Fibonacci数列的递推公式为：Fn=Fn-1+Fn-2其中F1=F2=1。当n比较大时，Fn也非常大，现在我们想知道，Fn除去10007的余数是多少。 输入： 输入包含一个整数 n，表示要求的 Fibonacci 数列的项数。 输出： 输出一行，包含一个整数，表示 Fn除去10007的余数。

<think>嗯，用户的问题是关于如何高效计算大规模Fibonacci数列的第n项并对10007取余。首先，我需要回忆一下Fibonacci数列的基本定义和常见的计算方法。根据引用[2]，Fibonacci数列的递推公式是$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$，初始条件是$F_1 = F_2 = 1$。当n很大时，比如达到1,000,000，直接递归计算显然不行，因为递归的时间复杂度是指数级的，效率极低，如引用[1]中的例子所示，递归实现会导致大量的重复计算。 接下来，用户提到要对结果取余10007。引用[3]和[4]指出，应该在计算过程中每一步都进行取余，这样可以防止数值过大导致溢出，同时也能减少计算量。引用[4]中的Java代码就采用了动态规划的方法，每一步计算都取余，存储中间结果，这样空间复杂度是O(n)，对于n到百万级别来说，可能需要较大的内存，不过现代计算机应该可以处理。 然后，引用[5]中的Python代码使用了滚动数组的方法，只保留最近的两个值，这样空间复杂度可以降低到O(1)。这可能更高效，特别是当n非常大的时候。比如，用三个变量来循环更新，每次只保留前两项的值，这样不管n多大，都只需要常数空间。 不过，用户的需求是处理大规模数据，所以需要考虑时间复杂度和空间复杂度。动态规划的方法时间复杂度是O(n)，空间复杂度如果不用滚动数组的话是O(n)，但用滚动数组可以优化到O(1)。这应该是比较理想的方法了。 另外，有没有更高效的方法呢？比如矩阵快速幂或者快速递推法，这些方法可以将时间复杂度降到O(log n)。不过对于n到百万级别来说，O(n)的方法可能已经足够快，而且实现起来更简单。不过如果n更大的话，比如到1e18，就需要考虑O(log n)的方法了。但根据题目中的数据规模约定，n最大是1,000,000，所以O(n)的方法应该是可以接受的。 所以，综合来看，最优的解决方案应该是使用动态规划配合滚动数组，每一步计算都取余，这样既节省时间又节省空间。此外，需要注意Python中列表索引的处理，如引用[5]中的代码使用了一个长度为3的数组来循环存储，这样可以进一步优化空间。 最后，还要考虑代码实现的简洁性和可读性。用户提供的Python代码示例已经展示了如何用滚动数组来实现，这可能是一个很好的参考。因此，最终的算法应该是迭代法，每次计算前两个数的和，然后取余，循环直到第n项。</think>为了高效计算大规模Fibonacci数列第n项对10007取余的结果，需要采用动态规划+滚动数组的优化方法。以下是逐步解决方案： ### 方法原理 1. **动态规划+模运算性质** Fibonacci数列满足$F_n = (F_{n-1} + F_{n-2}) \mod 10007$，利用模运算的分配律$(a + b) \mod m = [(a \mod m) + (b \mod m)] \mod m$，可以保证数值始终在合理范围内[^2][^3]。 2. **滚动数组优化** 只需存储前两个值即可完成递推计算，将空间复杂度从$O(n)$优化到$O(1)$[^4][^5]。 ### 实现代码（Python） ```python n = int(input()) if n == 1 or n == 2: print(1) else: a, b = 1, 1 for _ in range(3, n + 1): a, b = b, (a + b) % 10007 print(b) ``` ### 算法分析 1. **时间复杂度** $O(n)$，仅需进行n-2次循环迭代 2. **空间复杂度** $O(1)$，仅用两个变量存储中间结果 3. **优化效果** - 处理n=1,000,000时，内存占用可忽略不计 - 计算时间在普通计算机上约0