查分数组
时间: 2025-05-10 20:26:28 浏览: 29
### 差分数组的概念
差分数组是一种用于高效处理区间修改的数据结构。它通过记录原数组相邻两项之间的差异来构建一个新的数组，称为差分数组。这种技术特别适合于频繁对数组的某些区间执行加减操作的情况。
对于长度为 \( n \) 的数组 \( a[] \)，定义它的差分数组 \( d[] \) 如下：
\[ d[i] = a[i] - a[i-1],\quad (i=1,2,...n), \]
其中约定 \( a[0]=0 \)[^1]。因此，可以通过差分数组还原原来的数组：
\[ a[k] = \sum_{i=1}^{k}{d[i]} + a[0]. \]
这意味着原数组中的任意一项都可以由差分数组的部分和计算得出[^1]。
### 差分数组的应用场景
当需要多次更新某一段连续子序列并查询最终状态时，使用差分数组能够显著提高效率。比如，在不改变其他部分的情况下增加或减少某一范围内的数值，利用差分数组可以在常数时间内完成这些更改而无需遍历整个目标区域[^2]。
具体来说，如果要给区间 `[l,r]` 中的所有元素加上一个值 `val` ，只需要调整两个位置上的差分数值即可:
```python
def apply_difference(diff_array, l, r, val):
diff_array[l] += val
if r + 1 < len(diff_array):
diff_array[r + 1] -= val
```
最后再通过对这个经过改动后的差分数组求前缀和得到新的实际数组内容。
### Python 实现例子
下面是一个简单的Python程序展示如何创建以及应用差分数组来进行批量更新操作的例子：
```python
# 初始化原始数组
original_array = [1, 2, 3, 4, 5]
print("Original Array:", original_array)
# 构建差分数组函数
def build_diff(array):
diff = [array[0]]
for i in range(1, len(array)):
diff.append(array[i]-array[i-1])
return diff
diff_array = build_diff(original_array)
print("Difference Array:", diff_array)
# 应用差分到指定区间上
apply_difference(diff_array, 1, 3, 2)
resultant_array = []
current_sum = 0
for value in diff_array:
current_sum += value
resultant_array.append(current_sum)
print("Resultant Array after applying difference on interval [1,3]:", resultant_array)
```
上述代码展示了如何建立差分数组，并对其进行一次区间增益运算后再恢复成完整的数组形式。
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