svd算法 python

### K-SVD重构算法的Python实现 #### 环境准备 为了顺利运行K-SVD重构算法，需安装必要的Python包。主要依赖于`numpy`用于数值运算以及`scipy`提供科学计算功能。 ```bash pip install numpy scipy matplotlib ``` #### 数据初始化与预处理 在执行K-SVD之前，通常先加载并标准化待处理的数据集。这里以图像去噪为例说明： ```python import numpy as np from skimage import data, img_as_float from skimage.util import random_noise from sklearn.preprocessing import normalize def prepare_data(image_path=None): """Prepare noisy image.""" if not image_path: # Use default test image from scikit-image library. original = img_as_float(data.camera()) else: raise NotImplementedError("Custom image loading is not implemented.") sigma = 0.155 noisy_image = random_noise(original, var=sigma**2) return original, noisy_image ``` #### 构建字典学习模型 定义函数来创建初始字典D，并通过迭代更新字典和稀疏表示X直到收敛为止。 ```python from scipy.sparse.linalg import lsqr class KSVD(object): def __init__(self, n_components, max_iter=10, tol=1e-6, transform_n_nonzero_coefs=None): self.n_components = n_components self.max_iter = max_iter self.tol = tol self.transform_n_nonzero_coefs = transform_n_nonzero_coefs def _update_dict(self, phi, Y, Z): for i in range(self.n_components): index_set = (Z[:,i]!=0).nonzero()[0] if len(index_set)==0: continue psi_i = phi[index_set,:].T @ Y[index_set,:] / \ ((phi[index_set,i])**2).sum() r = Y - Z@psi_i.reshape(-1,1) u,s,vh=np.linalg.svd(r.T@r)[::-1][:3] phi[:,i]=u[:,0]; psi_i=vectors[0]/s[0] return phi def fit_transform(self, X): m,n=X.shape; p=self.n_components; D_init = np.random.randn(n,p); D=D_init.copy(); sparse_code = np.zeros((m,p)) for iteration in range(self.max_iter): prev_D = D.copy() # Sparse coding step using OMP or any other method for j in range(m): residual = X[j]-sparse_code[j]@(D.T) idx = abs(D.T@residual).argmax() sparse_code[j,idx]+=np.sign(residual[idx])*(abs(D.T@residual)).max() D = self._update_dict(D,X,sparse_code) change_rate=(prev_D-D)**2/(prev_D**2+1e-9).mean(axis=0) if all(change_rate<self.tol): break return D, sparse_code ``` 此部分实现了基本框架下的KSVD类[^2][^3]。 #### 应用实例：图像去噪效果展示 最后一步是应用上述训练好的字典对含噪声图片进行恢复操作。 ```python if __name__ == "__main__": orig_img, noised_img = prepare_data() ks = KSVD(256,max_iter=5,tol=1E-4,) dictionary,_ = ks.fit_transform(noised_img.flatten().reshape((-1,1))) reconstructed_signal = ... # Complete this line with reconstruction logic based on the learned dictionary and coefficients. fig, axes = plt.subplots(ncols=3, figsize=(8, 3), sharex=True, sharey=True) ax = axes.ravel() ax[0].imshow(orig_img, cmap='gray') ax[0].set_title('Original Image') ax[1].imshow(noised_img, cmap='gray') ax[1].set_title('Noisy Image') ax[2].imshow(reconstructed_signal.reshape(orig_img.shape),cmap='gray') ax[2].set_title('Reconstructed Image') plt.tight_layout() plt.show() ``` 这段代码展示了如何使用自定义的KSVD对象去除图像中的随机噪声。

SVD-TLS算法是一种基于奇异值分解（SVD）和总体最小二乘（TLS）的算法，用于解决线性方程组的最小二乘问题。在Python中，我们可以使用NumPy库来实现该算法。 首先，我们需要导入NumPy库： ```python import numpy as np ``` 然后，我们可以定义一个函数来实现SVD-TLS算法： ```python def svd_tls(A, b): U, s, V = np.linalg.svd(A) S = np.zeros((A.shape[0], A.shape[1])) S[:A.shape[0], :A.shape[0]] = np.diag(s) x_tls = V.T @ np.linalg.inv(S) @ U.T @ b return x_tls ``` 该函数接受两个参数，矩阵A和向量b，并返回通过SVD-TLS算法计算得到的解x_tls。 在函数内部，我们首先使用`np.linalg.svd()`函数对矩阵A进行奇异值分解，得到U、s和V。然后，我们创建一个与A形状相同的零矩阵S，并将奇异值填充到S的对角线上。接下来，我们使用矩阵乘法和逆运算得到x_tls的计算结果。 最后，我们可以使用该函数来解决线性方程组的最小二乘问题。例如，我们可以使用以下代码来求解方程组Ax=b： ```python A = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]]) b = np.array([7, 8, 9]) x_tls = svd_tls(A, b) print(x_tls) ``` 这将打印出通过SVD-TLS算法计算得到的方程组的最小二乘解x_tls的值。