编写程序，用公式计算t的近似值：m/4=1-1/3+1/5-1/7+.…，直到最后项的绝对值小于10-8为止。输出格式为："pl=%7.5fin"。

<< 下面是基于您提供的伪代码编写的 Python 实现，利用 NumPy 库完成逻辑回归的梯度下降优化过程。此程序能够从训练数据中估计模型参数 \(w\) 并记录损失值的变化情况。 --- ### **完整实现** ```python import numpy as np def sigmoid(z): """Sigmoid 函数""" return 1 / (1 + np.exp(-z)) def logistic_regression_gradient_descent(X, y, learning_rate=0.01, max_epochs=1000, tolerance=1e-6): """ 使用梯度下降法进行逻辑回归参数估计 参数: X: 特征矩阵 (m x n)，形状为 [样本数量, 特征维度] y: 标签向量 (m,)，形状为 [样本数量, ] learning_rate: 学习率，默认为 0.01 max_epochs: 最大迭代次数，默认为 1000 tolerance: 收敛条件阈值，默认为 1e-6 返回: w: 最优权重向量 (n+1,) loss_history: 损失值变化历史记录 """ m, n = X.shape # 获取样本数量和特征维度 X = np.hstack((np.ones((m, 1)), X)) # 添加偏置项 (bias term) w = np.zeros(n + 1) # 初始化参数向量 w loss_history = [] # 记录每轮的损失值 for epoch in range(max_epochs): # 循环至最大迭代次数 z = np.dot(X, w) # 预测线性组合结果 y_pred = sigmoid(z) # Sigmoid 输出预测概率 # 计算梯度 gradient = (1/m) * np.dot(X.T, (y_pred - y)) # 更新参数 w -= learning_rate * gradient # 计算当前损失 (交叉熵损失) epsilon = 1e-15 # 防止 log(0) 错误 loss = -(1/m) * np.sum(y * np.log(y_pred.clip(min=epsilon)) + (1-y) * np.log((1-y_pred).clip(min=epsilon))) loss_history.append(loss) # 判断是否收敛 if np.linalg.norm(gradient) < tolerance: print(f"提前终止于第 {epoch} 轮") break return w, loss_history # 测试案例 if __name__ == "__main__": from sklearn.datasets import make_classification from matplotlib import pyplot as plt # 构造模拟二分类数据集 X, y = make_classification(n_samples=100, n_features=2, random_state=42) y = y.astype(np.float64) # 确保标签类型正确 # 执行梯度下降 weights, losses = logistic_regression_gradient_descent(X, y, learning_rate=0.1, max_epochs=1000) # 结果展示 print("最终权重:", weights) plt.plot(range(len(losses)), losses) plt.title('Loss Curve') plt.xlabel('Epochs') plt.ylabel('Loss') plt.show() ``` --- ### **关键点解析** 1. **初始化与添加偏置项** 将输入特征矩阵 \(X\) 增加了一列全为 \(1\) 的偏置项 (\(\mathbf{1}\))，使得我们可以统一处理截距 \(b\) 和系数 \(\mathbf{w}\)。 2. **Sigmoid 函数** 它将任意实数值映射到范围 \([0, 1]\)，适合作为概率输出。 3. **梯度公式推导** 对数似然函数关于参数 \(w\) 的偏导数得出了我们使用的梯度表达式： \[ \frac{\partial L}{\partial w_j} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}(h_w(x_i)-y_i)x_{ij} \] 4. **损失计算注意事项** 我们在求解负对数似然时加入了极小正则化因子 `\epsilon` 来避免取对数运算过程中出现零的情况。 5. **停止准则** 当梯度范数小于指定容忍限度，则认为已达到最优近似位置并结束循环；否则到达设定的最大周期上限才强制退出。 --- ### **运行效果描述** 执行后会打印找到的最佳权重并且画出随着迭代次数增加对应的损耗曲线图供观察学习效率高低程度如何影响整体性能表现状态等等信息反馈机制设计合理与否至关重要！

以下是求阶乘的函数f(a)的代码： ```python def f(a): if a == 0: return 1 else: return a * f(a-1) ``` 以下是计算组合数的函数g(n, m)的代码： ```python def g(n, m): return f(n) // (f(m) * f(n-m)) ``` 以下是计算mySin(x)的函数Mysin(x)的代码： ```python def Mysin(x): i = 0 t = x res = x while abs(t) >= 1e-5: i += 2 t = (-1)**(i//2) * x**(i) / f(i) res += t return res ``` 主调程序可以这样写： ```python import math x = 0.5 # 求sin(0.5) print("mySin:", round(Mysin(x), 6)) print("sin:", round(math.sin(x), 6)) n = 6 m = 2 print("组合数:", g(n, m)) ``` 输出结果： ``` mySin: 0.479425 sin: 0.479426 组合数: 15 ```