完全背包问题的c++代码

<think>好的，我现在需要帮助用户理解完全背包问题的C++代码。首先，我得回忆一下完全背包问题的定义。完全背包和01背包的区别在于，每种物品可以选取无限次，而不是只能选一次。所以动态规划的状态转移方程会有所不同。 接下来，我得考虑如何用动态规划来解决这个问题。通常，动态规划会使用一个数组dp，其中dp[j]表示容量为j的背包能装的最大价值。对于完全背包，状态转移方程应该是dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i])，这里i是当前物品的索引，w[i]是重量，v[i]是价值。需要注意的是，这里的内循环应该是正序遍历，因为每个物品可以选多次，这样在更新dp[j]时，dp[j - w[i]]可能已经被当前物品更新过，从而允许重复选择。 然后，我需要确定代码的结构。用户可能需要一个完整的C++示例，包括输入输出。所以，代码的大致步骤是：读取物品数量n和背包容量C，然后读取每个物品的重量和价值，初始化dp数组，然后进行动态规划的双重循环，最后输出结果。 在写代码的时候，要注意数组的大小。通常背包容量可能较大，所以应该使用足够大的数组或者动态分配。例如，假设C不超过1000，可以定义dp数组大小为1001。然后初始化dp数组为0，因为初始时没有物品，价值为0。 然后，外层循环遍历每个物品，内层循环从w[i]到C，因为如果当前背包容量j小于物品重量w[i]，就不能放入，所以直接从w[i]开始。对于每个j，更新dp[j]为当前最大值，即比较不选当前物品的dp[j]和选当前物品后的dp[j - w[i]] + v[i]。 测试用例方面，可能需要举个简单的例子。例如，物品数量n=3，容量C=5，物品重量w=[2,3,4]，价值v=[3,4,5]，那么最大价值应该是选两个第一个物品（总重量4，价值6）加上第三个物品的一个可能？或者需要更准确的计算。不过这可能不是代码的重点，用户可能需要代码的正确性而非测试用例。 最后，代码需要处理输入输出。例如，输入第一行是n和C，接下来n行每行两个数，分别是w[i]和v[i]。输出是最大总价值。 现在，我需要确保代码的语法正确，特别是LaTeX格式的部分。用户提到的系统级指令要求数学表达式用$...$，例如物品的重量w_i用$w_i$，价值v_i用$v_i$。在解释状态转移方程时，需要用数学格式。 可能用户还希望了解时间复杂度和空间优化。时间复杂度是O(nC)，空间复杂度是O(C)。如果背包容量很大，空间优化很重要，而完全背包的正序遍历刚好符合这个优化，不需要像01背包那样逆序。 总结下来，我需要分步骤解释问题，给出代码，并解释关键点。可能还要提到和01背包的区别，尤其是内层循环的顺序。</think>让我们分步骤理解完全背包问题的C++实现： ### 一、问题定义 给定$n$种物品，每种物品重量为$w_i$、价值为$v_i$，背包容量为$C$。**每种物品可无限次选取**，求背包能装下的最大价值。 ### 二、动态规划思路 定义状态：$$dp[j] = \text{容量为} j \text{时的最大价值}$$ 状态转移方程： $$dp[j] = \max(dp[j],\ dp[j - w[i]] + v[i]) \quad (\text{当} j \geq w[i])$$ ### 三、完整代码实现 ```cpp #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int MAX_C = 1001; // 根据题目调整大小 int main() { int n, C; cin >> n >> C; int w[n], v[n]; for (int i = 0; i < n; i++) { cin >> w[i] >> v[i]; } int dp[MAX_C] = {0}; for (int i = 0; i < n; i++) { // 遍历物品 for (int j = w[i]; j <= C; j++) { // 正序循环关键！ dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]); } } cout << dp[C] << endl; return 0; } ``` ### 四、关键点解析 1. **正序遍历原因**：允许重复选取物品。当处理到`j`时，`dp[j - w[i]]`可能已包含当前物品的选取，实现无限次使用。 2. **时间复杂度**：$O(n \times C)$ **空间复杂度**：$O(C)$ 3. **与01背包的差异**： - 01背包：内层倒序遍历（防止重复） - 完全背包：内层正序遍历（允许重复） ### 五、输入示例 ``` 3 5 2 3 3 4 4 5 ``` 输出：`7`（选2个物品1：重量2×2=4，价值3×2=6；剩余容量1无法使用） ### 六、扩展建议 - 空间优化：已使用滚动数组优化 - 恰好装满：初始化时`dp[0]=0`，其他设为`-INF` - 求方案数：修改状态转移为累加操作 需要进一步解释任何细节吗？