#include <iostream> #include <cmath> #include <algorithm> #include <cstdio> #include <cstring> #include <string> #include <stack> #include <queue> #include <vector> #include <map> #include <set> #include <iomanip> using namespace std; #define int long long const int inf = 2147483647; const int N = 5e3 + 1; #define lc p<<1 #define rc p<<1|1 struct node { int l,r,sum,add; }tr[N*2]; int n,m,ans,w[N],minn; void pushup(int p) { tr[p].sum=tr[lc].sum+tr[rc].sum; } void pushdown(int p) { if(tr[p].add) { tr[lc].sum+=tr[p].add*(tr[lc].r-tr[lc].l+1); tr[rc].sum+=tr[p].add*(tr[rc].r-tr[rc].l+1); tr[lc].add+=tr[p].add; tr[rc].add+=tr[p].add; tr[p].add=0; } } void build(int p,int l,int r) { tr[p]={l,r,0,0}; if (l==r)return; int m = l + ((r - l)>>1); build(lc,l,m); build(rc,m+1,r); pushup(p); } void updata(int p,int x,int y,int k) { if (x<=tr[p].l&&tr[p].r<=y) { tr[p].sum+=(tr[p].r-tr[p].l+1)*k; tr[p].add+=k; return; } int m = (tr[p].l+tr[p].r)>>1; pushdown(p); if (x<=m)updata(lc,x,y,k); if (y>m)updata(rc,x,y,k); pushup(p); } int query(int p,int x,int y) { if (x<=tr[p].l&&tr[p].r<=y) return tr[p].sum; int m = (tr[p].l+tr[p].r)>>1; pushdown(p); int sum = 0; if (x<=m)sum+=query(lc,x,y); if (y>m)sum+=query(rc,x,y); return sum; } void in() { cin >> n; } void gc() { build(1,0,n-1); for (int i = 1;i <= n;i++) { int x;cin >> x;w[i]=x; updata(1,x,x,1); ans+=query(1,x+1,n-1); } minn = ans; for (int i = 1;i <= n;i++) { ans=ans-w[i]+(n-w[i]-1); minn=min(ans,minn); } return; } void out() { cout << minn; return; } signed main() { // ios::sync_with_stdio(0); // cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr); in(); gc(); out(); return 0; }

<think>好的，我现在需要帮助用户解决关于C++线段树实现中的更新与查询操作的详细问题。首先，我需要回忆线段树的基本结构和操作。线段树是一种用于高效处理区间查询和更新的数据结构，常用于解决区间最小值、最大值、和等问题。根据用户提供的引用，特别是引用[3]，线段树使用结构体数组实现，每个节点代表一个区间，并存储相关信息。 用户需要的是C++代码的实现，特别是更新和查询操作的详解。我需要确保代码正确，并符合用户提供的格式要求，比如行内数学表达式使用$...$，独立公式用$$...$$。同时，需要生成相关问题，并在回答中引用提供的参考资料。 首先，确定线段树的构建。线段树的每个节点通常包含区间范围[l, r]和存储的值（如区间和）。构建过程是递归地将区间一分为二，直到叶子节点。然后，单点更新操作需要找到对应的叶子节点，更新其值，并向上回溯更新父节点。区间查询则需要递归地查询覆盖目标区间的所有节点，合并结果。 接下来，需要考虑示例代码的结构。根据引用[3]，结构体可能包含l、r和sum。构建函数build的参数应包括当前节点下标和区间范围。更新函数update需要处理单点修改，而查询函数query需要处理区间求和。 在解释过程中，需要提到线段树的时间复杂度。构建是O(n)，更新和查询都是O(log n)，这符合用户可能需要的性能分析。此外，可能需要提到线段树与树状数组的区别，但用户主要关注线段树，所以重点放在线段树上。 需要确保代码中的注释和解释清晰，符合中文回答的要求。同时，检查LaTeX语法是否正确，比如数学公式的正确使用。例如，在解释区间查询时，可以提到将区间分成左右子区间处理，使用数学表达式表示区间范围。 最后，生成相关问题，这些问题应围绕线段树的实现细节、优化方法、应用场景等，确保问题与用户的需求相关，并引导进一步学习。</think>### C++线段树实现更新与查询操作详解 #### 1. 线段树结构定义 线段树使用结构体数组存储节点信息，每个节点包含区间范围$[l, r]$和区间和$sum$： ```cpp struct Node { int l, r; int sum; } tree[4 * MAXN]; // 数组大小通常为原数据量的4倍 ``` 这里$MAXN$表示原始数据量的最大值，采用四倍空间保证构建时不会越界[^3]。 #### 2. 构建线段树 递归地将区间分割为左右子区间，时间复杂度$O(n)$： ```cpp void build(int idx, int l, int r) { tree[idx].l = l; tree[idx].r = r; if (l == r) { tree[idx].sum = a[l]; // a[]为原始数组 return; } int mid = (l + r) >> 1; build(2*idx, l, mid); build(2*idx+1, mid+1, r); tree[idx].sum = tree[2*idx].sum + tree[2*idx+1].sum; } ``` $$ \text{构建公式：sum[parent] = sum[left] + sum[right]} $$ #### 3. 单点更新操作 从根节点递归查找目标位置，时间复杂度$O(\log n)$： ```cpp void update(int idx, int pos, int val) { if (tree[idx].l == tree[idx].r) { tree[idx].sum = val; return; } int mid = (tree[idx].l + tree[idx].r) >> 1; if (pos <= mid) update(2*idx, pos, val); else update(2*idx+1, pos, val); tree[idx].sum = tree[2*idx].sum + tree[2*idx+1].sum; } ``` $$ \text{更新路径：root \rightarrow ... \rightarrow leaf} $$ #### 4. 区间查询操作 递归查询与目标区间重叠的部分，时间复杂度$O(\log n)$： ```cpp int query(int idx, int L, int R) { if (R < tree[idx].l || L > tree[idx].r) return 0; if (L <= tree[idx].l && tree[idx].r <= R) return tree[idx].sum; return query(2*idx, L, R) + query(2*idx+1, L, R); } ``` $$ \text{查询结果合并：sum = sum_{left} + sum_{right}} $$ #### 5. 操作示例 假设原始数组$a = [1,3,5,7,9]$： 1. 构建线段树：根节点存储区间$[0,4]$的和$25$ 2. 更新$a[2]=6$：修改路径为$[0,4] \rightarrow [0,2] \rightarrow [2,2]$ 3. 查询$[1,3]$区间和：结果为$3 + 6 + 7 = 16$