假设以定长顺序存储结构表示串，设计一个算法： void maxcommonstr(SString s, SString t, int &maxlen, int &pos1, int &pos2); 求串 s 和串 t 的一个最长公共子串，其中带出参数 maxlen 为最长公共子串的长度，pos1 和 pos2 分别为最长公共子串在串 s 和串 t 中的起始位置

<think>嗯，用户让我设计一个算法，用定长顺序存储结构表示串，然后找出两个串s和t的最长公共子串，并返回长度和起始位置。首先，我需要明确定长顺序存储结构的特点，比如每个串可能有固定长度，用数组存储，可能用某个字符表示结束或者有长度字段。然后，最长公共子串的问题，和最长公共子序列不同，子串必须是连续的。 那首先，我得回忆一下常见的解决方法。通常，动态规划（DP）是解决这类问题的有效方法。比如，用一个二维数组dp[i][j]表示s的前i个字符和t的前j个字符的最长公共子串长度，且这个子串以s的第i个字符和t的第j个字符结尾。这样，当s[i] == t[j]时，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] +1，否则dp[i][j]=0。在这个过程中，记录下最大的长度以及对应的位置。 不过，这样的时间复杂度是O(mn)，其中m和n是两个串的长度。如果两个串都很长的话，可能会比较耗时。但用户这里没有提到时间效率的要求，所以可能这种方法是可以接受的。 接下来，我需要考虑如何将动态规划的方法应用到定长顺序存储结构上。定长顺序存储结构可能意味着每个串都有一个固定的最大长度，比如用数组存储，每个字符依次存放，可能有一个长度字段或者以特定字符结尾。例如，SString可能定义为一个结构体，包含一个字符数组和一个整型长度。 那么，在具体实现的时候，我需要遍历s和t的每个可能的起始位置，然后比较对应的字符是否相同，并计算连续相同的长度。或者，按照动态规划的思路，创建一个二维数组来保存中间结果。 不过，动态规划的二维数组的空间复杂度是O(mn)，如果m和n很大，可能会占用较多内存。有没有优化的方法？比如，可以只使用一维数组，因为在计算dp[i][j]时，只需要前一行的dp[i-1][j-1]的值。这样可以降低空间复杂度到O(n)或O(m)，取决于实现方式。 但用户可能更关注正确性，所以先用标准的动态规划方法实现，确保正确后再考虑优化。 那么具体步骤大概是： 1. 初始化一个二维数组dp，维度为(s.length +1) x (t.length +1)，初始化为0。 2. 遍历i从1到s的长度，遍历j从1到t的长度： a. 如果s[i-1] == t[j-1]，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1] +1。 b. 否则，dp[i][j] =0。 c. 在每次更新dp[i][j]时，检查是否大于当前记录的maxlen，如果是，则更新maxlen，并记录此时的i和j的位置。 3. 最后，根据记录的i和j的位置，计算在s和t中的起始位置pos1和pos2。例如，pos1 = i - maxlen（因为子串的长度是maxlen，所以起始位置是当前i减去maxlen的位置）。类似地，pos2 = j - maxlen。 这里需要注意的是，字符串的索引是否正确。比如，假设s和t都是0-based的数组，那么i和j在循环中是从1到len，而对应的字符位置是i-1和j-1。同时，当找到更大的maxlen时，需要记录当前的i和j，这样才能计算出起始位置。 举个例子，假设s是"abcde"，t是"aabc"，当i=3（对应字符'c'），j=3（对应字符'b'）时，如果此时s[i-1]和t[j-1]不相等，那么dp[i][j]=0。而当i=2（字符'b'），j=2（字符'a'）时，可能相等的话，dp值会增加。 比如，当s和t有一段连续相同的字符，比如s的子串从i=2到i=4，长度3，对应到maxlen=3，此时i是4，那么起始位置应该是4 -3 +1？或者i - maxlen？ 比如，假设i是当前的位置，且最长长度为maxlen，则起始位置应为i - maxlen的位置。例如，当s[i-1]是当前字符，而连续的长度是maxlen，那么起始位置是i - maxlen的位置。例如，在字符串数组从0开始的情况下，假设i是s的当前索引+1（因为dp数组的维度是len+1），那么起始位置应该是i - maxlen的位置。 比如，s是"ababc"，当最长公共子串是"bab"，长度3，出现在s的索引1到3的位置，那么i在dp数组中对应的是3的位置，i-maxlen=0？这似乎有问题。或者可能我搞反了索引？ 可能这个问题需要更仔细的计算。假设在动态规划中，dp[i][j]表示的是以s的第i个字符和t的第j个字符结尾的最长公共子串的长度。例如，当s的第i个字符和t的第j个字符相同，那么该子串的长度是dp[i-1][j-1]+1。因此，当这个长度大于当前maxlen时，该子串在s中的起始位置是i - maxlen（假设新的maxlen是dp[i][j]），而原字符串的索引是从0开始的，所以s中的起始位置是i - maxlen（因为i是当前的位置索引+1？比如，假设s的索引是0到len-1，那么dp数组的i从1到len，对应的字符是s[i-1]。因此，当最长子串的结尾位置是i-1（原字符串中的位置），那么起始位置是 (i-1) - (maxlen -1) = i - maxlen。例如，长度是3，结尾在i=4（s[3]），则起始位置是4 -3 +0 =1？或者可能需要具体例子验证。 比如，假设s是 "abcde"，最长子串是 "bcd"，那么在s中的起始位置是1（索引从0开始），长度是3。那么对应的i在dp数组中是4（因为s[3]是 'd'，i=4）。此时maxlen是3，则起始位置是4 -3 =1，正确。所以，pos1应为 i - maxlen。同理，pos2是j - maxlen。所以，在记录maxlen时，需要同时记录当前的i和j，然后计算pos1 = i - maxlen，pos2 = j - maxlen。但要注意的是，这里的i和j是dp数组中的索引，对应原字符串中的位置是i-1和j-1？或者原字符串的索引？ 比如，假设s的长度是m，那么在循环中，i的取值范围是1到m，对应的s中的字符是s.ch[i-1]，假设SString的结构体有一个ch数组，从0开始存储字符。所以，当i=1，对应s.ch[0]，即第一个字符。此时，当最长子串的结尾在i的位置，那么原字符串中的位置是i-1。起始位置pos1应该是 (i-1) - (maxlen -1) = i - maxlen。例如，当maxlen是3，i-1是3（即第四个字符），那么起始位置是3 -3 +1 =1？或者可能我的计算有误。 或者，更简单来说，如果当前子串的长度是maxlen，结尾在i-1的位置（原字符串中的索引），那么起始位置是 (i-1) - (maxlen-1) = i - maxlen。例如，maxlen=3，结尾在i-1=3（索引3），则起始位置是3 -3 +1 =1？或者应该是i-1 - (maxlen-1) =3 -2=1，是的。所以，起始位置是i - maxlen的位置。比如，i是dp数组中的索引，对应原字符串中的i-1的位置。那么起始位置pos1是 (i-1) - (maxlen -1) = i - maxlen。所以，在代码中，当maxlen被更新时，记录当前的i和j，然后pos1 = i - maxlen，pos2 = j - maxlen。 但需要确保i和j的索引是否正确。例如，当dp[i][j]的值是maxlen，这时候i对应的s的位置是i-1，所以起始位置是 (i-1) - (maxlen-1) = i - maxlen。是的。因此，在代码中，当找到更大的maxlen时，保存当前的i和j的值，然后计算pos1和pos2的时候用i - maxlen和j - maxlen。 那现在，如何初始化这个二维数组？对于动态规划来说，通常的初始化是dp[0][j]和dp[i][0]都为0，因为其中一个字符串长度为0时，公共子串长度为0。这已经在数组初始化的时候处理了。 接下来，代码的结构大概是这样的： 初始化maxlen为0，pos1和pos2为0。 创建二维数组dp[m+1][n+1]，其中m和n是s和t的长度。初始化为0。 然后循环i从1到m，j从1到n： 如果s.ch[i-1] == t.ch[j-1]，那么dp[i][j] = dp[i-1][j-1] +1； 否则，dp[i][j] =0； 如果dp[i][j] > maxlen，则更新maxlen，并记录当前的i和j的值，作为结束的位置。 最后，计算pos1 = i - maxlen，pos2 = j - maxlen。 但这里需要注意到，在每次发现更大的maxlen时，必须同时记录当前的i和j，否则最后记录的i和j可能不是对应的那个情况。例如，可能有多个相同长度的子串，但题目只需要一个，所以可以记录第一个遇到的或者最后一个。题目没有说明要哪一个，所以可以任选其一。 那在代码中，每次当dp[i][j] > maxlen时，才更新maxlen，并记录当前的i和j。例如： 初始化maxlen=0，pos1=0，pos2=0。 遍历i从1到m: 遍历j从1到n: 如果s.ch[i-1] == t.ch[j-1]: dp[i][j] = dp[i-1][j-1] +1 如果 dp[i][j] > maxlen: maxlen = dp[i][j] pos1_end = i-1 // 原字符串中的结束位置 pos2_end = j-1 否则: dp[i][j] =0 最后，pos1 = pos1_end - maxlen +1 ? 或者，原字符串的起始位置是 pos1_end - maxlen +1？例如，如果结束位置是i-1，长度为maxlen，那么起始位置是 (i-1) - (maxlen -1) = i - maxlen。例如，结束位置是3，长度是3，起始位置是3-3+1=1？或者我的计算可能有问题。 假设结束索引是k，长度为L，那么起始索引是k - L +1。例如，k=3，L=3，则起始索引是3-3+1=1。这在0-based的索引中是正确的。例如，索引1、2、3组成的子串长度为3。所以，当结束位置是i-1，那么起始位置是 (i-1) - maxlen +1 = i - maxlen。或者，可能我弄混了。例如，结束位置是i-1，长度为maxlen，则起始位置是 (i-1) - (maxlen-1) = i - maxlen。例如，i-1是3，maxlen是3，那么起始位置是3 -2 =1。是的，所以起始位置是i- maxlen。例如，i是4（对应原字符串中的3），maxlen是3，i - maxlen=1，正确。所以，pos1 = i - maxlen，这里的i是动态规划中的i，即对应原字符串中的i-1的位置。或者，假设在动态规划中i循环到某个值，那么对应的原字符串的位置是i-1。例如，当i=4，原字符串的位置是3，此时maxlen是3，则起始位置是4-3=1，对应原字符串的位置是1。是的。所以，最终的pos1是 i - maxlen，pos2是 j - maxlen。 因此，在每次更新maxlen时，要记录当前的i和j的值。例如，当发现dp[i][j] > maxlen时，记录当前的i和j。这样，当循环结束后，用i和j来计算pos1和pos2。 所以，伪代码大致如下： maxlen = 0 pos1 = 0 pos2 = 0 for i from 1 to m: for j from 1 to n: if s[i-1] == t[j-1]: dp[i][j] = dp[i-1][j-1] +1 if dp[i][j] > maxlen: maxlen = dp[i][j] pos1 = i - maxlen pos2 = j - maxlen else: dp[i][j] =0 这里需要注意，pos1和pos2的起始位置是原字符串中的0-based索引吗？是的，因为s和t的存储结构是定长顺序的，假设它们的起始位置从0开始。这样，返回的pos1和pos2是正确的。 那现在，关于空间优化的问题。如果m和n很大，二维数组可能占用较多空间。例如，当两个字符串的长度都是1000，那么二维数组需要1e6的空间。这在某些情况下可能有问题，但用户的问题中并没有说明是否有空间限制，所以可能可以接受。 如果需要优化空间，可以使用一维数组，因为每次计算dp[i][j]只需要上一行的dp[i-1][j-1]。例如，可以用一个一维数组prev，每次从后往前更新。或者，每次只保留前一行的数据。 例如，可以用一个一维数组dp_prev，然后在每一行处理时，从右到左更新。例如： 初始化一个一维数组dp_prev，长度为n+1，初始化为0。 然后，对于每个i从1到m: 创建一个新的数组dp_current，初始化为0. for j from1 to n: if s[i-1] == t[j-1]: dp_current[j] = dp_prev[j-1] +1 if dp_current[j] > maxlen: maxlen = dp_current[j] pos1 = i - maxlen pos2 = j - maxlen else: dp_current[j] =0 dp_prev = dp_current.copy() 这样空间复杂度降为O(n)。或者，更高效的是，可以只用一个一维数组，并在每个j循环中从后往前处理，这样就不会覆盖需要的数据。 例如，使用一个一维数组dp，初始化为0。对于每个i从1到m： for j from n downto 1: if s[i-1] == t[j-1]: dp[j] = dp[j-1] +1 if dp[j] > maxlen: maxlen = dp[j] pos1 = i - maxlen pos2 = j - maxlen else: dp[j] =0 这样，每次处理j时，dp[j-1]还是上一轮的结果，不会被覆盖。这样空间复杂度是O(n)。这可能更高效。这种方法是否正确？ 比如，当i=1时，处理j从n到1： 如果s[0] == t[j-1]，则dp[j] = dp[j-1] +1。但dp[j-1]初始是0，所以如果j=1，则dp[1] = dp[0] +1 =0+1=1（如果s[0]等于t[0]）。这样是对的。 这样，每次处理i时，j从后到前，确保在计算dp[j]时，dp[j-1]是上一轮i-1时的值。这样，就能正确计算当前行的dp值。是的，这应该可行。 所以，空间优化后的算法可以用一维数组，时间复杂度O(mn)，空间O(n)。这在处理大字符串时更节省内存。 但用户可能只需要正确的算法，所以这里可以选择是否进行空间优化。根据题目的要求，是否需要考虑空间问题？题目没有特别指出，所以可能只需要正确的实现即可。 综上，算法的大体步骤是： 1. 初始化变量maxlen、pos1、pos2为0。 2. 使用动态规划的方法，比较s和t的每个字符，记录以当前字符结尾的最长公共子串长度。 3. 在比较过程中，更新maxlen和对应的起始位置。 4. 最后，通过记录的i和j计算起始位置。 接下来，需要考虑代码的具体实现。假设SString的结构体定义为： #define MAXLEN 255 typedef struct { char ch[MAXLEN +1]; // 0号位置存放字符，或者从1开始？ int length; } SString; 这里需要注意的是，定长顺序存储结构可能有不同的实现方式。例如，有的教材中，0号位置可能不存储字符，而是从1号位置开始存储，并且length表示实际长度。或者，0号位置存储第一个字符，length是实际长度。这里需要明确用户给出的SString的具体定义。 假设SString的ch数组从1开始存储，ch[0]不使用，而length为实际长度。那么，当访问字符时，s的第i个字符是s.ch[i]，其中i从1到s.length。这可能更常见，因为这样在代码中处理的时候，索引可以更直观。例如，在动态规划的二维数组中，i和j可以对应到s的第i个字符和t的第j个字符。 但根据用户的函数参数，函数参数中的pos1和pos2是起始位置，应该与SString的存储方式一致。例如，如果SString的字符存储从1开始，那么pos1和pos2的起始位置也是从1开始。或者，如果存储从0开始，那么起始位置也是从0开始。这需要明确。 假设用户的SString定义中，字符存储从索引1开始，那么对应的起始位置应该从1开始。因此，在计算pos1和pos2时，需要根据具体情况调整。 例如，在动态规划的循环中，i和j从1到s.length和t.length。当s.ch[i] == t.ch[j]，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1] +1。此时，当maxlen被更新为dp[i][j]，对应的i和j是当前的位置，那么起始位置是i - maxlen +1，j - maxlen +1吗？ 比如，假设字符存储从1开始，i=3的位置对应第三个字符。如果maxlen是2，那么起始位置是3-2 +1 =2。这样，子串从2到3，长度2。是的。 或者在之前的例子中，结束位置是i，maxlen是长度，那么起始位置是i - maxlen +1。比如，i=3，maxlen=2，则起始位置是3-2+1=2，正确。或者，如果i是结束位置的索引，则起始位置是i - maxlen +1。这可能更准确。 此时，我之前在动态规划中的i和j对应的是字符串的索引，即从1开始。那么，假设i是当前字符的位置，那么起始位置是i - maxlen +1吗？ 例如，假设当前最长子串的结束位置是i和j，长度为maxlen，那么起始位置是i - maxlen +1和j - maxlen +1。例如，结束位置是i=3，长度maxlen=3，那么起始位置是3-3+1=1。是的，这样是正确的。 所以，当字符存储从1开始的话，在动态规划中的i和j对应的是字符的位置，因此起始位置是i - maxlen +1吗？或者之前的例子中的计算是否正确？ 假设字符存储从索引1开始，那么： 当i是当前字符的位置，对应的结束位置是i，maxlen是长度，则起始位置是i - maxlen +1。例如，i=3，maxlen=3，那么起始位置是3-3+1=1，即从1到3的位置，共3个字符。是的，这样正确。 所以，在代码中，当maxlen被更新时，记录当前的i和j，那么pos1 = i - maxlen +1，pos2 = j - maxlen +1。但是，这需要根据SString的具体存储方式而定。 但是，题目中的函数参数是pos1和pos2，作为起始位置。如果SString的存储是从0开始的，那么应该返回0-based的索引。所以，用户的问题中，需要明确SString的存储结构。但题目中没有给出具体定义，这可能需要假设。或者，可能用户认为，起始位置是从0开始计算的。 假设字符存储从0开始，那么当i是动态规划中的行号，对应到s的第i-1个字符。例如，在动态规划中i从1到m，对应s的字符索引0到m-1。此时，当maxlen被更新时，i是动态规划的行号，对应到s的字符索引i-1。此时，起始位置的计算是： 起始位置在s中的索引是 (i-1) - (maxlen-1) = i - maxlen. 例如，i=4（对应字符索引3），maxlen=3，起始位置是4-3=1（索引1），即字符1到3，共3个字符。是的。 同样的，对于t来说，j对应的是字符索引j-1，起始位置是j - maxlen. 因此，在代码中，当记录i和j的值时，pos1 = i - maxlen，pos2 = j - maxlen。 例如，当i=4，j=5，maxlen=3，那么pos1=4-3=1，pos2=5-3=2。对应s中从索引1开始，t中从索引2开始，长度3的子串。 综上，正确的起始位置应为pos1 = i - maxlen，pos2 = j - maxlen，其中i和j是动态规划数组中的索引，对应字符的索引是i-1和j-1。 现在，编写具体的代码： 首先，函数void maxcommonstr(SString s, SString t, int &maxlen, int &pos1, int &pos2) 假设SString的结构体中，ch数组从0开始存储，或者从1开始？ 这会影响代码的索引计算。例如，如果ch[0]是第一个字符，那么i从1到s.length循环时，s.ch[i-1]是第i个字符。 或者，如果ch[1]是第一个字符，那么s.ch[i]是第i个字符。 这个问题必须明确。例如，假设SString的ch数组从1开始存储，那么代码中s的第i个字符是s.ch[i]。此时，动态规划中的i对应的是s的第i个字符，所以i的范围是1到s.length。而对应的字符比较是s.ch[i] == t.ch[j]。 但题目中的函数参数是SString类型，而具体实现中如何处理索引，这需要看SString的具体定义。假设用户使用严蔚敏的《数据结构》中的定长顺序存储结构，即： #define MAXSTRLEN 255 typedef unsigned char SString[MAXSTRLEN +1]; // 0号单元存放串的长度 此时，SString的0号单元存放长度，字符从1号单元开始存放。例如，SString s的s[0]是长度，s[1]到s[s[0]]是字符。 在这种情况下，动态规划中的i和j对应的是字符的位置，从1到s[0]和t[0]。 那么，在比较字符时，是s.ch[i]和t.ch[j]。例如，i的范围是1到s.length，j是1到t.length。 此时，在动态规划数组中的i和j对应的是字符的位置，所以起始位置的计算应为： pos1 = i - maxlen +1 pos2 = j - maxlen +1 例如，当maxlen是3，i是3，那么起始位置是3-3+1=1，即从位置1到3，共3个字符。 这样，在代码中： 初始化maxlen为0，pos1和pos2为0。 创建二维数组dp[s.length +1][t.length +1]，初始化为0. 然后，循环i从1到s.length，j从1到t.length： if s.ch[i] == t.ch[j]: dp[i][j] = dp[i-1][j-1] +1 if dp[i][j] > maxlen: maxlen = dp[i][j] pos1 = i - maxlen +1 pos2 = j - maxlen +1 else: dp[i][j] =0 这样，pos1和pos2就是字符在s和t中的起始位置（从1开始）。 例如，当i=3，maxlen=3，那么pos1=3-3+1=1，即起始位置是1，对应字符1到3。 这样，返回的pos1和pos2是正确的。 综上，代码的正确性取决于SString的具体定义。这里需要假设SString的字符存储从索引1开始，0号单元存放长度。这种情况下，动态规划中的i和j对应字符的位置，起始位置的计算如上述。 因此，正确的算法步骤是： - 使用动态规划表格，记录以每个i和j结尾的最长公共子串长度。 - 每次发现更长的子串时，更新maxlen并记录i和j的位置。 - 最后，根据记录的i和j的位置，计算起始位置。 另外，需要考虑边界情况，比如其中一个字符串为空，或者没有公共子串的情况。此时，maxlen为0，pos1和pos2可能为0或无效值，但根据函数参数的定义，应该由调用者处理这些情况。 现在，可以编写具体的代码： void maxcommonstr(SString s, SString t, int &maxlen, int &pos1, int &pos2) { int m = s[0]; // s的长度存放在s[0] int n = t[0]; // t的长度存放在t[0] maxlen = 0; pos1 = 0; pos2 = 0; // 创建DP表，大小 (m+1) x (n+1) int dp[m+1][n+1]; // 初始化DP表为0 for (int i = 0; i <= m; i++) { for (int j = 0; j <= n; j++) { dp[i][j] = 0; } } // 动态规划填表 for (int i = 1; i <= m; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { if (s[i] == t[j]) { dp[i][j] = dp[i-1][j-1] +1; if (dp[i][j] > maxlen) { maxlen = dp[i][j]; pos1 = i - maxlen +1; // 因为i是结束位置，起始位置是i - maxlen +1 pos2 = j - maxlen +1; } } else { dp[i][j] = 0; } } } } 这里需要注意，如果maxlen仍然为0，则pos1和pos2可能未被更新，保持初始值0。这可能需要根据具体需求处理，例如，当没有公共子串时，返回maxlen=0，pos1和pos2为0或者-1之类的无效值。但根据题目要求，函数参数是带出参数，所以初始化为0即可。 但是，上述代码的空间复杂度是O(mn)，当m和n较大时可能存在问题。为了优化空间，可以使用一维数组： void maxcommonstr(SString s, SString t, int &maxlen, int &pos1, int &pos2) { int m = s[0]; int n = t[0]; maxlen = 0; pos1 = 0; pos2 = 0; int prev, temp; // 使用一维数组，长度为n+1 int dp[n+1]; for (int j =0; j <=n; j++) { dp[j] =0; } for (int i =1; i <=m; i++) { prev = dp[0]; // 保存左上角的值 for (int j =1; j <=n; j++) { temp = dp[j]; // 保存当前dp[j]的值，作为下一轮的prev if (s[i] == t[j]) { dp[j] = prev +1; if (dp[j] > maxlen) { maxlen = dp[j]; pos1 = i - maxlen +1; pos2 = j - maxlen +1; } } else { dp[j] =0; } prev = temp; } } } 这个优化后的版本使用一维数组，每次保存前一行的dp值。prev变量保存dp[i-1][j-1]的值。每次处理j的时候，prev被更新为前一行的j-1的值，然后在处理j时，计算出dp[j]，并保存temp作为下一列的prev。 这样可以节省空间，但可能比较难理解。不过，这样的空间优化是有效的。 综上，用户需要的最长公共子串的算法可以通过动态规划实现，时间复杂度O(mn)，空间复杂度O(n)。在代码中需要注意SString的存储方式，假设字符从索引1开始，长度存储在0号位置，那么起始位置的计算是正确的。 最后，测试一些例子： 例如，s = "abcde"，存储为[5, 'a','b','c','d','e']，t = "aabc"，存储为[4, 'a','a','b','c']。最长公共子串是 "abc" 吗？或者 "bc"？ 不，最长公共子串可能看具体的情况。比如，s是 "abcde"，t是 "aabc"。公共子串有 "a"（s的1，t的1），"ab"（s的1-2，t的2-3），"bc"（s的2-3，t的3-4），或者 "abc"在s中是1-3，在t中是 2-4？ 假设s的字符是 a b c d e，t的是 a a b c。那么最长公共子串是 "abc"吗？在s中位置1-3，在t中位置2-4？ 但是，在t中，位置2-4的字符是 a b c，而 s中的位置1-3是 a b c。因此，公共子串是 "abc"，长度3。因此，maxlen=3，pos1=1，pos2=2. 按照动态规划算法，当i=3（s的字符c），j=4（t的字符c），此时s[3]=c，t[4]=c。dp[3][4] = dp[2][3]+1。假设dp[2][3]是2（因为 s的字符b和t的字符b在i=2,j=3时，dp[2][3]=2），那么 dp[3][4]=3。这样，maxlen会被更新为3，pos1=3-3+1=1，pos2=4-3+1=2。正确。 这说明算法是正确的。 另一个例子，s和t没有公共子串，算法返回maxlen=0，pos1和pos2=0。 综上，这个算法可以正确处理各种情况。</think>下面介绍如何设计该算法： ### 算法思路 使用动态规划法求解最长公共子串问题。核心思想是构建一个二维数组 `dp[i][j]`，表示以 `s[i]` 和 `t[j]` 结尾的最长公共子串的长度。通过遍历两个字符串的所有字符组合，逐步计算并更新最大长度及对应位置。 ### 算法步骤 1. **初始化参数** - `maxlen` 记录最长长度（初始为0） - `pos1` 和 `pos2` 记录子串在 `s` 和 `t` 中的起始位置 2. **构建动态规划表** - 若 `s[i] == t[j]`，则 `dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1` - 否则 `dp[i][j] = 0` - 每次更新时检查并更新 `maxlen` 及位置 3. **计算起始位置** - 当发现更长的子串时，通过当前索引 `i` 和 `j` 反推起始位置： ``` pos1 = i - maxlen + 1 // s 中起始位置 pos2 = j - maxlen + 1 // t 中起始位置 ``` ### 代码实现（空间优化版） ```cpp void maxcommonstr(SString s, SString t, int &maxlen, int &pos1, int &pos2) { maxlen = pos1 = pos2 = 0; int m = s[0], n = t[0]; // 假设 SString 的 0 号单元存储长度 int dp[n+1] = {0}; // 一维数组优化空间 for (int i = 1; i <= m; i++) { int prev = 0; // 保存左上角的值（dp[i-1][j-1]） for (int j = 1; j <= n; j++) { int temp = dp[j]; // 记录当前值供下一轮使用 if (s[i] == t[j]) { dp[j] = prev + 1; if (dp[j] > maxlen) { // 发现更长公共子串 maxlen = dp[j]; pos1 = i - maxlen + 1; // 计算起始位置 pos2 = j - maxlen + 1; } } else { dp[j] = 0; } prev = temp; // 更新左上角的值 } } } ``` ### 关键点说明 - **时间复杂度**：$O(m \times n)$，双重循环遍历两个字符串 - **空间复杂度**：$O(n)$，使用一维数组优化空间 - **起始位置计算**：通过 `i - maxlen + 1` 和 `j - maxlen + 1` 推导子串起始索引 - **边界处理**：当无公共子串时，`maxlen` 保持为 0，位置参数无意义 ### 示例分析 假设 `s = "abcabc"`，`t = "ababc"`： - 最长公共子串为 `"abc"`（长度 3） - `s` 中起始位置为 1（对应索引 1），`t` 中为 2（对应索引 2） 该算法能有效处理各种情况，包括无公共子串、多个相同长度子串等场景。