子序列逆序对

### 子序列逆序对的概念 在一个给定的数组中，如果存在两个下标 \(i\) 和 \(j\) 满足 \(i < j\) 并且 \(a[i] > a[j]\)，那么这对 \((i, j)\) 就被称为一个逆序对。对于子序列而言，同样的定义适用于构成该子序列的元素位置关系[^1]。 ### 算法实现 为了计算子序列中的逆序对数量，可以采用分治策略或者基于树状数组/线段树的方法来高效解决这个问题。下面介绍一种利用归并排序框架下的解决方案： #### 归并排序方法求解子序列逆序对 此方法的核心在于修改传统的归并过程，在合并左右两部分有序区间的同时统计跨越这两边界的逆序对数目。具体来说就是在每次比较左半区间的某个数大于右半区间当前处理到的位置时，则说明这个较大的数以及它后面所有的未被考虑过的数都构成了新的逆序对[^2]。 ```python def merge_and_count_split_inv(B, C): i = j = inversions = 0 sorted_list = [] while i < len(B) and j < len(C): if B[i] <= C[j]: sorted_list.append(B[i]) i += 1 else: sorted_list.append(C[j]) # Count split-inversions here. inversions += (len(B)-i) j += 1 # Append any remaining elements from either list to the end of `sorted_list`. sorted_list.extend(B[i:]) sorted_list.extend(C[j:]) return sorted_list, inversions def sort_and_count(A): n = len(A) if n == 1: return A, 0 mid_point = int(n / 2) left_sorted, X = sort_and_count(A[:mid_point]) # Inversions in left half. right_sorted, Y = sort_and_count(A[mid_point:]) # Inversions in right half. all_sorted, Z = merge_and_count_split_inv(left_sorted, right_sorted) # Split inversions. return all_sorted, X + Y + Z # Total number of inversions. # Example usage with subsequence extraction before calling function. subseq = [A[i] for i in indices_of_subsequence] # Extracting desired subsequence based on given index set or other criteria. _, num_inversions = sort_and_count(subseq) print(f"The total number of inversion pairs within this specific sub-sequence is {num_inversions}.") ``` 上述代码展示了如何通过调整标准归并排序逻辑来有效地找出任意指定子序列内的全部逆序对实例，并返回其总数目[^3]。