归并法统计逆序对

### 使用归并排序算法统计数组中的逆序对 #### 方法概述 归并排序是一种经典的分治算法，它通过将数组分成两部分分别排序后再合并的方式完成排序操作。在这个过程中，可以通过记录左半部分和右半部分之间的元素比较情况来统计逆序对的数量[^1]。 当两个子数组已经各自有序时，在合并阶段会逐一遍历这两个子数组的元素并将较小者放入目标位置。如果发现右边子数组当前元素小于左边子数组当前元素，则说明存在若干个逆序对（具体数量等于左边剩余未处理的元素数目），因为这些元素都大于该右边元素[^2]。 #### 统计逆序对的具体步骤 - **分解**：把原数组不断分割成更小的部分直到每部分只有一个或者零个元素为止。 - **合并与统计**：在每次合并之前先判断是否有逆序现象发生；如果有就累加相应的逆序数到全局变量里去。 以下是详细的Python代码实现： ```python def merge_and_count_split_inv(left, right): result = [] i = j = inv_count = 0 while i < len(left) and j < len(right): if left[i] <= right[j]: result.append(left[i]) i += 1 else: result.append(right[j]) # Count the number of split inversions. inv_count += (len(left) - i) j += 1 # Append any remaining elements from both lists to 'result' result.extend(left[i:]) result.extend(right[j:]) return result, inv_count def sort_and_count(array): n = len(array) if n <= 1: return array, 0 mid = n // 2 sorted_left, count_left = sort_and_count(array[:mid]) # Recursive call on first half sorted_right, count_right = sort_and_count(array[mid:]) # Recursive call on second half merged_array, count_split_inversions = merge_and_count_split_inv(sorted_left, sorted_right) total_inversions = count_left + count_right + count_split_inversions return merged_array, total_inversions # Example usage if __name__ == "__main__": test_array = [1, 3, 5, 2, 4, 6] _, num_of_inversions = sort_and_count(test_array) print(f"Number of Inversions: {num_of_inversions}") ``` 上述程序定义了一个`sort_and_count()`函数用于执行整个归并排序的同时也计算总的逆序对数目，并且还有一个辅助性的`merge_and_count_split_inv()`用来做实际的合并工作以及在此期间检测跨分区间的那些特殊形式——即所谓的“分裂型”逆序关系[^4]。 #### 示例运行结果分析 对于输入 `[1, 3, 5, 2, 4, 6]`, 输出应该是 `3`. 这是因为有三组这样的配对:(3,2), (5,2), 和(5,4)[^5]. ---