matlab pinn 偏微分方程

### MATLAB 中使用物理信息神经网络 (PINN) 求解偏微分方程 #### 背景介绍 物理信息神经网络(PINNs)是一种利用深度学习技术来解决科学计算领域中的复杂问题的新方法。通过将物理定律嵌入到损失函数中，使得模型不仅能够拟合数据而且还能满足给定的物理约束条件[^1]。 #### 实现步骤概述 为了在MATLAB环境中实现基于PINN求解PDE的功能，通常需要完成以下几个方面的工作： - 定义神经网络结构； - 构建残差项作为额外监督信号加入训练过程； - 设置边界/初始条件以及内部区域采样点用于构建整体优化目标； - 进行迭代更新直至收敛获得近似解析解形式的结果表达式； 下面给出一段简单的示例代码展示如何具体操作这些环节，在此之前建议先安装必要的工具箱如Deep Learning Toolbox等[^2]。 ```matlab % 导入库文件并初始化随机种子保证实验可重复性 rng(0,'twister'); addpath('deepxde'); % 假设已下载 DeepXDE 库至当前路径下 % 创建自定义层以表示 PDE 的残差 residualLayer = nnet.cnn.layer.FunctionLayer(@(u,x,t) ... diff(u,2,1)./diff(x).^2 - diff(u,2,3)./diff(t),... 'Name','pdeResidual',... 'Description','Heat equation residual'); % 设计一个两输入一输出的小型全连接前馈NN架构 layers = [ featureInputLayer(2,'Normalization','none') fullyConnectedLayer(20) reluLayer() fullyConnectedLayer(20) reluLayer() fullyConnectedLayer(1)]; % 将上述设计转化为DNN对象并与先前创建好的特殊层组合起来形成最终模型 dnnModel = dlnetwork(layers); combinedNet = assembleNetwork(dnnModel,residualLayer); % 准备好训练集（含边界条件） bcData = ...; % 边界条件的数据准备 trainSet = [initialConditionPoints; boundaryConditions]; % 开始训练流程 options = trainingOptions('adam',...); trainedNet = trainNetwork(trainSet,labels,options,combinedNet); % 预测新位置处未知场量分布情况 predictionLocations = meshgrid(linspace(-1,1,50)',linspace(0,Tmax,50)); predictedValues = predict(trainedNet,predictionLocations); surf(predictionLocations(:,:,1),predictionLocations(:,:,2),reshape(predictedValues,size(predictionLocations,1),size(predictionLocations,2))); title('Solution of Heat Equation by PINN in MATLAB'); xlabel('Space x'), ylabel('Time t'), zlabel('Temperature u(x,t)'); ``` 这段伪代码展示了怎样借助MATLAB内置功能配合第三方库`DeepXDE`快速搭建起一套完整的PINN框架来进行热传导方程式的数值模拟工作。当然实际应用时还需要针对特定应用场景调整参数设置、改进算法细节等方面做出更多努力才能取得满意效果。