条件不是n位数 而是0到10的n次方 重新生成

<think>好的，我现在需要解决用户的问题：统计从0到10ⁿ⁻¹（即闭区间[0, 10ⁿ - 1]）中各位数字均不同的非负整数的数量，并提供一个名为answer(int n)的函数返回结果。用户之前的问题是关于n位数的统计，现在范围扩大到包含所有可能的数字，包括前导零的情况，比如当n=1时，范围是0到9，而之前的问题中的n位数不允许前导零，例如n=2时是从10到99。 首先，我需要明确新的问题范围。原来的解决方案是针对n位数的，也就是不包含前导零的数字，例如当n=2时，范围是10到99。而现在的范围是0到10ⁿ⁻¹的所有数字，包括位数少于n的情况，例如n=2时，包括0到99的所有数字，其中0到9是1位数，而10到99是2位数。因此，这需要重新考虑如何计算所有可能的数字，包括那些有前导零的情况，比如0到9中的数字，或者像012这样的数字（虽然实际数值是12，但作为字符串处理的话可能有前导零，但数值本身没有前导零）。 但是，这里可能存在理解上的歧义。用户的问题描述中说“0到10的n次方”，也就是闭区间[0, 10ⁿ)，这可能包括所有长度为1到n位的数字，以及0本身。例如，当n=1时，范围是0到9；当n=2时，是0到99，包括所有1位和2位的数字。需要统计这些数字中各位数字不重复的数量。 这时候需要考虑如何处理前导零的问题。例如，数字5可以视为1位数的5，或者作为2位数的05，但实际数值是5，这里05并不是一个独立的数值，所以前导零不存在于数值本身中。因此，在统计各位数字不同的数字时，应该只考虑数值本身的每一位，而不考虑前导零。例如，对于数字5，其各位数字是5，满足条件；对于数字12，各位数字是1和2，满足条件；而数字121则不行，因为有两个1。 但用户的新问题可能有两种不同的理解方式： 1. 统计所有在[0, 10ⁿ -1]之间的数字，其中每个数字的每一位都不重复，不考虑前导零。例如，当n=2时，数字5是允许的（视为5，而不是05），而数字11则不允许，因为两个1重复。 2. 统计所有可能的n位数（包括前导零的情况），比如当n=2时，数字05被视为有效的两位数，此时两位数是允许的，但数字中的各位不能重复。这种情况下，数字05的各位是0和5，没有重复，是有效的。但此时的总数会与之前的问题不同。 用户的问题描述可能存在歧义，需要进一步明确。根据用户的问题描述，“条件不是n位数 而是0到10的n次方”，所以应该理解为统计所有数值在0到10ⁿ -1之间的数字，无论其位数是多少。例如，当n=2时，范围是0到99，包括所有1位和2位的数字。每个数字的各位数字必须不同，但这里的“各位”是根据该数字本身的位数来决定的。例如，数字5是1位，只需要检查自己是否重复（显然不重复）；数字10是两位，检查1和0是否重复。 因此，正确的做法是，对于每个数字x在[0, 10ⁿ -1]范围内，将其转换为字符串，去掉前导零（如果有的话，比如对于x=5，字符串是"5"，而不是"05"），然后检查该字符串中的每个字符是否唯一。例如，当n=2时，数字0会被视为1位的0，而两位的00会被视为数值0，其字符串表示为"0"，因此只有一位，所以不会出现两位中的重复问题。因此，可能我的理解有误，或者用户的问题需要更精确的界定。 或者，可能用户的意思是允许前导零，例如将数字视为固定n位数的字符串，比如n=2时，所有数字都被视为两位，如5变成05，此时05中的两位是否有重复。但这样的话，数值0会被视为00吗？这显然不符合常规的数值表示，所以这可能需要明确。 但根据常规的数值处理，前导零不会出现在数字的表示中。例如，当n=2时，数字5是5，而不是05，所以当检查各位数字是否重复时，只检查实际存在的位数，而不会添加前导零。因此，对于n=2，数字5的各位数是5，不重复，所以有效。而数字10的各位数是1和0，有效；数字11的两个1，无效。 因此，正确的处理方式是将每个数字转换为字符串，不带前导零，然后检查其中的各位是否重复。例如，n=2时，范围是0到99，每个数字的位数可以是1位或2位，根据其实际数值决定。统计所有这样的数字，其中各位数字不重复。 那么，如何计算这个总数？ 首先，原来的问题中的n位数是不包含前导零的，因此当n=2时，范围是10到99。现在的问题需要包括所有位数小于等于n的数字，包括那些位数少于n的情况。例如，当n=2时，包括0到99的所有数字，其中： - 0到9是1位数，每位数字都是唯一的，所以共有10个数字（0到9），其中每个数字本身没有重复的位数，因此都有效？ 不，比如0的位数是1位，所以没问题；数字5是1位，没问题。所以对于1位数的所有数字，共有10个，但根据原来的问题，当n=1时，答案应该是9（因为原来的问题中排除了前导零，所以n=1时是1到9）。但现在的问题是否包括0？ 原问题中的第一个问题中，当n=1时，统计的是1位数且各位不同的整数，原来的答案是9（即1到9），而如果现在的新问题包括0的话，当n=1时，范围是0到9，所以符合条件的数字应该是0到9的所有单数字，即10个，因为它们各位都是唯一的。例如，0是一个合法的数字，因为它只有一位，没有重复。 所以现在需要重新思考这个问题： 当n=1时，范围是0到9（包含10个数字），每个数字都是1位，所有都满足各位不同，所以总数是10。 当n=2时，范围是0到99： - 1位数：0到9，共10个，每个都有效。 - 2位数：10到99，其中各位不同的数目。原来的答案是9*9=81。比如，第一位是1-9，第二位是0-9中排除第一位，所以9*9=81。所以在n=2的情况下，总数是10+81=91。 类似地，当n=3时： - 1位数：10个 - 2位数：81个 - 3位数：9*9*8=648个（原来的n=3时的答案） 总数是10+81+648=739？ 但原来的问题中，当用户要求的是n位数时，例如n=2，返回的是81。但现在的新问题需要的是所有位数小于等于n的情况，所以答案需要将每个k从1到n的情况的总数相加？ 或者，用户的问题是否是当n位数允许前导零？例如，当n=2时，允许像05这样的数（视为两位数），但数值上是5。但根据常规数值处理，前导零会被忽略，所以这样的数不会被包含在数值的范围内。因此，可能用户的意思是允许所有可能的k位数，其中k<=n，并且每一位数字不同。例如，对于n=2，允许所有1位和2位的数字，其中： - 1位数：0-9，共10个，全部有效。 - 2位数：允许前导零吗？例如，05是否是有效的两位数，并且其各位是0和5，没有重复？ 如果是允许前导零的情况，那么当n=2时，两位数的范围是00到99，但数值上等同于0到99。此时，05作为两位数的字符串是有效的，但数值上是5。因此，在这种情况下，需要统计所有可能的k位数（k从1到n），包括前导零的情况，然后检查各位是否不同。例如，当n=2时，两位数的数字包括00到99，其中像00、11等是不允许的，而像01、02等是允许的，因为它们作为两位数的各位是不同的。但数值上，这些可能被视为相同的数值，比如01和1都被视为数值1，但在字符串形式下是不同的。然而，用户的问题中的范围是数值上的0到10ⁿ -1，所以需要将每个数值转换为字符串（不带前导零），然后检查各位是否不同。或者是否应该将每个数值视为固定n位数，包含前导零，然后检查各位是否不同？ 这可能取决于用户的具体需求。例如，用户的问题可能有两种不同的情况： 情况1：统计数值在0到10ⁿ -1之间的所有数字，不考虑前导零，即每个数字转换为字符串后，检查其各位是否有重复。例如，数值5转换为"5"，有效；数值10转换为"10"，有效；数值05视为5，所以转换为"5"，有效，但作为两位数的05是否会被视为不同的情况？ 这可能存在歧义。比如，当n=2时，是否要统计所有两位数（允许前导零）的字符串，其中各位不同，例如00到99中的有效数字（如01，02，..., 98，99中的有效情况）？在这种情况下，像00这样的两位数会被视为无效，因为两个0重复。而01则是有效的两位数，此时数值是1，但作为两位数的字符串，其各位不同。这种情况下，答案将不同于之前的分析。 如果用户的问题属于这种情况，即允许前导零，将数字视为固定n位数，那么对于n位数的情况，例如n=2，所有两位数的字符串（包括00到99），其中各位不同。但此时，数值的范围可能还是0到99，但两位数的字符串中的有效数目需要计算。例如，当n=2时，两位数的有效数目是： 第一位可以是0到9中的任意一个，第二位是除了第一位之外的任意一个。例如，第一位有10种选择（0-9），第二位有9种选择，总共有10*9=90种两位数的字符串，其中各位不同。但是，当n=2时，原来的问题中的两位数是10到99，不允许前导零，所以有9*9=81种。现在，如果允许前导零，则两位数的字符串共有90种有效情况。此时，数值上的总数包括： 当n=2时，数值范围是0到99。其中： - 1位数：0到9，共10个数值，每个转换为字符串后长度为1，各位不同，所以有效。 - 两位数：允许前导零的情况下，字符串形式的两位数的数目是90个（如"00"到"99"中，各位不同的数目是10*9=90），但其中数值上等于对应的数值。例如，字符串"05"对应的数值是5，属于1位数的情况。因此，如果在这种情况下将字符串视为固定长度，那么数值会被重复计算。例如，字符串"05"和"5"是不同的字符串，但对应相同的数值。因此，用户的问题可能希望的是统计所有可能的n位字符串（允许前导零），其中各位不同，并且对应的数值在0到10ⁿ -1的范围内。这可能更符合用户的问题描述中的“0到10的n次方”的范围，但此时字符串长度必须正好是n位，并且允许前导零。例如，当n=2时，统计所有两位的字符串（包括像00到99），其中各位不同，并且对应的数值是0到99。但这样会导致重复计算数值，比如"05"和"5"对应同一个数值5，但此时用户可能希望将它们视为不同的情况吗？ 或者，用户的问题可能希望统计所有数值在0到10ⁿ -1之间的数，不管它们的位数是多少，只要它们的各位数字（在它们的自然表示中，不带前导零）不重复。例如，对于数值5，在n=2的情况下，它是合法的；而数值10也是合法的。此时，对于n=2，数值的总数是： 1位数的数目（0-9）的每个都合法，共10个。 2位数的数目（10-99）中，各位不同的数目是9*9=81。 总共有10+81=91个。 这可能是用户想要的情况。在这种情况下，当n=2时，answer(2)应该返回91。同样，当n=1时，返回10，因为0到9共有10个数字，每个的各位都不同。 因此，现在的问题转化为：对于给定的n，计算从0到10ⁿ -1之间的所有数字，其中每个数字的各位（在其自然表示中，无前导零）都不重复的数量。 这种情况下，总的数目等于所有k位数（k从1到n）中各位不同的数目的总和。例如，当n=2时，总共有10（k=1） + 81（k=2） = 91个。 而当n=3时，总共有10（k=1） + 81（k=2） + 648（k=3） = 739个。 因此，解决方案需要将各个k位数（k从1到n）的有效数目相加，其中每个k位数的数目计算方式是： 当k=1时，数目为10（0-9）。 当k>1时，数目为9 * 9 * 8 * ... * (10 -k +1)，因为第一位不能为0（否则就是k-1位数），所以第一位有9种选择（1-9），第二位有9种（0-9排除第一位），第三位8种，依此类推，直到第k位。 但这里存在矛盾：当k=1时，数目是10，而当k>=2时，数目是9*9*8*...*(10 -k +1)。比如，k=2时数目为9*9=81，这与原来的问题中的两位数的情况一致。 因此，总的数目可以表示为： 当n=0时，范围是0到0（10^0=1，所以范围是[0,0]），但n应该是正整数？用户的问题中n是一个非负整数吗？假设n>=1。 总的数目为： sum_{k=1}^min(n,10) [count_k]，其中count_k是k位数的各位不同的数目。 其中，count_1 =10（包括0到9）。 对于k>=2且k<=10： count_k =9 * 9 *8 *7 *...*(10 -k +1) 例如，k=2：9*9=81 k=3：9*9*8=648 k=10：9*9*8*7*6*5*4*3*2*1=9*9! = 3265920（与之前的答案一致） 当n>10时，由于超过10位数不可能存在各位不同，所以sum到k=10为止，即总的数目是sum_{k=1}^{10} count_k。 现在，问题转化为如何计算从k=1到k=n（n<=10）的count总和。 因此，answer(n)函数的逻辑应该是： 如果n=0，返回1（因为0到10^0 -1=0，即只有0，满足条件）？或者用户的问题中n的输入是正整数？需要明确。 根据用户的问题描述，“非负整数”，所以n可以是0。例如，当n=0时，范围是0到10^0 -1=0到0-1=0到-1？这显然有问题，所以可能n必须是正整数。或者用户的问题中的n是输入的参数，可能输入0，此时需要处理。例如，当n=0时，函数应返回0，因为0到10^0 -1=0到0，只有一个数字0，但可能根据问题要求处理。 假设用户允许n为0，那么当n=0时，返回0，因为10^0=1，所以范围是0到0，即0，但数字0是1位数吗？或者当n=0时，如何处理？需要根据实际情况判断，但可能用户给出的n是正整数。因此，在函数中需要处理n=0的情况返回0，或者根据问题需求调整。 现在，针对n>=1的情况： answer(n) = sum_{k=1}^{min(n,10)} count_k，其中count_1=10，count_k for k>=2是9*9*8*...*(10 -k +1)。 例如，当n=1时，sum是count_1=10。 当n=2时，count_1+count_2=10+81=91。 当n=3时，10+81+648=739。 当n=10时，总和是所有k=1到10的count之和。 当n>10时，总和是k=1到10的count之和，因为k超过10的位数不可能存在。 现在，需要计算这个总和。首先，需要分别计算每个k的count，然后将它们相加。 如何高效计算这个总和？ 例如，当k=1时，count_1=10。 当k=2时，count_2=9*9=81. 当k=3时，count_3=9*9*8=648. 当k=4时，count_4=9*9*8*7=4536. 依此类推，直到k=10。 因此，可以预先计算这些值，然后根据n的值进行求和。 或者，可以循环从k=1到min(n,10)，累加每个k对应的count。 因此，函数answer(int n)的步骤可能是： 1. 如果n <=0，返回0（假设n必须是正整数）。 2. 如果n >=1，则计算sum from k=1到min(n,10)的count_k。 其中count_1=10，count_k for k>=2是9*9*8*...*(10 -k +1). 对于k>=2的情况，count_k可以表示为： count_k = 9 * (9 * 8 * ... * (10 -k +1)) 即对于k位数，第一位有9种选择（1-9），剩下的k-1位必须从剩下的9个数字中选，每次递减。 例如，k=2：9 * 9 = 9 * 9 k=3：9 *9 *8 =9*9*8 k=4：9*9*8*7 ... k=10：9*9*8*7*6*5*4*3*2*1=9*9! 这可以视为：对于k>=1， 当k==1时，count=10 当k>=2且k<=10时，count=9 * (9 * 8 * ... * (10 -k +1)) ) 因此，在代码中，可以按如下方式处理： 初始化总和为0。 如果n >=1，加上count_1=10. 如果n >=2，则计算k从2到min(n,10)，每个k对应的count_k，并累加到总和。 例如，当n=2时，总和是10 + 81=91. 当n=3时，总和是10 +81 +648=739. 现在，如何计算每个k>=2的count_k？ 可以维护一个变量current_count，初始为9（k=2时的第一位选择数），然后每次乘以下降的数。 例如，对于k=2： current =9 (第一位选择数) 然后第二位有9种选择（0-9排除第一位），所以current *=9 → 9*9=81. 对于k=3，current *=8 → 81*8=648. 对于k=4，current *=7 → 648*7=4536. 依此类推，直到k=10. 因此，在代码中，可以这样处理： 当n>=2时，计算从k=2到min(n,10)的每个k的count，并累加到总和。 初始化一个变量current为9（k=2时的第一位选择数） 然后，对于第二位到第k位，乘以下降的数值：9,8,7,...等。 因此，代码的大致结构如下： int answer(int n) { if (n <=0) return 0; int total =0; if (n >=1) { total +=10; //k=1的情况 } if (n >=2) { int max_k = min(n, 10); int current =9; //k=2时，第一位有9种选择 for (int k=2; k <= max_k; k++) { current *= (10 -k +1); //对于k=2，可用数字是9（因为第一位用了1个，剩下9个中的第二位可以是0，所以第二位有9种选择） total += current; } } return total; } 但这里可能有问题，因为对于k=2，current的计算应该是9*9=81，但根据上述代码： 当k=2时，current初始化为9，然后在循环中乘以 (10 -2 +1)=9 → current=9*9=81，加到total中。 然后，k=3时，current *= (10-3+1)=8 → current=81*8=648，加到total中。 这正是正确的计算方式。 例如，当n=2时，循环运行k=2： current =9 * (10-2 +1) → 9*9=81，加到total（此时total=10+81=91）。 当n=3时，k=2和k=3： k=2: current=9*9=81 → total=10+81=91. k=3: current=81*8=648 → total=91+648=739. 这似乎正确。 因此，这个代码是正确的。 现在，测试一些样例： 测试n=1：返回10. n=2：10+81=91. n=3：10+81+648=739. n=10：总和是10 +81+648+4536+...一直到k=10时的count_k=9*9*8*7*6*5*4*3*2*1=3265920. 总各k的count_k： k=1:10 k=2:9*9=81 k=3:9*9*8=648 k=4:9*9*8*7=4536 k=5:4536*6=27216 k=6:27216*5=136080 k=7:136080*4=544320 k=8:544320*3=1632960 k=9:1632960*2=3265920 k=10:3265920*1=3265920 但这里需要注意，当k=10时，current的计算应该是9 * 9 *8*7*6*5*4*3*2*1=3265920. 所以，对于n=10，总和是： sum_{k=1到10} count_k =10 +81+648+4536+27216+136080+544320+1632960+3265920 +3265920? 这似乎不正确，因为当k=9时，current应该是9*9*8*7*6*5*4*3*2= 9*9!/(9-9+1)= ? 等等，可能这里需要重新计算各k的count_k： k=2:9*9=81 → 9*9 k=3:9*9*8=648 → 9*9*8 k=4:9*9*8*7=9*9*8*7= 9 * 9 * 8 *7 = 9* (9*8*7) 即对于k=4，是9 * 9 *8 *7 ? 是的，因为： 第一位：9种选择（1-9） 第二位：9种（0-9排除第一位） 第三位：8种（排除前两位） 第四位：7种（排除前三） 所以，是的。 因此，对于k=10，count_k=9*9*8*7*6*5*4*3*2*1=9*9!/(9-10+1)!? 可能不需要纠结，直接计算即可。 现在，当n=10时，总和的计算是： sum = 10 + 81 (k=2) + 648 (k=3) + 4536 (k=4) + 27216 (k=5) + 136080 (k=6) + 544320 (k=7) + 1632960 (k=8) + 3265920 (k=9) ? 等等，可能需要重新计算每个k的count_k： 让我们列出各个k的count_k： k=1: 10 k=2:9*9=81 k=3:9*9*8=648 k=4:9*9*8*7=9*9*8=648 → 648*7=4536 k=5:4536 *6=27216 k=6:27216 *5=136080 k=7:136080 *4=544320 k=8:544320 *3=1632960 k=9:1632960 *2=3265920 k=10:3265920 *1=3265920 因此，当k=10时，count_k=3265920。 因此，总和为： 10 +81=91 +648 →739 +4536 →5275 +27216 →32491 +136080 →168571 +544320 →712891 +1632960 →2345851 +3265920 →5611771 +3265920 →8877691 所以，当n=10时，总和是8877691？ 或者我可能在累加过程中计算错误。例如，每个k的count_k： k=1:10 → total=10 k=2:81 → total=91 k=3:648 → total=91+648=739 k=4:4536 →739+4536=5275 k=5:27216 →5275+27216=32491 k=6:136080 →32491+136080=168571 k=7:544320 →168571+544320=712, 891 k=8:1,632,960 →712,891 +1,632,960=2,345,851 k=9:3,265,920 →2,345,851 +3,265,920=5,611,771 k=10:3,265,920 →5,611,771 +3,265,920=8,877,691 因此，当n=10时，answer(10)应该返回8,877,691。 这需要验证是否正确。例如，是否有其他方式计算这个总和？ 或者，这可能可以通过数学公式计算。例如，总和为： sum_{k=1}^{n} [count_k] = 10 + sum_{k=2}^{min(n,10)} (9 * 9! / (10 -k)! ) ) 例如，对于k=2到10，每个count_k是9 * 9 * 8 * ... * (10 -k +1) =9 * (9! / (9 - (k-1))! )) → 因为 9 *9*8*...*(10 -k +1) =9 * (9 *8*...*(10 -k +1)) ) 例如，当k=2时，9*9=9 * 9!/(9-1)! )=9*(9! /8! )=9*9=81. 当k=3时，9*9*8=9 *9!/(9-2)! )=9*9! /7! =9*9*8. 因此，总和可以表示为10 +9 * sum_{k=2}^{min(n,10)} (9! / ( (10 -k)! )) ) 这可能有助于数学上的计算，但在代码中，直接循环计算更简单。 现在，回到代码，之前的代码是否正确？ 代码的逻辑： 当n>=1，先加10（k=1的情况）。 然后，如果n>=2，循环k从2到min(n,10): current初始化为9（即k=2时的第一位选择数9）。 然后，对于每个k，current *= (10 -k +1)。例如，当k=2时，乘的是9（因为 10 -2 +1=9），得到9*9=81，加到total。 k=3时，current *=8 → 81*8=648. 依此类推。 因此，代码是正确的。 现在，测试几个案例： 案例1：n=1 → 返回10. 案例2：n=2 → 返回10+81=91. 案例3：n=3 → 91+648=739. 案例4：n=10 →总和为8,877,691. 案例5：n=11 →因为min(11,10)=10，所以总和是n=10时的结果，即8,877,691. 案例6：n=0 →返回0. 现在，编写代码： 在C++中，需要注意处理n的范围，以及乘法过程中的整数溢出问题。例如，当n=10时，最大的count_k是3,265,920，累加后的总和为8,877,691，这在int范围内吗？ 在C++中，int通常是4字节，最大值为2,147,483,647。当n=10时，总和是8,877,691，这超过了2,147,483,647，会导致溢出。因此，应该使用更大的数据类型，比如long long。 但用户提供的框架是int answer(int n)，返回int。因此，这可能无法处理较大的n，例如n=10时的总和超过int的范围。因此，可能需要修改返回类型为long long，或者题目假设n不会很大。 但根据用户提供的框架，函数返回int，这可能意味着用户希望返回的数值在int范围内，或者可能存在错误。例如，当n=8时，count_8=1,632,960，总和是2,345,851，这在int的范围内。当n=9时，总和是5,611,771，超过int的最大值（2,147,483,647），导致溢出。 因此，正确的做法是使用更大的数据类型，如返回long long，但用户给出的框架是int answer(int n)，所以可能需要根据实际情况调整。例如，假设题目中的n不超过8，否则会溢出。但根据用户的问题，需要给出正确的代码，所以应该使用long long作为返回类型。 但在用户的初始示例中，answer(int n)返回int，例如在之前的回答中，n=10返回3,265,920，这已经超过int的范围（假设int是4字节），导致错误。所以，可能需要用long long。 因此，正确的函数应该返回long long，但用户给出的框架是int。这可能是一个矛盾，但根据问题描述，可能用户希望按照框架编写，即使存在溢出问题，或者假设n不会太大。 因此，在代码中，应该将返回类型改为long long，并调整代码，例如： long long answer(int n) { if (n <=0) return 0; long long total =0; if (n >=1) { total +=10; } if (n >=2) { int max_k = std::min(n, 10); long long current =9; for (int k=2; k <= max_k; ++k) { int factor = 10 -k +1; current *= factor; total += current; } } return total; } } 这可以处理较大的数值，避免溢出。 但在用户的框架中，函数返回int，所以可能需要调整。但根据问题的正确性，应该使用long long。可能用户允许返回long long，或者问题中的测试用例不会超过int的范围。 因此，正确的代码应使用long long返回类型。 现在，总结： 问题要求统计0到10ⁿ -1之间的所有非负整数，各位数字不同的数目。这包括所有位数从1到n（n<=10）的数字，每个数字的各位（自然表示，无前导零）必须不同。 因此，解决方案是将每个k位数（k从1到min(n,10)）的数目相加： - k=1时，数目是10（0-9） - k>=2时，数目是9*9*8*...*(10-k+1) 因此，代码应该计算这些值的总和。 例如，当n=2时，答案是10+81=91. 当n=3时，答案是10+81+648=739. 当n=10时，总和是8,877,691. 现在，根据这些分析，编写代码： 注意在代码中，对于k>=2的循环处理，初始current=9，然后在每次循环中乘以(10 -k +1)，然后累加到total. 因此，正确的代码应如上所述。</think>### **问题分析** 统计自然数中所有 `0` 到 `10ⁿ - 1` 范围内**各位数字均不同**的整数数量。需注意： - **`n=1`**：范围为 `0~9`（共 `10` 个） - **`n≥2`**：需要包含所有 `1` 位到 `n` 位的数，逐层计算 - **`n>10`**：无法满足（数字范围 `0~9` 仅 10 个不同字符） --- ### **数学规律** - **1 位数**：直接返回 `10`（0~9） - **2 位及以上**：逐位计算可选数字数量： - **第一位**：可选 `1~9` → **9 种** - **后续位**：从剩余数字中选择 → **9, 8, 7, ...** 依次递减 - **总数公式**： $$ \text{总数} = 10 + \sum_{k=2}^{\min(n,10)} \left( 9 \times 9 \times 8 \times \dots \times (10 - k + 1) \right) $$ --- ### **代码实现** ```cpp #include <algorithm> // 用于 std::min long long answer(int n) { if (n <= 0) return 0; // 无效输入 if (n == 1) return 10; // 0~9 共 10 个 long long total = 10; // 初始化为 1 位数的结果 long long current = 9; // 用于计算 k≥2 时的组合数 int max_k = std::min(n, 10); for (int k = 2; k <= max_k; ++k) { int available = 10 - k + 1; // 当前位的可选数字数量 current *= available; total += current; } return total; } // 测试样例 #include <iostream> int main() { std::cout << answer(1) << std::endl; // 输出 10 std::cout << answer(2) << std::endl; // 输出 91 std::cout << answer(3) << std::endl; // 输出 739 std::cout << answer(10) << std::endl; // 输出 8877691 std::cout << answer(11) << std::endl; // 输出 8877691（与 n=10 相同） return 0; } ``` --- ### **关键步骤说明** 1. **边界处理**：`n ≤ 0` 或 `n > 10` 直接返回 `0` 或截止到 `k=10` 2. **初始值**：`n=1` 直接返回 `10` 3. **循环累加**：从第二位开始，依次乘递减的可选数字数量，并累加到总数 --- ### **复杂度分析** - **时间复杂度**：$O(n)$ 最多遍历 `min(n,10)` 次完成计算 - **空间复杂度**：$O(1)$ 仅用常数级额外空间