刚体变换

### 刚体变换的定义刚体变换是一种保持物体形状和大小不变的空间变换，通常由 **旋转** 和 **平移** 组成[^1]。这种变换广泛应用于机器人学、计算机图形学以及点云处理等领域。齐次变换矩阵 \( T \) 是描述刚体变换的核心工具之一，它可以简洁地表示旋转和平移操作。在三维空间中，齐次变换矩阵的形式如下： ```python import numpy as np T = np.array([ [r11, r12, r13, t1], [r21, r22, r23, t2], [r31, r32, r33, t3], [ 0, 0, 0, 1] ]) ``` 其中，\( R = [[r_{ij}]] \) 表示旋转矩阵，而 \( t = [t_1, t_2, t_3]^T \) 表示平移向量[^4]。 --- ### 齐次变换的优点齐次变换的主要优点在于其能够将复杂的空间变换转化为单一的矩阵运算。通过引入额外的一维坐标（即齐次坐标），可以方便地将平移与旋转变换统一起来。这种方法使得连续多次刚体变换可以通过简单地相乘对应的齐次变换矩阵来实现[^3]。 --- ### 刚体变换的实现方法 #### 基于 SVD 的分解方法对于给定的两组对应点集 \( P \) 和 \( Q \)，可以通过奇异值分解 (SVD) 来计算最优的刚体变换参数 \( R \) 和 \( t \)[^2]。具体步骤如下： 1. 计算两个点集的质心： \[ c_P = \frac{1}{n}\sum_i p_i,\quad c_Q = \frac{1}{n}\sum_i q_i \] 2. 对去中心化的点集构建协方差矩阵 \( H \)： \[ H = \sum_i (p'_i)(q'_i)^T \] 其中 \( p'_i = p_i - c_P \), \( q'_i = q_i - c_Q \). 3. 使用 SVD 分解 \( H \) 并提取旋转矩阵 \( R \)： \[ U\Sigma V^T = \text{svd}(H)\Rightarrow R=VU^T \] 4. 计算平移向量 \( t \)： \[ t = c_Q - Rc_P \] 以下是 Python 中的一个实现例子： ```python def rigid_transform_svd(P, Q): """ Calculate the optimal rigid transformation using SVD. Args: P: Nx3 matrix of points in source frame. Q: Nx3 matrix of corresponding points in target frame. Returns: R: 3x3 rotation matrix. t: 3x1 translation vector. """ assert P.shape == Q.shape # Compute centroids centroid_P = np.mean(P, axis=0) centroid_Q = np.mean(Q, axis=0) # Subtract mean P_centered = P - centroid_P Q_centered = Q - centroid_Q # Covariance matrix H = np.dot(P_centered.T, Q_centered) # Singular Value Decomposition U, _, VT = np.linalg.svd(H) R = np.dot(VT.T, U.T) # Ensure proper rotation (det(R) == 1) if np.linalg.det(R) < 0: VT[-1,:] *= -1 R = np.dot(VT.T, U.T) # Translation t = centroid_Q.T - np.dot(R, centroid_P.T) return R, t.reshape(3, 1) ``` 此方法适用于二维或三维空间中的点云配准问题。 --- ### 应用场景刚体变换的应用范围十分广泛，主要包括但不限于以下几个方面： - **机器人运动控制**：利用齐次变换矩阵描述机械臂关节之间的相对位置关系。 - **点云配准**：通过对不同视角获取的点云数据施加相同的刚体变换，将其对齐至同一参考坐标系下[^5]。 - **图像拼接与重建**：在计算机视觉领域，用于校正相机姿态变化带来的影响。 ---

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