考虑空气阻力的斜抛运动轨迹设空气阻力与物体运动速率关系为： . 请模拟 n=0, 1, 2 三种情况下的抛体的运动 轨迹。物体的初速度 v0， 抛射角，以及阻力公式中的 k 自行确定。

### 实现带空气阻力的斜抛运动仿真 为了实现带有空气阻力的斜抛运动仿真，可以基于牛顿第二定律以及空气阻力模型来构建动力学方程。以下是针对 `n=0`、`n=1` 和 `n=2` 的三种情况分别描述其数学建模过程并提供相应的 Python 编程实现。 #### 数学建模 对于斜抛运动中的空气阻力项 \( F_d \)，通常表示为： \[ F_d = -k v^n \cdot \hat{v} \] 其中： - \( k \) 是比例系数， - \( v \) 是物体的速度大小， - \( n \) 表示空气阻力的形式因子（分别为 0、1 或 2）， - \( \hat{v} \) 是速度的方向向量。 当考虑重力加速度 \( g \) 时，水平方向和竖直方向的动力学方程可写成如下形式： ##### 不同情况下微分方程组 - **无空气阻力 (n=0)** 此种情形下仅受重力作用，无需额外计算阻力影响。 - **线性空气阻力 (n=1)** 动力学方程变为： \[ a_x = -\frac{k}{m} v_x, \quad a_y = -g - \frac{k}{m} v_y \] - **平方律空气阻力 (n=2)** 动力学方程则更加复杂： \[ a_x = -\frac{k}{m} |v| v_x, \quad a_y = -g - \frac{k}{m} |v| v_y \] 这里 \( |v| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \)[^1]。 #### Python 实现代码 下面是一个完整的 Python 脚本，用于模拟上述三种情况下的斜抛运动轨迹，并绘制结果图。 ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def simulate_projectile_motion(v0, theta_deg, k, m, dt, t_max, air_resistance_model): """ Simulate projectile motion with different types of air resistance. Parameters: v0 : float Initial velocity magnitude (in meters per second). theta_deg : float Launch angle in degrees. k : float Air resistance coefficient. m : float Mass of the object (kg). dt : float Time step size for simulation. t_max : float Maximum time to simulate. air_resistance_model : int Model type: 0=no drag, 1=linear drag, 2=square law drag. Returns: times : list List of simulated times. xs : list Horizontal positions over time. ys : list Vertical positions over time. """ theta_rad = np.radians(theta_deg) vx, vy = v0 * np.cos(theta_rad), v0 * np.sin(theta_rad) times, xs, ys = [], [], [] x, y = 0.0, 0.0 current_time = 0.0 while y >= 0 and current_time <= t_max: times.append(current_time) xs.append(x) ys.append(y) speed = np.sqrt(vx**2 + vy**2) if air_resistance_model == 0: ax, ay = 0, -9.81 elif air_resistance_model == 1: ax = -(k / m) * vx ay = -9.81 - (k / m) * vy elif air_resistance_model == 2: ax = -(k / m) * speed * vx ay = -9.81 - (k / m) * speed * vy vx += ax * dt vy += ay * dt x += vx * dt y += vy * dt current_time += dt return times, xs, ys # Simulation parameters v0 = 50 # initial velocity in m/s theta_deg = 45 # launch angle in degrees k_values = [0, 0.1, 0.01] # air resistance coefficients for each model mass = 1 # mass of the projectile in kg dt = 0.01 # time step t_max = 10 # maximum simulation time plt.figure(figsize=(10, 6)) for i, k_value in enumerate(k_values): times, xs, ys = simulate_projectile_motion( v0=v0, theta_deg=theta_deg, k=k_value, m=mass, dt=dt, t_max=t_max, air_resistance_model=i ) label_text = f'n={i}, k={k_value}' plt.plot(xs, ys, label=label_text) plt.title('Projectile Motion under Different Air Resistance Models') plt.xlabel('Horizontal Distance (m)') plt.ylabel('Vertical Height (m)') plt.legend() plt.grid(True) plt.show() ``` 该脚本实现了对不同空气阻力模型的数值积分求解，并最终生成了一张对比图表展示各条轨迹差异[^2]。 #### 结果分析 运行以上程序后会获得一张二维平面内的投掷物飞行路径图形。每一条曲线代表一种特定条件下产生的效果——即是否存在及何种类型的气动阻尼存在对其整体行为模式的影响程度如何直观可见。 ---