二叉树的lower_bound和upper_bound

<think>我们面对的问题是在满二叉树上进行多次断边操作，然后查询两点间路径的异或和（边权异或）。但根据引用，我们注意到有关于“异或树”和树链剖分的讨论。然而，用户的问题描述中提到了“断边操作”和“连通块大小查询”，但后面又提到“计算异或和”，这似乎有些混淆。让我们重新梳理用户的问题： 用户说：“我想解决关于满二叉树的多次操作后的连通块大小查询问题 请问在满二叉树上进行多次断边操作后，如何高效处理每个查询并计算异或和？” 这里有两个关键点： 1. 多次断边操作：会使得树被分割成多个连通块（子树）。 2. 查询：有两种，一种是连通块大小查询，另一种是计算两点间路径的异或和（但注意，断边后两点可能不连通，此时无法计算路径异或和？）。 然而，用户的问题描述中同时提到了“连通块大小查询”和“异或和”，这可能是两个不同的问题。但用户最后一句是“计算异或和”，所以可能重点在异或和，但问题开头是连通块大小查询。因此，我们需要明确。 但根据引用，我们看到了关于异或路径的讨论（引用1和2）以及子异和（引用3）。因此，我们可能需要解决两个问题： - 断边后如何高效查询两点是否连通？如果不连通则无法计算路径异或和。 - 如果连通，如何高效计算两点间路径的异或和？ 另外，用户提到了“满二叉树”，这是一个特殊的树结构，每个节点都有两个子节点（除了叶子节点），并且高度为log(n)。这可以让我们设计更高效的算法。 考虑到断边操作，我们可以使用并查集来维护连通块。但是，并查集只能维护连通性，不能维护路径上的异或和。因此，我们需要结合其他数据结构。 在树中，两点间路径的异或和可以通过两个节点到根节点的异或和的异或得到（因为从根到两点的路径异或和相异或，重复的部分会被抵消）。即：设root为根，dis[u]表示从根到u的路径上所有边权的异或值，则u到v的路径异或和为：dis[u] XOR dis[v]。注意，这个性质成立的前提是树结构没有改变，且u和v在同一棵树中（即同一个连通块）。 但是，断边操作会使得树被分割，形成多个连通块（子树）。每个连通块都有自己的根（或者我们可以指定新的根？）。因此，我们需要维护每个连通块内的节点到其所在连通块的根节点的异或值。 然而，断边操作会改变树的结构，导致连通块分裂。当断开一条边(u, v)时（假设u是v的父节点），那么以原树根为根的子树中，v所在的子树会独立出来。此时，我们需要将v所在的子树视为一个新的连通块，并更新该连通块内所有节点的dis值吗？注意，断开边后，v所在的子树内节点的dis值实际上并没有改变（因为它们的路径还是从原来的根到该节点，只是现在路径被切断了？）。实际上，我们并不需要更新子树内所有节点的dis值，因为即使断开，我们仍然可以保留原来的dis值（只要在查询时确保两点在同一连通块内，然后使用原来的dis值计算，因为从根到u和根到v的路径在断开后，它们的公共祖先部分仍然是相同的，但是断开后，v所在的子树实际上已经独立，所以根节点可能不再是原来的根？） 这里有一个关键：我们通常将整棵树的根作为根节点，即使断开边后，每个连通块内的节点仍然保留着从原树根到该节点的路径异或值。那么，在断开边后，如果我们仍然使用原树根，那么对于两个节点u和v，如果它们不在同一个连通块，那么它们到根节点的路径在某个点就分开了（在断开边之前就已经分开），所以dis[u] XOR dis[v]实际上等于从根到u和从根到v的两条路径的异或，而这两条路径在分叉点之前是公共的，分叉点之后是独立的。因此，异或的结果实际上是从u到v的路径上所有边权的异或（因为公共部分被抵消了）。这个性质在断开边后仍然成立吗？ 答案是：只要u和v在断开边后仍然连通（即断开边不影响u到v的路径），那么dis[u] XOR dis[v]就是u到v的路径异或和。因为断开边只影响连通性，如果u和v仍然连通，那么它们的路径上并没有被断开的边，所以路径还是原来的路径。如果u和v不连通，那么我们就不能计算。 因此，我们可以这样处理： 1. 使用一个并查集维护连通块，同时记录每个节点到原树根节点的dis值（在初始建树时计算好）。 2. 断边操作：当断开一条边(u,v)时，我们实际上是将v所在的子树从u所在的连通块中分离。在并查集中，我们需要将v所在的连通块独立出来（注意，断边操作是不可逆的，且断边后v所在的连通块内所有节点与u所在的连通块不再连通）。但是，并查集通常不支持断开操作（只支持合并）。因此，我们需要使用可持久化并查集或者离线处理（如时光倒流）？但注意，断边操作是永久的，且后续操作可能依赖当前状态。 另一种思路：由于是满二叉树，节点数固定，我们可以使用树链剖分+线段树维护异或和。但是断边操作相当于删除边，我们需要支持删除边后的查询。这通常比较困难。 或者，我们可以使用动态树（LCT）？但是LCT可以支持边的删除和连接，以及路径查询。但是LCT复杂度为O(log n)每次操作，对于满二叉树可能可以简化？ 但用户要求高效处理，且是满二叉树，我们可以利用满二叉树的性质。 满二叉树的性质：节点编号有规律，我们可以用数组表示，且父子关系明确。 具体方案： 1. 初始时，我们预处理每个节点到根节点的dis值（通过一次DFS或BFS，因为满二叉树，我们可以用数组下标计算父子关系）。 2. 使用一个并查集（带权）来维护连通块。并查集中每个节点记录： - 父节点指针 - 到根节点的异或值（这里并查集的根节点不一定是原树的根，而是连通块的根，这会导致问题） 因此，我们需要改变思路：我们不再使用原树的根，而是使用每个连通块的代表节点？但是这样就不能直接利用dis[u] XOR dis[v]了。 所以，我们坚持使用原树根节点作为参考点。那么，我们只需要知道任意两点是否连通，以及它们到根节点的dis值。那么，两点间路径异或和就是dis[u]^dis[v]（如果它们连通）。 那么，问题转化为： - 如何维护连通性（并查集）？ - 如何更新dis值？实际上，断开边不会改变子树内节点的dis值（因为dis值是从原树根节点开始计算的，即使断开，子树内节点到原树根的路径并没有改变，只是这条路径上可能包含断开的边？但注意，断开的边只是不再允许通过，而dis值计算的是从根节点到该节点经过的边的异或，这个值在断开边后仍然不变，因为路径是唯一的，且断开边并不影响该路径上已经计算过的边权？） 因此，dis值在断边操作后不需要更新。但是，当我们断开一条边(u,v)（设u是v的父节点）后，v所在的子树内的节点与根节点的连通性被切断？实际上，dis值记录的是从根节点到该节点在初始树中的路径异或，这个值不会改变。但是，在断开边后，如果两个节点仍然连通，那么它们之间的路径还是初始树中的路径（因为树中路径唯一），所以异或和还是dis[u]^dis[v]。如果两个节点不连通，那么它们之间没有路径，也就无法计算异或和（或者返回一个特殊值）。 因此，我们只需要维护连通性。那么，我们可以用并查集来维护连通性。但是，并查集通常不支持删除边（分离子树）。所以，我们需要支持删除边的并查集？或者使用其他数据结构。 由于满二叉树的树高为O(log n)，我们可以暴力维护？但是多次操作和查询，暴力可能超时。 另一种思路：使用欧拉环游树（ETT）维护子树？但比较复杂。 或者，利用满二叉树的性质，我们用一个数组cut[u]表示节点u与其父节点之间的边是否被切断。那么，判断两个节点u和v是否连通：我们可以分别从u和v向上跳到根节点（记录路径），然后检查它们向上跳的路径上是否有被切断的边，以及它们最终能否到达同一个根（注意，根节点可能被孤立？）。但是，这样每次查询的复杂度是O(log n)（树高），对于多次查询可以接受。 同时，我们还需要快速计算路径异或和。我们可以维护每个节点到根节点的dis值（初始计算好）。那么，如果u和v连通，则u到v的路径异或和=dis[u]^dis[v]。因此，我们只需要判断连通性。 如何判断连通性？在满二叉树中，我们可以分别找到u和v到根节点的路径（节点列表），然后检查这两条路径上从根节点开始的最长公共前缀（LCP）是否连续（即没有断边）。但是，由于断边，u和v可能属于不同的连通块，即它们到根节点的路径上，在某个点以下被切断。具体来说，设LCA(u,v)为u和v在原树中的最近公共祖先，那么u到v的路径是u->LCA(u,v)->v。而这条路径连通的条件是：u到LCA(u,v)的路径上没有断边，且v到LCA(u,v)的路径上没有断边。 因此，我们需要： 1. 快速求LCA（满二叉树，我们可以用节点编号特性快速计算，或者用倍增法预处理）。 2. 判断u到LCA(u,v)的路径上是否有断边：我们可以记录每个节点与其父节点之间的边是否被切断。那么，从u向上跳到LCA(u,v)，检查路径上的每条边（即每个节点与父节点的边）是否被切断。同理检查v到LCA(u,v)。 但是，每次查询可能需要O(log n)的时间跳转，总查询次数为m，则总复杂度O(m log n)，可以接受。 所以，具体步骤： 1. 初始化： - 构建满二叉树，节点数为N（已知）。 - 输入每条边的权值（或者随机？但问题没有给出，我们假设边权已知）。 - 预处理每个节点到根节点的dis值（通过BFS或DFS，因为满二叉树，我们可以用数组下标计算）。 - 用一个布尔数组cut[u]（或者用set存储被切断的边）记录每条边是否被切断。注意，我们只需要记录每个节点与其父节点之间的边（根节点没有父节点）。 - 预处理LCA：由于满二叉树，我们可以用数学方法快速求LCA（例如，通过节点编号的二进制表示）。或者，我们也可以预处理每个节点的深度，然后使用倍增法（但满二叉树的深度可以计算，所以不需要倍增表，但为了求LCA，我们可以用位运算）。 在满二叉树中，节点编号通常是从1到2^d-1（d为深度）。节点i的父节点为i/2（整数除）。那么，求节点u和v的LCA： - 先计算u和v的深度，将深度较大的节点向上调整到同一深度。 - 然后同时向上跳，直到相遇。 但是，由于树是满二叉树，节点编号的二进制表示可以反映路径：从根节点（1）开始，左子树0，右子树1。那么，两个节点的LCA就是它们编号的二进制表示的最长公共前缀对应的数。 例如，节点5（二进制101）和节点7（二进制111），LCA为节点3（二进制11）。 2. 断边操作：给定一条边（可能是以两个端点形式给出），我们将其切断。在满二叉树中，边连接的是父节点和子节点。因此，我们可以确定哪个是子节点（深度大的为子节点），然后标记cut[child]=true（表示该节点与其父节点的边被切断）。 3. 查询操作：给定两个节点u和v。 - 首先，判断u和v是否连通：计算LCA（设为w）。 - 检查u到w的路径：从u开始向上跳到w，检查路径上的每条边（即u与父节点，父节点与祖父节点，直到w）是否被切断。如果遇到任何一条边被切断，则不连通。 - 同样检查v到w的路径。 - 如果两条路径都没有断边，则连通，则路径异或和=dis[u]^dis[v]。 - 否则，不连通，返回特殊值（如-1或None）。 注意：这里有一个问题，如果u或v的路径上在到达w之前就被切断了，那么它们就不连通。但是，也有可能w与它的父节点之间的边被切断？这并不影响u和v的连通性，因为u和v的路径只到w。所以，我们只关心u->w和v->w这两条路径。 然而，还有一种情况：如果u和v的LCA是根节点，而根节点与它的某个祖先的边？但根节点没有父节点，所以不会影响。因此，我们只需要检查u->w和v->w。 但是，如果w不是根节点，而w与其父节点的边被切断，这会影响u和v与根节点的连通性吗？注意，我们这里判断的是u和v之间的连通性，而u和v的路径只到w，所以w与其父节点的边被切断并不影响u和v之间的连通性（因为u和v的路径在w处已经汇合，路径就是u->w->v）。所以，我们不需要考虑w与其父节点的边。 因此，算法正确。 但是，每次查询需要O(depth(u))的时间，在满二叉树中depth(u)=O(log n)，所以总复杂度O(m log n)，可以接受。 另外，用户还提到了“连通块大小查询”。问题描述中同时有连通块大小查询和异或和查询。但用户最后要求的是“计算异或和”，所以可能异或和查询是重点。但问题开头提到了“连通块大小查询”，所以我们需要同时支持两种查询？ 用户原话：“多次操作后的连通块大小查询问题”和“计算异或和” 因此，我们需要支持两种查询： 1. 查询某个节点所在连通块的大小。 2. 查询两个节点间路径的异或和（如果连通）。 对于连通块大小查询，我们可以在并查集中维护每个连通块的大小。但是，并查集不支持删除边（分离子树）。因此，我们需要一个支持删除边的数据结构来维护连通块大小。 或者，我们仍然用cut数组，然后通过遍历子树来统计大小？但每次查询需要O(n)时间，不可接受。 因此，我们需要动态维护每个连通块的大小。当断开一条边时，一个连通块分裂成两个。我们可以用平衡树或者动态点分治？但满二叉树，我们可以用DFS序，但断边后DFS序会变化。 另一种思路：使用并查集，但并查集不支持删除，我们可以考虑离线处理，将操作倒序，变删除为添加？但题目没有说是离线。 或者，我们使用Link-Cut Tree（LCT）来维护。LCT可以支持动态树的连接和断开，同时可以维护子树大小。但是，LCT的复杂度为O(log n)每次操作，可以接受。 但是，用户要求高效处理，且满二叉树，我们能否有更简单的方法？ 由于满二叉树的结构固定，我们可以用DFS序+线段树维护子树大小。但是，断边操作会导致子树分离，即一个子树独立出来。那么，我们可以将原树的DFS序分成多个区间（每个连通块对应一个区间）。但断边操作会改变区间，所以我们需要动态维护区间。 我们可以使用平衡树维护DFS序区间。具体地，我们可以用一个set来维护当前的所有区间（每个区间代表一个连通块）。当断开一条边（u,v）时（v是子节点），那么v的子树对应的DFS序区间就会独立出来。因此，我们需要将原区间分裂成两个区间（v的子树区间和剩下的部分）。同时，我们需要记录每个连通块的大小（即区间长度）。 但是，如何快速找到v的子树对应的DFS序区间？我们可以预先进行DFS，记录每个节点的子树大小和DFS序（in[u], out[u]）。然后，断开边(u,v)时，v的子树对应的区间就是[in[v], out[v]]。那么，我们可以将原连通块的区间（设为[L,R]）分裂成两个区间：[L, in[v]-1]和[out[v]+1, R]，以及[in[v], out[v]]。注意，满二叉树的DFS序是连续的。 因此，我们需要： 1. 预处理DFS序：in[u], out[u]。 2. 用一个数据结构（如set）维护当前所有的区间，每个区间对应一个连通块，并记录该连通块的大小（区间长度）。 3. 同时，我们需要一个映射，从节点到其所在的连通块区间。这样，当查询一个节点u所在连通块的大小时，我们通过映射找到u所在的区间（即包含in[u]的区间），然后返回该区间的大小。 但是，如何快速找到包含in[u]的区间？我们可以用平衡树（set）维护区间，并按区间左端点排序。然后二分查找。 具体操作： - 初始时，整个树对应一个区间[1, N]（假设节点数为N）。 - 断边操作：给定边，我们确定子节点v。然后，v的子树对应的DFS序区间为[in[v], out[v]]。然后，我们在set中找到包含in[v]的区间（设为[L,R]），然后将其分裂成三个区间：[L, in[v]-1], [in[v], out[v]], [out[v]+1, R]（注意，如果in[v]等于L，则第一个区间为空；如果out[v]等于R，则第三个区间为空）。然后删除原区间[L,R]，加入分裂后的非空区间。 - 查询连通块大小：对于节点u，我们找到包含in[u]的区间，该区间的大小（即右端点-左端点+1）就是连通块大小。 但是，每次断边操作，我们只分裂一个区间，所以set中区间最多O(m)个（m为断边操作次数），查询时二分查找O(log m)，可以接受。 同时，我们还需要支持异或路径查询。如前所述，我们仍然需要判断两个节点是否连通（即是否在同一个连通块），以及计算dis[u]^dis[v]。判断两个节点是否连通：它们对应的DFS序区间是否相同？但是，两个节点在同一个连通块当且仅当包含它们的DFS序的区间是同一个区间。因此，我们可以通过节点u和v的DFS序，分别找到它们所在的区间，然后比较区间指针（或者区间编号）是否相同。 因此，我们可以将连通块用区间表示，每个区间有一个唯一的标识（如区间左端点），然后每个节点记录它所在的连通块标识。这样，查询两个节点是否连通：比较它们所在的连通块标识。 但是，断边操作（分裂区间）时，我们需要更新新分裂出的区间内所有节点所在的连通块标识？这需要O(size(v))的时间，不可接受。 因此，我们需要避免更新所有节点。那么，我们可以不记录每个节点所在的连通块，而是通过DFS序的范围查询：对于节点u，我们找到包含in[u]的区间，然后得到该区间的标识。对于节点v同理。然后比较标识。而标识就是区间的左端点（唯一），所以我们可以用一个全局的set存放所有区间，然后对每个节点u，我们维护一个指针（或区间左端点）表示它所在的区间。但是，当分裂区间时，v的子树内所有节点的所在区间都需要更新为新的区间（新区间[in[v],out[v]]）。所以我们需要更新子树内所有节点的标记？这又是O(size(v))。 为了避免更新所有节点，我们可以用并查集？但是并查集不支持分裂。 另一种思路：我们只维护每个连通块的根节点。在断边后，v的子树独立，那么v成为新的连通块的根。然后，判断两个节点是否连通：判断它们的根节点是否相同。这样，我们可以用并查集，但并查集如何支持分裂？ 实际上，我们可以用启发式分裂：每次断开一条边，将较小的连通块（即v的子树，如果v的子树大小小于原连通块大小的一半）分裂出去。这样，每个节点最多被分裂O(log n)次。我们可以维护每个节点所在的连通块的根节点（记为root[u]）。当分裂时，我们将v的子树内所有节点的root[u]更新为v。这样，总更新次数O(n log n)。但是，每次断边操作需要遍历较小的连通块，复杂度O(size(v))，总复杂度O(n log n)（所有操作的总和）。 但是，用户有多次操作，如果操作次数m很大，总复杂度可能达到O(nm)？所以不可取。 因此，我们回到使用DFS序区间和set来维护区间，并且不更新节点标记，而是在查询时通过二分查找节点u的DFS序in[u]所在的区间。这样，查询连通块大小和判断连通性都可以在O(log m)时间内完成（m为断边次数，即区间数）。 具体： - 全局维护一个set，每个元素是一个区间（l, r），表示一个连通块，并记录该连通块的大小（r-l+1）。 - 断边操作（断开v与其父节点的边）： 1. 在set中找到包含in[v]的区间（设为A=[L,R]）。 2. 从A中分裂出v的子树区间B=[in[v], out[v]]。 3. 将A更新为A' = [L, in[v]-1]和A''=[out[v]+1, R]（如果有非空部分），然后删除A，加入A'、A''和B（如果非空）。 - 查询节点u所在连通块大小：在set中二分查找包含in[u]的区间，然后返回区间长度。 - 查询两个节点u和v是否连通：在set中分别找到包含in[u]和in[v]的区间，如果相同则连通，否则不连通。 然后，对于异或和查询：如果u和v连通，则返回dis[u]^dis[v]；否则返回不连通。 注意：这里我们只通过DFS序区间判断连通性，但前提是：两个节点属于同一个连通块当且仅当它们的DFS序在同一个区间。这要求连通块必须是DFS序连续区间。在满二叉树中，断边操作（断开父节点和子节点）后，每个连通块（子树）的DFS序仍然是连续的。因此，成立。 因此，总结： - 预处理：DFS计算in[u], out[u], dis[u]（到根节点的异或和）。 - 初始化set，加入整个区间[1, N]。 - 对于每个断边操作： - 输入边（可能以两个节点形式给出），我们确定子节点v（深度大的为子节点）。 - 在set中查找包含in[v]的区间，然后分裂成三个区间（可能两个），更新set。 - 对于查询连通块大小：输入节点u，在set中查找包含in[u]的区间，输出区间长度。 - 对于查询两点路径异或和：输入u,v，先判断是否在同一个连通块（即包含in[u]和in[v]的区间是否同一个），如果是，则输出dis[u]^dis[v]；否则输出不连通。 注意：断边操作时，我们只需要知道子节点v，因为断开的是v与其父节点的边。 但是，输入中可能给出的边不是父子关系？在满二叉树中，边连接的是父节点和子节点，所以我们可以通过深度判断（或者节点编号：父节点编号为子节点编号除以2）。因此，如果输入边(u,v)，我们比较深度，深度大的为子节点，另一个为父节点。如果深度相同？在树中，深度相同说明不是父子关系（满二叉树的父子关系深度差1），所以输入保证是父子边？或者用户输入的是父子边？问题没有明确，我们假设输入的是父子边，或者我们可以通过深度判断：如果u的深度等于v的深度+1，则u是v的父节点？或者反过来。 因此，在断边操作时，如果输入(u,v)，我们假设u和v相邻，然后判断深度：深度大的为子节点，另一个为父节点。然后，断开的就是父节点与子节点的边。 实现细节： - 如何快速找到包含某个点x的区间？在set中，我们以区间左端点排序，然后二分查找：找到左端点小于等于x的最大区间，然后检查x是否在区间内。 - set中存储区间，按左端点排序。我们可以用pair<l, r>，然后set按l排序。 - 查找：使用set的lower_bound或upper_bound。具体：用upper_bound(x)（返回第一个左端点大于x的区间），然后前一个区间可能是包含x的区间。或者，我们可以用： ```c++ auto it = set.upper_bound(make_pair(x, INF)); // 返回第一个l>x的区间 if (it == set.begin()) 没有区间包含x; else it--; if (it->first <= x && x <= it->second) 找到; else 没有; ``` - 分裂区间：找到区间A=[L,R]，以及要分裂的区间B=[l0, r0]（即v的子树区间[in[v],out[v]]）。那么，分裂成： - [L, l0-1] (if L<=l0-1) - [l0, r0] (这就是B) - [r0+1, R] (if r0+1<=R) 然后删除A，加入这三个非空区间。 最后，我们还需要注意：根节点没有父节点，所以不能断开根节点的父边？但根节点可能被孤立？不会，因为断边都是父子边，根节点没有父节点，所以不会断开根节点的父边。因此，根节点始终存在。 但是，如果断开了根节点和其子节点的边，那么根节点所在的连通块就是根节点自己（如果只有一个子节点被断开，那么根节点和另一个子节点还在一个连通块？）—— 通过DFS序，根节点的in[root]=1，out[root]=N。断开一条边后，根节点所在的连通块区间为[1, in[v]-1]和[out[v]+1, N]（如果v是根节点的子节点），以及v的子树区间[in[v],out[v]]。 因此，根节点所在的连通块区间不连续？但我们的算法允许一个连通块对应多个区间？不，我们在分裂时，一个区间分裂成多个区间，每个区间对应一个连通块。但是，一个连通块可能对应多个不连续的区间吗？在满二叉树中，断开一条边（父节点和子节点），那么原子树被分成两个连通块：一个是去掉v的子树后的树，另一个是v的子树。这两个连通块的DFS序区间是连续的（因为v的子树区间是连续的，剩下的部分也是连续的）。所以，每个连通块对应一个连续的DFS序区间。因此，我们只需要用一个区间表示一个连通块。 所以，算法正确。 因此，我们设计如下： ```python # 伪代码 # 预处理 depth = [0]*(N+1) # 深度 dis = [0]*(N+1) # 到根节点的异或和 in_time = [0]*(N+1) out_time = [0]*(N+1) parent = [0]*(N+1) # 父节点编号 # BFS/DFS遍历树（满二叉树，根节点为1） # 假设树用邻接表存储，但满二叉树可以用下标：节点i的左子为2*i，右子为2*i+1 # 边权：假设我们有一个数组weight[i]表示节点i到父节点的边的权值（根节点为0） # 注意：节点i的父节点为i//2 # 由于满二叉树，我们可以直接计算： # 初始化 depth[1] = 0 dis[1] = 0 # 用队列进行BFS from collections import deque q = deque() q.append(1) timer = 1 in_time[1] = timer while q: u = q.popleft() # 左子节点 left = 2*u if left <= N: depth[left] = depth[u] + 1 dis[left] = dis[u] ^ weight[left] # weight[left]表示从u到left的边权 parent[left] = u timer += 1 in_time[left] = timer q.append(left) right = 2*u+1 if right <= N: depth[right] = depth[u] + 1 dis[right] = dis[u] ^ weight[right] parent[right] = u timer += 1 in_time[right] = timer q.append(right) out_time[u] = timer # 注意：DFS序中，out_time[u]在u的子树遍历完后赋值 # 但是BFS不好直接得到out_time，所以用DFS # 所以改用DFS timer = 0 def dfs(u): global timer timer += 1 in_time[u] = timer left = 2*u if left <= N: depth[left] = depth[u]+1 dis[left] = dis[u] ^ weight[left] # 假设weight[left]已经给出 parent[left] = u dfs(left) right = 2*u+1 if right <= N: depth[right] = depth[u]+1 dis[right] = dis[u] ^ weight[right] parent[right] = u dfs(right) out_time[u] = timer # 初始化set intervals = set() intervals.add( (1, N) ) # 区间[l, r] # 另外，我们需要快速查找某个点所在的区间，所以用一个平衡树维护这些区间（按l排序） # 用sorted list或者用set，并自定义比较 # 我们用一个列表维护区间？但为了快速查找，用平衡树（sorted list）存储区间，按左端点排序 from sortedcontainers import SortedList # 或者自己用bisect # 存储区间，每个区间表示为(l, r) intervals = SortedList(key=lambda x: x[0]) intervals.add( (1, N) ) # 记录每个节点对应的区间？不需要，查询时再找 # 断边操作：输入边(u, v) def cut_edge(u, v): # 确定父子关系: 深度大的为子节点 if depth[u] < depth[v]: child = v par = u else: child = u par = v # 注意：这里我们假设输入的边一定是父子边，所以深度差1，否则报错 # 找到child的DFS序区间 [in_child, out_child] = [in_time[child], out_time[child]] l0 = in_time[child] r0 = out_time[child] # 在intervals中找到包含l0的区间 # 由于区间按左端点排序，我们找到最后一个左端点<=l0的区间 # 可以用bisect # 假设intervals用列表存储，并已按左端点排序 # 我们找最后一个左端点<=l0的区间 # 因为区间不重叠，所以包含l0的区间只有一个 # 用二分查找 # 这里我们使用SortedList，支持二分查找 # 找到左端点<=l0的最大区间，然后检查是否包含l0 # 由于SortedList按key排序（左端点），我们可以用： # 创建一个虚拟区间 (l0, r0) 用于比较，但我们的key是左端点，所以找最后一个左端点<=l0的区间 # 使用bisect_left: 返回第一个>=l0的位置？我们想要最后一个<=l0的，所以用bisect_right-1 # 假设intervals是SortedList，并且元素为(left, right) # 我们按左端点排序，所以： idx = intervals.bisect_right( (l0, float('inf')) ) - 1 if idx < 0: # 没有找到 return interval = intervals[idx] L, R = interval if not (L <= l0 <= R): # 不包含，虽然理论上应该包含 return # 删除原区间 intervals.pop(idx) # 分裂成三个区间 new_intervals = [] if L <= l0-1: new_intervals.append( (L, l0-1) ) new_intervals.append( (l0, r0) ) # 这是分裂出的子树区间 if r0+1 <= R: new_intervals.append( (r0+1, R) ) # 将新区间加入intervals for inter in new_intervals: intervals.add(inter) # 查询节点x所在连通块大小 def query_block_size(x): # 找到包含in_time[x]的区间 pos = in_time[x] idx = intervals.bisect_right( (pos, float('inf')) ) - 1 if idx < 0: return 0 L, R = intervals[idx] if L <= pos <= R: return R - L + 1 else: return 0 # 理论上不会发生 # 查询两点u,v是否连通 def is_connected(u, v): pos_u = in_time[u] pos_v = in_time[v] # 分别找到包含pos_u和pos_v的区间 idx_u = intervals.bisect_right( (pos_u, float('inf')) ) - 1 idx_v = intervals.bisect_right( (pos_v, float('inf')) ) - 1 if idx_u < 0 or idx_v < 0: return False L_u, R_u = intervals[idx_u] L_v, R_v = intervals[idx_v] if not (L_u <= pos_u <= R_u) or not (L_v <= pos_v <= R_v): return False # 如果两个区间是同一个区间，则连通 return (L_u, R_u) == (L_v, R_v) # 查询u,v路径异或和 def query_xor(u, v): if not is_connected(u, v): return None # 或者抛异常 return dis[u] ^ dis[v] ``` 注意：在断边操作中，我们分裂出的子树区间[in_time[child], out_time[child]]就是child所在的子树，这个子树在断边后独立为一个连通块。而原区间剩余部分（如果非空）是另一个连通块。 另外，我们假设断边操作不会重复切断同一条边，且每次切断的边都是存在的。 该算法的时间复杂度： - 断边操作：查找区间O(log m)（

`std::set` 和 `std::unordered_set` 是C++标准库中两种不同的关联容器，它们的主要区别在于存储方式、查找效率以及元素的排序规则。 ### 1. 存储方式： - **`std::set`**：基于平衡二叉树（通常是红黑树）实现，元素以排序的方式存储。 - **`std::unordered_set`**：基于哈希表实现，元素无序存储。 ### 2. 查找效率： - **`std::set`**：由于元素是有序的，查找、插入和删除操作的时间复杂度为 \(O(\log n)\)。 - **`std::unordered_set`**：通过哈希函数定位元素，平均情况下查找、插入和删除操作的时间复杂度为 \(O(1)\)，但在最坏情况下（哈希冲突严重时）可能退化为 \(O(n)\)。 ### 3. 元素排序： - **`std::set`**：元素按照指定的排序规则（默认为升序）存储。可以通过自定义比较函数来改变排序规则。 - **`std::unordered_set`**：元素没有固定的顺序，具体顺序取决于哈希函数和容器的实现。 ### 示例代码（`std::set` 和 `std::unordered_set` 的使用对比）： #### 使用 `std::set`： ```cpp #include <iostream> #include <set> int main() { std::set<int> mySet = {5, 3, 8, 1, 4}; // 输出 set 中的元素（自动排序） for (const auto& elem : mySet) { std::cout << elem << " "; } std::cout << std::endl; return 0; } ``` #### 使用 `std::unordered_set`： ```cpp #include <iostream> #include <unordered_set> int main() { std::unordered_set<int> myUnorderedSet = {5, 3, 8, 1, 4}; // 输出 unordered_set 中的元素（无序） for (const auto& elem : myUnorderedSet) { std::cout << elem << " "; } std::cout << std::endl; return 0; } ``` ### 解释： 1. **`std::set`**：在插入元素时，`std::set` 会根据排序规则对元素进行排序。输出结果为 `1 3 4 5 8`。 2. **`std::unordered_set`**：元素存储顺序与插入顺序无关，具体顺序取决于哈希函数。输出结果可能是任意顺序，例如 `5 3 8 1 4`。 ### 注意事项： - 如果需要频繁地进行查找操作，并且不需要元素保持有序，可以选择 `std::unordered_set`。 - 如果需要元素保持有序，或者需要使用范围查找（如 `lower_bound` 和 `upper_bound`），则应选择 `std::set`。