第一关：逻辑回归核心思想

逻辑回归是一种二分类算法，其核心思想是通过对样本特征进行线性组合，然后通过sigmoid函数将结果映射到[0,1]之间，从而得到样本属于某一类别的概率。具体来说，假设有m个样本，每个样本有n个特征，那么逻辑回归模型可以表示为： $$h_{\theta}(x)=\frac{1}{1+e^{-\theta^Tx}}$$ 其中，$\theta$是模型参数，$x$是样本特征向量。模型的训练过程就是通过最大化似然函数来求解参数$\theta$的过程。

### 逻辑回归的核心思想及原理 逻辑回归（Logistic Regression）是一种用于解决分类问题的统计学方法，尽管其名称中有“回归”，但它实际上被广泛应用于分类任务中。它的核心目标是通过输入变量来预测某个事件发生的概率。 #### 核心思想 逻辑回归的主要目的是建立一个模型，该模型能够基于一组特征向量 \(X\) 预测离散型因变量 \(Y\) 的取值。对于二分类问题而言，\(Y\) 只有两个可能的结果，通常表示为 0 和 1。为了实现这一目的，逻辑回归采用了一种特殊的函数形式——Sigmoid 函数[^1]： \[ P(Y=1|X) = \frac{1}{1 + e^{-(w_0 + w_1x_1 + ... + w_nx_n)}} \] 其中： - \(w_0, w_1, ..., w_n\) 是待估参数； - \(x_1, x_2, ..., x_n\) 表示输入特征； - Sigmoid 函数的作用是将线性组合的结果映射到 (0, 1) 范围内，从而可以解释为某一类别的条件概率。 这种转换使得逻辑回归不仅适用于分类决策边界的学习，还提供了关于类别归属的概率估计[^1]。 #### 数学建模过程 在构建逻辑回归模型的过程中，需要最小化损失函数以找到最优参数集。常用的方法是最小化负对数似然函数（Negative Log-Likelihood），即最大化数据样本下的联合分布概率密度。具体来说，可以通过梯度下降法或其他优化算法求解如下目标函数[^2]: \[ L(w) = -\sum_{i=1}^n [y_i \log(p_i) + (1-y_i)\log(1-p_i)] \] 这里 \(p_i\) 对应于第 i 个观测值属于正类的概率。通过对上述方程迭代调整权重系数直至收敛，最终得到训练好的模型。 #### 实际应用场景举例说明 以下是利用 Python 中 `sklearn` 库实现的一个简单例子，演示如何运用逻辑回归完成乳腺癌良恶性判断的任务: ```python from sklearn.datasets import load_breast_cancer breast_cancer = load_breast_cancer() x = breast_cancer.data y = breast_cancer.target from sklearn.model_selection import train_test_split x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y, random_state=33, test_size=0.3) from sklearn.preprocessing import StandardScaler breast_cancer_ss = StandardScaler() x_train = breast_cancer_ss.fit_transform(x_train) x_test = breast_cancer_ss.transform(x_test) from sklearn.linear_model import LogisticRegression lr = LogisticRegression() lr.fit(x_train, y_train) lr_y_predict = lr.predict(x_test) from sklearn.metrics import classification_report print('Accuracy:', lr.score(x_test, y_test)) print(classification_report(y_test, lr_y_predict, target_names=['benign', 'malignant'])) ``` 此段代码展示了从加载数据集、划分测试集合训练集、标准化处理再到创建并评估逻辑回归模型的整体流程[^2]。