对于已知的 k 个公共点，对应两个坐标系分别为 () 和 ()，多元回归模型利用多项式拟合建立二者之间的转换关系如下式所示： 式中，和为待求系数，（M+N）为模型阶数，通过改变模型阶数使得公共点转换误差最小，从而确定模型阶数和待求系数。

### 使用多元回归模型进行坐标系转换 为了实现两个坐标系之间的转换，可以采用多元回归模型来进行建模。具体来说，在已知若干组对应于源坐标系和目标坐标系下的公共点的情况下，可以通过构建一个映射关系来完成这一任务。 #### 构建多元回归模型 假设存在\(n\)个公共点\((X_i, Y_i)\)，其中\(X_i=(x_{i1}, x_{i2})\)表示第\(i\)个点在原坐标系的位置向量；\(Y_i=(y_{i1}, y_{i2})\)代表该点变换到新坐标系后的相应位置向量。此时，可建立如下形式的线性方程： \[ \hat{Y} = W_0 + W_1 X_1 + ... + W_m X_m \] 这里，\(W_j (j=0,...,m)\)即为待估计参数，也称为权重或系数。对于二维空间内的坐标转换而言，\(m\)等于输入维度的数量乘以输出维度数量减一（因为常数项单独考虑）。因此，当涉及到从一个平面坐标系转至另一个时，会有四个未知变量需要求解——平移分量以及沿各轴的比例因子[^1]。 #### 确定最优模型阶数 为了找到最佳拟合度而不至于过拟合的数据集，应当尝试多种不同的多项式次数并对比其表现效果。较低次幂可能无法捕捉复杂的模式变化趋势，而过高则容易引入不必要的波动造成泛化能力下降。一种常用的方法是在训练过程中加入正则化项，比如岭回归所使用的L2范数惩罚机制，从而有效地控制复杂程度的同时保持良好的预测精度[^3]。 在此基础上，还可以利用交叉验证技术进一步优化超参数的选择过程。通过将原始样本随机划分为几个子集轮流充当测试集合的方式，可以获得更加稳定可靠的评价指标作为参考依据[^2]。 ```python from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures, StandardScaler from sklearn.linear_model import RidgeCV import numpy as np def fit_transform(X_src, Y_dst, degrees=[1, 2, 3]): min_error = float('inf') best_degree = None best_regressor = None for degree in degrees: poly_features = PolynomialFeatures(degree=degree) scaler = StandardScaler() # 数据预处理：增加高维特征 & 标准化 X_poly_scaled = scaler.fit_transform(poly_features.fit_transform(X_src)) ridge_cv = RidgeCV(alphas=np.logspace(-6, 6, 13)).fit(X_poly_scaled, Y_dst) error = np.mean(np.square(ridge_cv.predict(X_poly_scaled)-Y_dst)) if error < min_error: min_error = error best_degree = degree best_regressor = ridge_cv return { 'best_degree': best_degree, 'regressor': best_regressor, 'error': min_error } ``` 此代码片段展示了如何基于给定的一系列候选阶数值寻找最适合当前数据特性的那一个，并返回相应的回归器对象及其对应的均方误差值。