IMU欧拉角 旋转矩阵

### IMU 欧拉角与旋转矩阵之间的转换 对于IMU设备而言，欧拉角通常用于描述传感器的姿态变化。具体来说，这些角度代表绕三个基本轴（X, Y, Z）的连续转动顺序[^1]。 #### 从欧拉角到旋转矩阵的计算方法 当给定一组按照特定序列（如Z-Y-X）定义的欧拉角时，可通过连乘相应的单轴旋转矩阵来构建完整的三维空间中的旋转表达形式： \[ R = R_z(\psi) \cdot R_y(\theta) \cdot R_x(\phi)\] 其中 \(R_x\)、\(R_y\) 和 \(R_z\) 分别对应于沿各自轴线的角度偏转所引起的坐标系变换操作；\(\phi\) 表示横滚角 (roll)，\(\theta\) 是俯仰角(pitch),而 \(\psi\) 则指代航向角(yaw)。 具体的旋转矩阵如下所示: - 绕 X 轴旋转 (\(R_x\)) 的矩阵为： \[ R_{x}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \phi & -\sin \phi \\ 0 & \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right] \] - 绕 Y 轴旋转 (\(R_y\)) 的矩阵为： \[ R_{y}=\left[\begin{array}{ccc} \cos \theta & 0 & \sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \theta & 0 & \cos \theta \end{array}\right] \] - 绕 Z 轴旋转 (\(R_z\)) 的矩阵为： \[ R_{z}=\left[\begin{array}{ccc} \cos \psi & -\sin \psi & 0 \\ \sin \psi & \cos \psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \] 因此，在已知各个分量的具体数值之后，就可以利用上述公式组合成最终的整体旋转矩阵 \(R\) 来反映整个系统的姿态状态。 #### 使用Eigen库实现转换过程 为了简化编程工作并提高效率，推荐采用成熟的数学工具包比如C++里的`Eigen`来进行此类运算。下面给出了一段简单的代码片段展示如何基于输入的一组欧拉角参数创建对应的旋转矩阵对象： ```cpp #include <iostream> #include <Eigen/Dense> using namespace Eigen; int main(){ // 定义欧拉角变量 double roll_angle = M_PI / 4; // 横滚角 φ double pitch_angle = M_PI / 6; // 俯仰角 θ double yaw_angle = M_PI / 3; // 偏航角 ψ // 创建旋转矩阵实例 AngleAxisd rot_x(AngleAxisd(roll_angle , Vector3d::UnitX())); AngleAxisd rot_y(AngleAxisd(pitch_angle, Vector3d::UnitY())); AngleAxisd rot_z(AngleAxisd(yaw_angle , Vector3d::UnitZ())); Matrix3d rotation_matrix; // 应用复合旋转变换得到总的旋转矩阵 rotation_matrix = (rot_z * rot_y * rot_x).matrix(); std::cout << "The resulting Rotation Matrix is:\n" << rotation_matrix << "\n"; return 0; } ``` 这段程序首先导入必要的头文件，并初始化了三个分别表示不同方向上的旋转角度值。接着通过 `AngleAxisd` 类型的对象构造器指定每次单独围绕某个固定轴发生的旋转动作。最后将这三个独立的操作按正确的次序相乘起来形成整体效果——即所需的总旋转矩阵[^2]。