坐标系转换svd分解
时间: 2025-01-17 17:47:47 浏览: 44
### 使用SVD分解实现坐标系转换
#### 方法概述
SVD 分解能够将任意矩阵 \( A \) 表达为三个矩阵的乘积：\( A = U\Sigma V^T \)，其中 \( U \) 和 \( V \) 是正交矩阵，而 \( \Sigma \) 则是一个对角矩阵[^3]。这种特性使得 SVD 成为了执行坐标系转换的强大工具。
当目标是从原坐标系转至另一组基底所定义的新坐标系时，可以通过计算给定数据集的数据矩阵 \( X \) 的 SVD 来完成这一过程。具体来说：
- 数据矩阵 \( X \in R^{m\times n} \) 经过中心化处理（即每一列减去其平均值），形成新的矩阵 \( Y=X-\mu \)[^2]。
- 对 \( Y \) 进行 SVD 分解得到 \( Y=U\Sigma V^T \) 。这里，\( V \) 中包含了原始空间中的各个方向上的单位向量作为列向量；这些向量构成了新坐标轴的方向[^1]。
因此，要将在旧坐标下的点映射到由 \( V \) 定义的新坐标系下，则只需简单地左乘该点对应的列向量形式表示与 \( V^T \) 即可获得它在新坐标系里的位置。
#### Python 示例代码
下面给出一段简单的Python代码片段展示如何利用numpy库来进行上述操作:
```python
import numpy as np
def svd_transform(data_points):
"""
将输入的数据点从原来的坐标系转换到通过svd得出的新坐标系
参数:
data_points (array-like): 输入的数据点,形状应为(n_samples,n_features)
返回:
transformed_data (ndarray): 转换后的数据点数组
"""
# 首先使每维特征都居中(去除均值)
mean_centered = data_points - np.mean(data_points,axis=0)
# 执行SVD分解
_,_,vt=np.linalg.svd(mean_centered)
# 计算并返回投影后的新坐标
transformed_data = np.dot(vt.T ,mean_centered.T).T
return transformed_data
if __name__=='__main__':
# 创建一些随机测试数据
rng = np.random.RandomState(seed=42)
test_data=rng.randn(5,3)+rng.randint(-5,high=6,size=(5,))
print("Original Data Points:\n",test_data)
transfomed_test_data=svd_transform(test_data)
print("\nTransformed Data Points Using SVD:\n",transfomed_test_data)
```
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True Traceback (most recent call last): File "/home/xxzx/Desktop/ruanzhu/ziti.py", line 9, in <module> print(fm.get_cachedir()) # 显示缓存路径 ^^^^^^^^^^^^^^^ AttributeError: module 'matplotlib.font_manager' has no attribute 'get_cachedir'
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