所谓完数就是该数恰好等于除自身外的因子之和。例如：6=1+2+3，其中1、2、3为6的因子。本题要求编写程序，找出任意两正整数m和n之间的所有完数。 输入格式： 输入在一行中给出2个正整数m和n（1<m≤n≤10000），中间以空格分隔。 输出格式： 逐行输出给定范围内每个完数的因子累加形式的分解式，每个完数占一行，格式为“完数 = 因子1 + 因子2 + ... + 因子k”，其中完数和因子均按递增顺序给出。若区间内没有完数，则输出“None”。 输入样例： 2 30 输出样例： 6 = 1 + 2 + 3 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

<think>嗯，我现在要解决这个完数的问题。题目是说，找出m和n之间的所有完数，然后按照特定格式输出它们的因子分解式。首先我得理解什么是完数。完数就是等于除了自身之外所有因子之和的数，比如6的因子是1、2、3，加起来正好是6，所以它是完数。那程序应该怎么做呢？ 首先，我需要遍历从m到n的所有数，对每个数判断是否是完数。那如何判断一个数是否是完数呢？步骤应该是这样的：对于每个数num，计算它的所有真因子（即除了自己之外的因子）之和，如果这个和等于num本身，那它就是完数。 那怎么计算真因子的和呢？可能的办法是从1遍历到num的一半，或者更高效的话，遍历到sqrt(num)，然后找出所有的因子。不过因为完数的例子中，像6的因子包括1、2、3，所以正确的做法是检查从1到num-1的所有数是否能整除num，然后加起来。或者更高效的方法，比如遍历到num/2，因为比num/2大的数不可能是num的因子（除了num自己）。例如，对于num=28来说，最大的因子是14，而14是28的一半。所以正确的做法是遍历1到num/2，检查是否能被num整除，这样就能得到所有因子了。 但是这样的话，对于较大的数，比如10000，这样的遍历会不会太慢呢？题目中的n最大是10000，这样的范围应该还是可以接受的，因为每个数最多需要遍历到5000次，对于现代计算机来说应该没问题。不过有没有更高效的方式呢？比如，可以遍历到sqrt(num)，然后同时加上对应的因子。比如，当i是num的因子时，那么num/i也是因子。不过需要注意避免重复添加的情况，比如当i等于num/i的时候（即平方数的情况）。不过这里需要的是所有真因子的和，所以可能需要这样处理。 不过可能对于这个问题，直接遍历到num/2的方法更简单，不容易出错，毕竟时间复杂度对于题目给出的数据范围来说是可以接受的。那先按这种方法来写。 接下来，对于每个num，计算它的真因子之和sum。如果sum等于num，那么它就是完数。此时，需要收集这些因子，然后按照要求的格式输出。 然后输出格式要求，比如“6 = 1 + 2 + 3”，所以需要将因子按顺序排列，然后用加号连接。所以需要将因子存储在一个列表中，并且排序。但是因子本来是按顺序遍历的，比如从1到num/2，所以可能可以直接按顺序收集，不需要排序。例如，遍历i从1到num-1，如果i是因子，就加入列表。那么这些因子是按从小到大的顺序排列的，这样收集之后，就可以直接用了。例如，对于6来说，因子是1、2、3，遍历的时候i从1到3，刚好都满足条件。 那具体的步骤应该是这样的： 1. 遍历每个数num，从m到n（包括两端）。 2. 对于每个num，找出所有真因子，并计算它们的和。 3. 如果和等于num，则记录这个num和对应的因子列表。 4. 最后，如果有至少一个完数，则按格式输出每个完数和其因子分解式；否则输出None。 现在需要考虑如何高效地收集因子。例如，当判断i是否是num的因子时，如果是的话，就把它添加到列表中。这样，列表中的因子是按升序排列的，因为i是从小到大遍历的。比如，num=28的因子是1,2,4,7,14。遍历i从1到14（因为28/2=14），所以当i遍历到这些值时，都会被加入列表。 那具体到代码的话，伪代码可能是这样的： for num in m to n: factors = [] sum_factors = 0 for i in 1 to num//2: if num % i == 0: factors.append(i) sum_factors += i if sum_factors == num: // 输出这个完数的分解式 但是这样的话，每次都要遍历到num//2，虽然对于10000来说可能没问题，但可能效率还可以提升。例如，可以遍历到sqrt(num)，然后同时处理i和num/i。例如： factors = [] sum = 0 for i from 1 to sqrt(num): if num % i ==0: if i == num // i: if i != num: // 避免添加num本身 sum += i factors.append(i) else: if i != num: sum += i factors.append(i) if (num//i) != num: sum += (num//i) factors.append(num//i) 然后，需要对factors进行排序，因为这时候收集的因子可能不是按顺序的。例如，对于28，当i=2时，num//i=14会被添加。这时候收集的因子可能是1,2,4,7,14，但遍历到i=7的时候，可能不会重复添加吗？或者可能需要更仔细的处理。 但这样处理的话，会导致因子的顺序被打乱，例如，当i=2时，添加了2和14。这时候收集的因子可能顺序是1,2,14,4,7这样，需要重新排序。这样处理起来可能反而更麻烦。因此，可能还是原来的方法更简单，虽然效率稍低，但对于题目中的范围来说，不会有问题。 所以，对于每个num，遍历i从1到num-1，或者更准确地说，到num//2，并收集所有i满足num%i==0。这样收集的因子是按顺序排列的，不需要再排序。 例如，num=6时，i遍历1到3： i=1 → 6%1==0 → 加入列表。 i=2 → 6%2==0 → 加入列表。 i=3 → 6%3==0 → 加入列表。 sum是6，所以是完数。 好的，那现在问题是如何在代码中实现这个。 接下来，如何处理输入和输出？ 输入是两个整数m和n，需要确保输入正确。然后遍历m到n之间的每个数。 对于每个数num，我们需要找出所有真因子，并计算它们的和。如果sum等于num，则输出分解式。 输出的时候，分解式的格式是“完数 = 因子1 + 因子2 + ... + 因子k”，其中因子按升序排列。例如，6的分解式是“6 = 1 + 2 + 3”。 所以，当找到完数时，需要将它的因子列表转换为字符串，中间用“ + ”连接。 例如，在C++中，可以用循环遍历factors列表，构造输出字符串。 需要注意的是，当没有完数时，输出“None”。 现在，编写代码的大致步骤： 1. 读取m和n。 2. 遍历每个num从m到n。 3. 对于每个num，收集所有真因子，计算它们的和。 4. 如果和等于num，则记录这个num和因子列表。 5. 遍历完所有num后，如果有记录到的完数，按格式输出；否则输出None。 现在需要考虑如何高效收集因子。例如，在C++中，对于每个num，初始化一个vector<int> factors，然后从1到num/2遍历，将每个i符合的加入。 例如： vector<int> factors; for (int i=1; i <= num/2; ++i) { if (num % i == 0) { factors.push_back(i); } } 然后，计算sum是否等于num。 如果等于，则输出分解式。 那这个循环的时间复杂度对于每个num来说是O(num/2)。比如，当num=10000时，循环5000次，这应该没问题，因为总共有最多10000个这样的数，所以总次数是约5e7次，这在C++中是可行的，不会超时。 但实际测试的时候，可能需要注意是否在较大的范围内会超时。不过题目中的输入范围是1<m<=n<=10000，所以最大的num是10000，每个num需要循环5000次，总共有约10^4 *5*10^3=5*10^7次操作，这在C++中应该可以通过。 因此，这样的算法是可行的。 现在，编写代码： 首先读取m和n： int m, n; cin >> m >> n; 然后，用一个变量来记录是否有完数，比如bool has_perfect = false; 然后，遍历每个num从m到n： for (int num = m; num <= n; ++num) { vector<int> factors; int sum = 0; for (int i=1; i <= num/2; ++i) { // 或者可以改为i <= num-1，但这样更高效？ if (num % i == 0) { factors.push_back(i); sum += i; } } if (sum == num) { // 输出分解式 has_perfect = true; cout << num << " = "; for (int j=0; j<factors.size(); ++j) { if (j ==0) { cout << factors[j]; } else { cout << " + " << factors[j]; } } cout << endl; } } 最后，如果没有完数，输出None： if (!has_perfect) { cout << "None" << endl; } 但是，这里有一个问题，比如num=6的时候，sum是1+2+3=6，此时factors里面的元素是1,2,3。所以分解式正确。那这个循环的条件是否正确？ 例如，当num是6的时候，num/2是3，所以i循环到3，此时i=3会被检查。num%3==0，所以被加入，sum=6。是的，没问题。 那当num是28的时候，num/2是14。循环到i=14吗？i的条件是i <=14。所以i从1到14。 检查每个i是否能整除28： i=1 → yes → sum=1 → factors:1 i=2 → yes → sum=3 → factors:1,2 i=4 → yes → sum=7 → factors:1,2,4 → 因为28%4=0？ 是的，4×7=28。所以i=4会被包括进去，sum加到7。继续到i=7，此时28%7==0 → sum+=7 → sum=14，factors添加7。i=14时，28%14==0 → sum+14 → sum=28，factors添加14。那么总和是1+2+4+7+14=28。是的，正确。所以循环i到num/2是正确的。 那这个条件是对的。 那么，这样的代码应该可以正确输出结果。 现在测试样例输入是2到30，输出6和28。代码运行的时候，当num=6时，循环i从1到3，收集到1,2,3，sum是6。输出正确。当num=28时，i到14，收集到1,2,4,7,14，sum=28。输出正确。 另一个测试情况是当区间内没有完数时，比如输入2到5，应该输出None。 所以，这样的代码应该可以正确处理这些情况。 那现在，如何处理输入？比如，输入的两个整数可能有前导或后导空格，但用cin输入的话会自动处理。所以没有问题。 综上，这个问题的解决思路是正确的，代码应该可以运行。</think>要解决这个问题，我们需要找出给定范围内的所有完数，并按照指定格式输出它们的因子分解式。完数的定义是该数恰好等于除自身外的因子之和。以下是具体实现方法： ### 解决代码 ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; int main() { int m, n; cin >> m >> n; bool found = false; for (int num = m; num <= n; ++num) { vector<int> factors; int sum = 0; // 收集所有真因子并求和 for (int i = 1; i <= num / 2; ++i) { if (num % i == 0) { factors.push_back(i); sum += i; } } // 判断是否为完数 if (sum == num) { found = true; cout << num << " = "; for (size_t j = 0; j < factors.size(); ++j) { if (j == 0) { cout << factors[j]; } else { cout << " + " << factors[j]; } } cout << endl; } } if (!found) { cout << "None" << endl; } return 0; } ``` ### 代码解释 1. **输入处理**：读取两个正整数 `m` 和 `n`。 2. **遍历所有数字**：从 `m` 到 `n` 遍历每个数字 `num`。 3. **收集真因子**：对于每个 `num`，遍历从 `1` 到 `num/2` 的所有整数，收集能整除 `num` 的因子，并计算它们的和。 4. **判断完数**：如果因子和等于 `num`，则记录该数为完数，并输出其因子分解式。 5. **输出结果**：若范围内没有完数，输出 "None"。 ### 关键点 - **因子收集**：通过遍历 `1` 到 `num/2` 来收集所有真因子，确保因子按升序排列。 - **格式输出**：使用字符串拼接逐个输出因子，符合题目要求的格式。 - **性能优化**：虽然遍历到 `num/2` 的时间复杂度为 O(num/2)，但对于题目给定的范围足够高效。