已知单位负反馈控制系统的开环传递函数：确定根轨迹的分离点与对应的根轨迹增益；确定临界稳定时的根轨迹增益K
时间: 2025-02-27 15:45:16 浏览: 173
### 单位负反馈控制系统中的根轨迹分析
对于给定的单位负反馈控制系统，其开环传递函数为 \( G(s)H(s)= \frac{k}{s(s+1)(s+2)} \)[^4]。为了找到根轨迹上的分离点及其对应的根轨迹增益\( K_g \)，并确定临界稳定状态下的根轨迹增益\( K \)，可以按照如下方法进行：
#### 寻找根轨迹的分离点
分离点是指根轨迹在S平面上相遇的地方，在这些位置上系统具有相同的根，意味着存在闭环重根[^3]。寻找分离点的方法基于求解特征方程的一阶导数等于0的位置。
设系统的开环传递函数为\[ G(s)H(s)=\frac{K_g}{(s-p_1)(s-p_2)...(s-p_n)} \]
其中，\( p_i \)表示各极点，则可得闭环特征多项式的表达式为:
\[ D(s)+N(s)\cdot K_g=0 \]
这里假设不存在零点（因为题目给出的是纯比例环节），所以有：
\[ (s+p_1)(s+p_2)...(s+p_n)+K_g=0 \]
对上述方程式关于变量 s 进行微分，并令结果等于 0 来查找可能存在的实轴上的分离点坐标 d :
\[ \sum_{i}\left(\prod_{j \neq i}(d+p_j)^{-1}\right)-\frac{\partial N(d)}{\partial s}=0 \]
由于本例中无零点项，因此简化后的计算公式变为：
\[ \sum_{i}^{n}\left[\frac{1}{d-p_i}\right]=0 \]
将具体数值代入此公式即可得到分离点的具体值。
#### 计算对应于分离点的根轨迹增益 Kg 和临界稳定的增益 K
一旦找到了分离点 d ，就可以通过下面的方式计算相应的根轨迹增益 \( K_g \):
利用定义可知，当 s=d 时，
\[ |G(d)|=\left|\frac{K_g}{(d-p_1)(d-p_2)...(d-p_n)}\right|=1 \]
从而可以直接解出此时的 \( K_g \).
至于如何确定使系统处于临界稳定状态的最大正向增益 \( K_c \)，这通常涉及到让所有的主导极点位于虚轴上来实现。这意味着要调整 \( K_g \) 的大小直到最接近虚轴的那个或那几个极点刚好落在虚轴之上为止。实际操作过程中可以通过观察根轨迹图来估计这个最大允许范围内的 \( K_g \) 或者借助MATLAB等工具来进行精确仿真验证。
```matlab
% MATLAB代码用于绘制根轨迹并找出临界稳定增益Kc
num=[1]; % 分子系数
den=conv([1 0], conv([1 1],[1 2])); % 构造分母多项式
sys=tf(num, den); % 创建LTI模型对象
rlocus(sys,'b'); hold on;
[K,p,k]=rlocfind(sys);
title('Root Locus Diagram');
xlabel('Real Axis');
ylabel('Imaginary Axis');
grid on;
```
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标题中提到的"Delphi 12 控件之TeeChartVCLFMX-2024.40.rar"指的是Delphi 12版本中使用的TeeChartVCLFMX图表控件的特定版本（2024.40版本）。Delphi是由Embarcadero Technologies开发的一款流行的集成开发环境（IDE），专门用于使用Object Pascal和C++语言开发软件应用程序。该标题强调了Delphi 12环境下TeeChartVCLFMX控件的使用，这表明Delphi的图形用户界面（GUI）组件库中包含了一个专门用于创建复杂图表和图形的组件。
从描述中仅能得到的关于文件的名称是"TeeChartVCLFMX-2024.40.rar"，这意味着文件是一个压缩包，具体包含了一个TeeChartVCLFMX的图表控件，版本号为2024.40。它可能包含了在Delphi 12版本中使用该图表控件所需的所有文件，包括库文件、二进制文件、文档等。
标签"delphi 控件"简单而直接地指出了该文件属于Delphi编程环境中的一个控件类别，表明了目标用户是Delphi开发者，他们通常使用这些控件来丰富他们的应用程序界面或增强应用程序的功能。
文件名称列表提供了关于TeeChartVCLFMX压缩包内包含的具体文件及其用途的详细信息：
1. TeeChartVCLFMX-2024.40.exe：这个文件很可能是一个安装程序或可执行文件，用于安装或运行TeeChartVCLFMX图表控件。
2. Keygen.exe：这个文件名表明它可能是一个密钥生成器（Key Generator），用于生成软件的注册码或激活码，使得控件可以脱离试用限制或进行合法授权。
3. Delphi29Binaries-2024.40-windows.pak：这个文件名暗示它包含了特定于Windows平台的Delphi 29（可能指的是Delphi 12的内部版本号）的二进制文件。pak文件是压缩包的一种格式，可能包含了运行TeeChartVCLFMX图表控件所需的库文件、DLLs、组件文件等。
4. TeeChartVCLFMX-2024.40 - D12.pdf：这是一个PDF格式的文件，很可能是用户手册或帮助文档，提供了对TeeChartVCLFMX图表控件版本2024.40在Delphi 12中的使用说明，安装指南，功能介绍或示例代码等。
综合以上信息，可以推断TeeChartVCLFMX-2024.40压缩包是为Delphi 12的开发人员提供了一个专业的图表解决方案，使得用户能够将图表功能集成到他们用Delphi开发的应用程序中。TeeChartVCLFMX可能包含各种图表类型（如条形图、折线图、饼图等），以及丰富的定制选项，如颜色、样式、图例、数据绑定、交互式功能等。开发者可以利用TeeChartVCLFMX提供的图表控件在应用程序中创建强大的数据可视化功能，这对数据分析、科学计算、商业智能、财务报告等领域特别有用。
开发者需要使用Delphi 12 IDE配合提供的组件安装程序或执行文件安装和配置TeeChartVCLFMX控件，通过阅读PDF文档来了解如何使用控件，并在需要时使用Keygen.exe激活控件。Delphi29Binaries-2024.40-windows.pak文件可能包含了控件运行所需的核心二进制组件。通过合理使用这些资源，开发者可以将TeeChartVCLFMX控件集成到自己的项目中，快速构建功能丰富的图表和数据可视化组件。
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