计算π

### 使用不同编程语言计算π的方法 #### C语言实现莱布尼茨级数算法 为了通过C语言程序来估算π的值，可以采用莱布尼茨级数公式。此方法基于交替正负项相加减的过程，每一项按照特定模式递增分母： \[ \pi = 4 - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + ... \] 下面是具体的C代码实现方式[^1]： ```c #include <stdio.h> int main() { double pi = 0; int denominator = 1; int sign = 1; for (int i = 0; i < 1000000; ++i) { pi += ((double)(sign * 4)) / denominator; denominator += 2; sign *= -1; } printf("Approximation of Pi after one million iterations: %.15f\n", pi); return 0; } ``` 这段代码执行了一百万次迭代以获得较为接近真实值的结果。 #### Python简易版π计算器 对于希望快速得到结果而不关心速度或精度极限的情况，Python提供了一个简洁的方式来估计π。这里给出的是一个非常基础的例子[^2]: ```python import math def simple_pi(): total = 0 terms = 1_000_000 for k in range(terms): numerator = (-1)**k denominator = 2*k + 1 total += numerator/denominator result = 4*total print(f"Estimated PI with {terms:,d} terms is approximately {result:.8f}") simple_pi() ``` 该函数`simple_pi()`利用了同样的无穷级数展开形式，并且同样进行了大量的累加操作直到达到预设次数为止。 #### 莱布尼茨级数公式的通用解决方案 如果想要更加灵活地控制终止条件而不是固定循环次数，则可以根据给定的小数值作为误差界限来进行调整[^3]: ```python def leibniz_formula(threshold=1e-6): """ Use Leibniz series to approximate pi until the magnitude of each new term falls below a specified threshold. Args: threshold (float): A small positive number indicating desired accuracy level. Returns: float: An approximation of pi based on the provided precision requirement. """ pi_estimate = 0.0 current_term = 4.0 iteration_counter = 0 while abs(current_term) >= threshold: pi_estimate += current_term iteration_counter += 1 current_term /= -(iteration_counter * 2 + 1) final_result = round(pi_estimate, len(str(threshold))-2) print(f"After {iteration_counter} iterations and reaching an error margin smaller than {threshold}, " f"the estimated value of pi is about {final_result}.") leibniz_formula() ``` 上述定义允许用户指定所需的最小变化量(`threshold`)从而决定何时结束序列求和过程。 #### 积分法串行计算π 另一种常见的做法是从几何角度出发，即通过对单位圆面积的一部分进行积分运算得出π的一个估值[^4]。虽然这种方法在这里被简化成离散化处理的形式，但它依然能够有效地逼近实际值: ```cpp #include <iostream> using namespace std; int main(){ const unsigned long N = 1E6L; // Number of slices under curve y=sqrt(1-x^2). double width = 1./N; double height,x,sum=0.; for(unsigned long i=1;i<=N;++i){ x=(i-.5)*width; height=sqrt(1.-x*x); sum+=height*width; } cout << "Pi estimation via integral method:"<<sum*4<<endl; return 0; } ``` 以上展示了四种不同的途径用于解决同一个问题——计算π的不同程度上的近似解；每种方案都有其特点，在性能、复杂度以及最终所得结果的质量上各有千秋。