信息学奥赛一本通c++观察以下数据的规律 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55..... 接下来有q次查询，每次查询都会输入一个正整数X，请输出这个序列的第X项的值，由于数据很大，只需输出对1000000003取模的值即可。

### 高效计算斐波那契数列第N项并取模对于高效计算斐波那契数列的第N项并且对大数取模的操作，在信息学竞赛中是一个常见的题目。考虑到直接递归效率低下，可以采用矩阵快速幂方法来优化时间复杂度到O(log N)，这使得处理非常大的`n`成为可能。 #### 使用矩阵快速幂求解斐波那契数列斐波那契数列可以通过下面的状态转移方程表示： \[ \begin{bmatrix} F(n) \\ F(n-1) \end{bmatrix} = M^{(n-1)} * \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix},\quad 其中M=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \] 为了防止数值溢出，每次运算的结果都需要对给定的大素数\(p=1,000,000,007\)取余操作[^2]。下面是具体的C++代码实现方式: ```cpp #include <iostream> using namespace std; const int MOD = 1e9 + 7; struct Matrix { long long mat[2][2]; }; Matrix matrixMultiply(const Matrix& a, const Matrix& b){ Matrix ret{}; for (int i = 0; i < 2; ++i) for (int j = 0; j < 2; ++j) for(int k = 0;k<2;++k) ret.mat[i][j]=(ret.mat[i][j]+a.mat[i][k]*b.mat[k][j])%MOD; return ret; } // 计算矩阵A的n次幂 Matrix fastPower(Matrix A, int n){ Matrix res{}, base=A; res.mat[0][0]=res.mat[1][1]=1; while(n>0){ if(n&1) res=matrixMultiply(res,base); base=matrixMultiply(base,base); n>>=1; } return res; } long long fibMod(long long n){ if(n==0)return 0; Matrix m={{1,1},{1,0}}; Matrix ans=fastPower(m,n-1); return ans.mat[0][0]%MOD; } ``` 此段程序通过定义了一个辅助结构体`Matrix`用于存储二阶方阵，并实现了两个主要功能函数——`matrixMultiply()`负责两矩阵相乘后的结果仍保持在模意义下；而`fastPower()`则利用分治的思想加速了指数级别的连乘过程。最后由入口函数`fibMod()`调用来获得最终答案[^4]。

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信息学奥赛一本通c++观察以下数据的规律 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55..... 接下来有q次查询，每次查询都会输入一个正整数X，请输出这个序列的第X项的值，由于数据很大，只需输出对1000000003取模的值即可。

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