机器人学关节坐标系相对基坐标系的旋转矩阵

### 机器人学中关节坐标系相对于基坐标系的旋转矩阵 在机器人学中，为了描述机械臂各部分的位置和姿态，通常采用多个坐标系来表示不同的部件或关节位置。对于关节坐标系相对基坐标系的变换，主要通过旋转和平移两种方式实现。其中，旋转矩阵用于表达两个坐标系之间的方向关系。 #### 定义与概念 当考虑从一个坐标系（如基坐标系）到另一个坐标系（如末端执行器所在的关节坐标系）的变化时，可以利用旋转矩阵 \( R \) 来完成这种转换。假设存在两组正交单位向量分别代表源坐标系和目标坐标系的方向，则可以通过这些向量构建相应的旋转矩阵[^1]。 具体来说，在处理相机坐标系 (x, y, z) 转换至机器人坐标系下的情况时，可通过乘以特定的旋转矩阵 \( R_{\text{camera-to-robot}} \)，即： \[ xyz(\text{相机}) * R_{\text{camera-to-robot}} = xyz(\text{机器人}) \] 这表明了如何将一点由一个坐标系统映射到另一坐标系统的数学形式[^2]。 #### 计算方法及公式 对于任意给定的角度绕指定轴线进行旋转操作，可依据欧拉角定义得到具体的旋转矩阵元素值。需要注意的是，这里的下标应当按照实际发生的旋转序列而非固定次序安排。例如，如果先沿X轴再依次沿着Y轴最后Z轴做三次连续转动的话，那么最终形成的总旋转效果可以用三个独立的小角度增量组合而成[^3]。 设某关节i关于其前一连杆所处的空间方位变化可用一组旋转变换参数\( (\theta_x,\theta_y,\theta_z)_i\) 描述，则该节点对应的局部坐标框架LCS_i 对全局参考系GCS 的整体位姿调整过程如下所示: \[ T_i^{(j)}=R_z(\alpha_j)*T_d*R_y(\beta_j)*T_a*R_x(\gamma_j)\] 这里， - \( R_*() \): 表达围绕相应轴(*=x,y,z*)发生一定度数偏转后的标准正交阵； - \( T_d,T_a \): 分别指代因平动引起的状态转移项； 上述方程展示了单个关节运动所带来的累积影响，并且能够推广应用于整个多自由度串联机构上[^4]。 ```python import numpy as np def rotation_matrix(theta_x, theta_y, theta_z): """ 创建基于输入Euler angles的旋转矩阵 参数: theta_x : float 绕X轴旋转角度(rad) theta_y : float 绕Y轴旋转角度(rad) theta_z : float 绕Z轴旋转角度(rad) 返回: ndarray: 形状为(3,3)的numpy数组作为旋转矩阵 """ Rx = np.array([[1, 0, 0 ], [0, math.cos(theta_x), -math.sin(theta_x)], [0, math.sin(theta_x), math.cos(theta_x)]]) Ry = np.array([[ math.cos(theta_y), 0, math.sin(theta_y)], [ 0, 1, 0], [-math.sin(theta_y), 0, math.cos(theta_y)]]) Rz = np.array([[ math.cos(theta_z), -math.sin(theta_z), 0], [ math.sin(theta_z), math.cos(theta_z), 0], [ 0, 0, 1]]) return Rz @ Ry @ Rx ```