles,controls,motion_uncertainty()) weighted_parts = update_weights(pred_parts,obsv,sensor_accuracy()) resampled_set = perform_resampling(weighted_parts) particles = resampled_set ``` #### Resampling Step 为了防止退化现象发生——即大部分粒子拥有极低甚至零权重的现象出现，通常会执行重采样操作。此步骤旨在淘汰那些贡献较小的粒子并复制表现较好的个体，进而维持整个集合的有效多样性。 --- ###