6-9图G=（V，E)是一个带权无向图，n=|V|，m=|E|，且m=O(n^1.99)，试问，要求图的最小代价生成树，是选择普里姆算法还是克鲁斯卡尔算法？

### 带权无向图最小生成树算法的选择 对于带权无向图 \( G = (V, E) \)，其中 \( n = |V| \), \( m = |E| \)，当给定条件为 \( m = O(n^{1.99}) \) 时，需评估两种常见最小生成树算法——Prim 和 Kruskal 的适用性。 #### Prim 算法 Prim 算法的核心思想是从任意起点出发逐步扩展一棵树，每次选择当前已连接部分与未连接部分之间权重最小的边加入树中。其时间复杂度取决于实现方式： - **朴素版本**的时间复杂度为 \( O(n^2) \)[^2]，适用于稠密图。 - 使用堆优化后的版本可达到 \( O(m \log n) \)[^2]，适合处理较稀疏的情况。 在本例中，\( m = O(n^{1.99}) \)，接近于稠密图的情形（即 \( m \approx n^2 \)）。因此，如果采用朴素版 Prim 算法，则其性能表现较好。 #### Kruskal 算法 Kruskal 算法则按照所有边从小到大排序，并依次尝试将每条边添加至结果集中，前提是这条边不会形成环路。它主要依赖并查集数据结构来高效判断新增边是否会构成回路。总体上，该方法的时间开销由两方面决定： - 边排序所需时间为 \( O(m \log m) \). - 并查集操作平均摊销成本近似线性级别，具体来说大约为 \( O(\alpha(n)) \)，这里 \( \alpha() \) 表示反阿克曼函数，在实际应用中几乎恒等于一个小常数[^4]. 综合来看，整个过程大致耗费 \( O(m \log m) \) 时间。然而需要注意的是，由于此处 \( m = O(n^{1.99}) \)，所以实际上 \( \log m \sim \log n^{1.99} = 1.99\cdot\log n \). 结果表明相对于原始输入规模而言，这种增长速度仍然较快一些。 #### 对比分析 鉴于上述讨论可知： - 当面对接近完全图那样的极端情况 (\( m ~ n^2 \)) ，显然未经改进的传统形式 prim 更占优势因为它的固定二次方程组成了相对稳定的运行代价； - 反之如果是特别稀少链接型网络则 kruskals 应该会更胜一筹因为它能充分利用较低数量级的有效关联来进行全局最优挑选而无需反复扫描每一个可能节点组合关系从而减少不必要的重复劳动提高效率节省资源消耗降低整体耗时提升用户体验满意度等等诸多好处不一一列举出来啦！ 综上所述，针对题目所描述的具体参数范围内的问题实例，推荐选用 **Prim 算法** 来解决这个问题更为合适些。 ```python def prim(graph): import heapq visited = set() min_heap = [] start_vertex = list(graph.keys())[0] visited.add(start_vertex) for neighbor, weight in graph[start_vertex]: if neighbor not in visited: heapq.heappush(min_heap, (weight, start_vertex, neighbor)) total_weight = 0 while min_heap: w, u, v = heapq.heappop(min_heap) if v not in visited: visited.add(v) total_weight += w for next_neighbor, next_weight in graph[v]: if next_neighbor not in visited: heapq.heappush(min_heap, (next_weight, v, next_neighbor)) return total_weight ```