在归并排序中统计序列的逆序对

<think>嗯，我现在需要理解如何用归并排序来计算数组中的逆序对数量。归并排序本身是分治算法，分而治之，分成小数组然后合并。逆序对指的是前面的数比后面的数大的情况，比如数组[3,1,2]中的逆序对是(3,1)和(3,2)，所以数量是2。现在问题是如何在归并的过程中统计这些逆序对。 首先，归并排序在合并两个已排序的子数组时，可以比较左右两边的元素。当左边的元素比右边的大时，说明存在逆序对。比如左边是[4,5]，右边是[1,3]，当合并时，4比1大，那么这时候左边的所有剩余元素（4和5）都会和右边的1形成逆序对。所以这时候逆序对的数量应该是左边剩余元素的个数。 那具体怎么实现呢？比如在合并过程中，当左半部分的当前元素大于右半部分的当前元素时，除了将右元素放入合并后的数组，还要累加逆序对的数量。这里可能需要一个计数器，每次左元素大于右元素时，计数器加上左半部分剩余元素的个数。 比如，假设左半部分是L，右半部分是R，当前左指针i，右指针j。当L[i] > R[j]时，此时逆序对的数量应该是mid - i + 1，其中mid是左半部分的结束位置。因为左半部分已经排序，所以从i到mid的所有元素都会比R[j]大，形成逆序对。 不过这里需要注意mid的计算是否正确。比如在归并排序中，通常是将数组分成左右两部分，左半部分的结束位置是mid，而右半部分从mid+1开始。所以当L[i] > R[j]时，左半部分剩余的元素数量应该是左半部分的长度减去i的当前位置，即比如左半部分的长度是mid - left + 1，当前i的位置相对于左半部分来说是从0开始的，或者要看具体的实现方式。 可能需要具体例子来验证。例如，数组为[3,1,2]，拆分到最底层的时候，左右可能分别是[3]和[1]，合并的时候，3>1，所以逆序对加1。接着合并后的左边是[1,3]，然后再和右边的[2]合并。此时比较左半部分的3和右半部分的2，3>2，所以逆序对加1。总共有2个逆序对，正确。 那在代码实现时，归并排序的合并函数需要返回逆序对的数量，并且在递归过程中累加左右子数组的逆序对以及合并时的逆序对。具体来说，递归调用左半部分返回逆序数，右半部分同样，再加上合并时产生的逆序数。 参考引用中的代码结构，可能是在merge函数中统计逆序数。例如，引用[2]中提到merge函数用于合并两个有序子数组并计算逆序对数。那在merge的过程中，当左边的元素大于右边的元素时，说明存在逆序对，此时可以计算左边的剩余元素数量，并将这个数值加到逆序对的总数中。 例如，假设在合并两个子数组left和right时，i是left的指针，j是right的指针。当left[i] > right[j]时，逆序对的数量增加mid - i + 1（这里的mid可能是指左半部分的结束索引）。比如，如果左半部分是从索引0到mid，那么当i是当前左指针的位置，剩下的元素数目是mid - i + 1。因此，每当遇到右半部分的元素较小的情况，就加上左半部分剩余的元素数目。 因此，在归并排序的合并过程中，通过这种方式统计逆序对的数量。总逆序对的数量等于左半部分的逆序对数、右半部分的逆序对数，以及合并过程中产生的逆序对数之和。 现在需要确保代码正确实现这一点。比如，在Python中，归并排序的递归函数应该返回逆序对的数量，而合并函数在合并过程中统计新增的逆序数，并返回这个数值，同时完成合并后的数组。 例如，假设merge_sort函数返回排序后的数组和逆序对的总数。merge函数在合并两个有序数组时，不仅合并，还统计逆序对数。当处理left和right数组时，每次从left和right的开头取元素，如果left[i] > right[j]，那么说明有逆序对，并且此时left中i之后的所有元素都会比right[j]大，因此逆序对数目增加len(left) - i，因为left数组已经排过序，剩下的元素数目是len(left) - i。 比如，left数组是[3,4,5]，right是[1,2]，当i=0时，left[0]=3 > right[0]=1，此时逆序对数目增加3（因为left数组有3个元素，从i=0开始，剩下的元素数目是3-0=3）。然后j移动，继续比较，直到所有元素合并完成。 这样在每次合并时统计逆序对，累加到总数中。最终得到整个数组的逆序对数目。 现在需要将这个逻辑转化为代码。例如，在Python中，归并排序的递归函数分割数组为左右两部分，分别调用自身得到排序后的左右数组和对应的逆序数，然后合并，并返回合并后的数组以及总逆序数（左+右+合并时的数目）。 所以，函数的大致结构可能是这样的： def merge_sort(arr): if len(arr) <= 1: return arr, 0 mid = len(arr) // 2 left, count_left = merge_sort(arr[:mid]) right, count_right = merge_sort(arr[mid:]) merged, count_merge = merge(left, right) total = count_left + count_right + count_merge return merged, total 然后merge函数实现合并，并统计逆序数： def merge(left, right): merged = [] i = j = 0 count = 0 while i < len(left) and j < len(right): if left[i] <= right[j]: merged.append(left[i]) i += 1 else: merged.append(right[j]) count += len(left) - i j += 1 merged += left[i:] merged += right[j:] return merged, count 这样，当left[i] > right[j]时，将right[j]添加到merged，并增加count的值，此时count += len(left) - i，因为left数组中i之后的元素都比right[j]大，所以每个都会形成一个逆序对。 例如，测试数组[3,1,2]，调用merge_sort，返回排序后的数组和总逆序数。分解过程： 第一次分割为[3]和[1,2]。左边的逆序数是0，右边的merge_sort([1,2])分割为[1]和[2]，合并时没有逆序，所以右边的总逆序数是0+0+0=0。然后合并左边[3]和右边[1,2]时，3>1，此时count += 1（因为len(left)=1，i=0，1-0=1）。接着right[j]是2，比较3>2，count += 1（此时i=0，len(left)-i=1）。所以合并时的count是2。总逆序数是左边0+右边0 +合并时2=2，正确。 所以这样的代码是正确的。因此，使用归并排序时，在合并阶段统计右元素被提前放入合并数组时，左半部分剩余元素的个数，就可以得到逆序对的数量。</think>### 使用归并排序计算逆序对数量的方法 在归并排序的合并阶段统计逆序对数量是经典的分治策略应用，具体步骤如下： #### 1. **分治拆分** 将数组递归拆分为左右两个子数组，直到子数组长度为1。此时每个子数组自然有序，且无逆序对。 #### 2. **合并与统计** 合并两个有序子数组时，若左子数组元素 $left[i]$ 大于右子数组元素 $right[j]$，则左子数组中 $i$ 之后的所有元素均与 $right[j]$ 构成逆序对。此时逆序对数量增加 $len(left) - i$（左子数组剩余元素数量）[^4]。 #### 3. **递归累加** 总逆序对数 = 左子数组逆序对数 + 右子数组逆序对数 + 合并阶段新增的逆序对数[^3]。 ```python def merge_sort(arr): if len(arr) <= 1: return arr, 0 mid = len(arr) // 2 left, count_left = merge_sort(arr[:mid]) right, count_right = merge_sort(arr[mid:]) merged, count_merge = merge(left, right) return merged, count_left + count_right + count_merge def merge(left, right): merged = [] i = j = 0 count = 0 while i < len(left) and j < len(right): if left[i] <= right[j]: merged.append(left[i]) i += 1 else: merged.append(right[j]) count += len(left) - i # 统计逆序对 j += 1 merged += left[i:] merged += right[j:] return merged, count ``` #### **示例分析** 对于数组 $[3,1,2]$，合并过程如下： 1. 拆分至最小单元：$[3]$、$[1]$、$[2]$。 2. 合并 $[1]$ 和 $[2]$：无逆序对。 3. 合并 $[3]$ 和 $[1,2]$： - $3 > 1$，逆序对数增加 $1$（左子数组剩余 $1$ 个元素）。 - $3 > 2$，逆序对数再增加 $1$。 - 总计 $2$ 个逆序对[^4]。 #### **复杂度分析** - **时间复杂度**：$O(n \log n)$，与归并排序一致[^1]。 - **空间复杂度**：$O(n)$，用于合并时的临时数组[^3]。 ---