打印沙漏：本题要求你写个程序把给定的符号打印成沙漏的形状。所谓“沙漏形状”，是指每行输出奇数个符号；各行符号中心对齐；相邻两行符号数差2；符号数先从大到小顺序递减到1，再从小到大顺序递增；首尾符号数相等。给定任意N个符号，不一定能正好组成一个沙漏。要求打印出的沙漏能用掉尽可能多的符号。 输入格式: 输入在一行给出1个正整数N（<=1000）和一个符号，中间以空格分隔。 输出格式: 首先打印出由给定符号组成的最大的沙漏形状，最后在一行中输出剩下没用掉的符号数。 输入样例: 19 * 输出样例: ***** *** * *** ***** 2用c++解决

<think>嗯，我现在需要解决的是这个打印沙漏的问题。首先，我得仔细理解题目要求。题目说，沙漏形状每行输出奇数个符号，中心对齐，相邻两行符号数差2，符号数从大到小减到1，再从小到大增加，首尾符号数相等。给定的N个符号要尽可能多地用掉，剩下的要输出。 那首先，我得确定沙漏的结构是什么样的。比如样例输入是19个*，输出是一个5层的沙漏，最上面一行5个，然后3个，1个，再3个，5个。总共有5+3+1+3+5=17个，所以剩下2个。那如何计算对于任意N，能组成多大的沙漏呢？ 首先，沙漏的符号总数应该等于一个等差数列的和的两倍减去1（因为中间的1被重复计算了）。比如，当最大层是5的时候，上半部分的总和是5+3+1=9，下半部分是3+5=8，总和应该是9+8=17？或者是不是应该上半部分包括中间的1，然后下半部分对称？或者可能应该这样计算：假设最大行有k个符号，那么上半部分的行数是 (k+1)/2层，比如k=5的话，上半部分有3层（5，3，1），然后下半部分是2层（3，5）。这样总共有2*(5+3) +1 -1？或者可能更简单的办法，整个沙漏的总符号数是2*(k + (k-2) + (k-4)+ ... +3) ) +1。比如k=5的时候，5+3+1=9，然后3+5=8，总和是9+8=17？或者是不是应该这样计算：上半部分的总和是5+3+1=9，下半部分是3+5=8，总和是17。那总符号数的计算方式应该是怎样的？ 假设沙漏的行数是这样的：当最大层是k时，上半部分的行数是h层，即h = (k+1)/2，因为k是奇数。例如，k=5时，h=3层（5,3,1）。而整个沙漏的总符号数是k + 2*(k-2) + 2*(k-4)+...直到1。或者可能需要找到一个数学公式来计算总符号数。比如，对于最大层k（奇数），总符号数应该是k + 2*(k-2) + 2*(k-4) + ... + 2*3 + 1？这可能不正确。 或者，整个沙漏的总符号数是2*m -1，其中m是组成沙漏上半部分（包括中间）所需的符号总数。例如，当k=5时，上半部分包括5，3，1，总和是5+3+1=9。那么总符号数是9 + (3+5) =17。或者，正确的总符号数应该是：对于最大层k，沙漏的总符号数为k^2 + (k-2)^2 + ... +1^2？这可能不是正确的思路。 或者，我们可以把沙漏分成上下两个部分。例如，当最大行是k时，上半部分有(k+1)/2层，下半部分有(k+1)/2 -1层。例如，k=5时，上半部分3层（5，3，1），下半部分2层（3，5）。总和是（5+3+1）+（3+5）= 9 +8=17。那如何找到k的最大值，使得总符号数不超过N？ 或者，沙漏的总符号数是2*h^2 -1，其中h是层数。例如，当h=3层的时候，总符号数是2*3^2 -1= 17，这和样例中的结果一致。那这可能是一个正确的公式。例如，h=1层的时候，总符号数是1；h=2层的话，可能总符号数是2*(2^2) -1=7？那比如h=2的话，沙漏的结构是最大行3个符号，那么总和是3+1+3=7，对吗？是的。所以总符号数的公式是2*h^2 -1。这可能是一个正确的结论。 那现在，问题转化为，给定N，找出最大的h，使得2*h² -1 <=N。例如，当N=19时，最大的h是3，因为2*3²-1=17<=19，而h=4的话是2*16-1=31>19。所以这时候总符号数是17，剩下2个。这样公式是对的。 所以问题分为几个步骤： 1. 计算最大可能的h，使得2*h² -1 <=N。这里h必须是正整数。例如，当N=7时，h=2，因为2*(2²)-1=7。当N=8时，最大的h是2，因为2*(3²)-1=17>8，所以最大h=2，使用7符号，剩1。 所以，首先需要找到最大的h，满足2*h² -1 <= N。这一步可以通过数学计算来完成。例如，h_max = floor( sqrt( (N+1)/2 ) )。比如当N=19时，(19+1)/2=10，sqrt(10)=3.162，floor之后是3，即h_max=3。这时候总使用的符号数是2*3²-1=17，正确。 那这一步的数学计算是正确的吗？例如，当N=7时，(7+1)/2=4，sqrt是2，正确。当N=8时，(8+1)/2=4.5，sqrt是~2.12，floor后是2，得到h_max=2。此时总符号数是7，剩下的1。是的。 所以，步骤一：计算h_max = floor( sqrt( (N+1)/2 ) )。这可能是一个正确的公式。 那么，得到h_max之后，剩下的符号数是N - (2*h_max² -1)。 接下来，需要根据h_max的值来打印沙漏。 沙漏的结构是什么样的？当h_max为3时，对应的最大行符号数是2*h_max -1。例如，h_max=3时，最大行符号数是5（因为2*3-1=5），然后依次是3、1、3、5。或者说，沙漏的上半部分有h_max行，下半部分有h_max-1行。例如，h_max=3时，沙漏的上半部分3行，符号数5、3、1；下半部分2行，符号数3、5。总和是5+3+1+3+5=17，符合样例。 所以，打印沙漏的步骤是： 1. 上半部分：h_max行，从上到下，每行的符号数从最大的k=2*h_max -1开始，每次减2，直到1。同时，每行的前面需要打印一定数量的空格，使得符号居中。例如，第一行符号数为5，不需要空格；第二行符号数为3，前面有1个空格；第三行符号数为1，前面有2个空格。 2. 下半部分：h_max-1行，每行的符号数从3开始，每次加2，直到k。例如，当h_max=3时，下半部分的两行分别是3、5。符号前面的空格数对应的是，比如第三行是1个符号，在中间，所以下一行（下半部分的第一行）是3个符号，前面有1个空格；再下一行是5个符号，前面没有空格。 所以，对于每一行来说，符号数等于当前行的最大符号数。例如，上半部分的行i（从0到h_max-1）的符号数是k - 2*i，其中k=2*h_max -1。而前面的空格数是i个。比如，当h_max=3，k=5。第一行i=0，空格数是0，符号数5。第二行i=1，空格数1，符号数3。第三行i=2，空格数2，符号数1。下半部分的行j（从1到h_max-1）的符号数是3 +2*(j-1)，空格数是h_max-1 -j。例如，当h_max=3时，下半部分的行数j从1到2。第一行j=1，符号数是3，空格数h_max-1 -j = 3-1-1=1。空格数是1。第二行j=2，符号数是5，空格数是3-1-2=0。 或者，可能应该重新考虑下半部分的空格计算。例如，下半部分的第一行（即总第h_max+1行）符号数是3，空格数为1。那么，如何计算空格数？ 或者，整个沙漏的每行前面的空格数，可以这样计算：假设最大行的符号数是k=2h-1。对于上半部分的第i行（从0到h-1），该行的符号数是k-2i，空格数是i。比如，当h=3，k=5。i=0时，空格0，符号5；i=1，空格1，符号3；i=2，空格2，符号1。然后下半部分的第j行（j从1到h-1），符号数是2j+1，空格数是h-1 -j。比如h=3时，j=1，符号3，空格1；j=2，符号5，空格0。或者，下半部分的行数从h_max-1-1到0？或者可能需要另一种方式来计算。 或者，下半部分的行数共有h_max-1行，每行的符号数从3到k，每次递增2。例如，当h_max=3时，下半部分有2行，符号数3和5。对应的空格数分别是1和0。那么，如何计算每行的空格数？ 可能更有效的方法是，对于整个沙漏来说，每一行的空格数等于该行所在的层次对应的空格数目。例如，上半部分第i行的空格数为i，符号数为k-2i。而下半部分的第i行的空格数为 (h_max-1 -i) -1？或者可能需要另一种方法。 或者，可以将沙漏视为由两部分组成： 上半部分（包括中间行）有h_max行，符号数分别为k, k-2, ...,1。空格数分别为0,1,2,...,h_max-1。 下半部分有h_max-1行，符号数从3到k，每次增加2。对应的空格数分别为h_max-2, h_max-3, ...,0。例如，h_max=3时，下半部分有两行： 符号数3，空格数1-1=1？或者，可能空格数应为h_max-1 - j，其中j是下半部分的行索引。例如，下半部分的行数是h_max-1行，索引j从0到h_max-2。那么，每行的空格数为 (h_max-1 - j) -1？或者，比如，当h_max=3，下半部分的行数为2，j=0时，空格数为1；j=1时，空格数为0。这样符号数分别为3和5。这和样例中的情况一致。 所以，下半部分的符号数为3,5,...(每个步长+2)，共有h_max-1行。每行的空格数是 (h_max-1 -j -1) ?或者，可能应该这样计算：对于下半部分的第j行（0<=j <h_max-1），符号数是3 +2*j，空格数是 (h_max-1 -j -1) = h_max -j-2. 例如，h_max=3，j=0时，空格数是3-0-2=1；j=1时，空格数3-1-2=0。这样符号数分别是3和5，空格数正确。 因此，下半部分的每行符号数是3+2*j，空格数是h_max- j -2。这可能是一个正确的规律。 综上，打印沙漏的过程可以分为： 1. 计算h_max = floor( sqrt( (N+1)/2 ) ) 2. 计算剩余符号数：N - (2*h_max² -1) 3. 打印沙漏的上半部分： for i from 0 to h_max-1: 打印空格数i个，接着打印符号数k-2i个（k=2h_max-1） 4. 打印沙漏的下半部分： for j from 0 to h_max-2: 打印空格数 (h_max - j -2) 个，接着打印符号数3+2j个 这样，整个沙漏的结构就正确了。 现在，如何用C++实现这个逻辑？ 首先，输入处理。输入是一个整数和一个字符，例如“19 *”。需要读取这两个参数。可以用cin读取整数和字符。 然后，计算h_max。比如，h_max = floor( sqrt( (N+1)/2 ) ) 例如，计算时要注意，当N<1时，可能无法打印任何符号。但题目中N是正整数，所以可能不需要处理这种情况。 例如，当N=1时，h_max=1，总符号数1。剩下0。 然后，根据h_max的值，打印沙漏的上半部分和下半部分。 例如，h_max=3时，上半部分： i=0: 0空格，5个* i=1: 1空格，3个* i=2: 2空格，1个* 下半部分： j从0到1（h_max-2=1）： j=0: 空格数=3-0-2=1，符号3 j=1: 空格数=3-1-2=0，符号5 这样，输出正确。 现在，代码的大致结构： 读取N和c： int N; char c; cin >> N >> c; 计算h_max： int h_max = sqrt( (N +1)/2 ); // 这里需要检查，因为浮点数可能不准确，所以可能需要循环找到最大的h满足2h²-1 <=N. 或者，更好的方法是，使用循环来找到最大的h_max： h_max初始化为0，然后循环增加直到2*(h_max+1)^2 -1 <=N。或者，用二分法？ 比如： h_max=0; while( 2*(h_max+1)*(h_max+1) -1 <= N ) { h_max++; } 例如，当N=19时： 初始h_max=0，检查2*(1)^2-1=1<=19 →h_max=1 检查2*(2)^2-1=7<=19→h_max=2 检查2*(3)^2-1=17<=19→h_max=3 检查2*(4)^2-1=31>19 →停止。所以h_max=3。这样得到正确的结果。 这样，循环的条件是，当下一个h的可能值是否满足条件。这个方法可能更可靠，因为浮点运算可能会有精度问题。 所以，正确的计算h_max的代码是： int h_max=0; while(2*(h_max+1)*(h_max+1)-1 <=N){ h_max++; } 这样，h_max的值就是最大的满足条件的整数。 例如，当N=7时： 检查h_max=0 →2*(1)^2-1=1<=7→h_max=1 检查h_max=1→2*(2)^2-1=7<=7→h_max=2 检查h_max=2→2*(3)^2-1=17>7→停止。所以h_max=2。此时总符号数是2*2²-1=7，正确。 是的，这样计算h_max是可行的。 接下来，计算剩余符号数：remain = N - (2*h_max*h_max -1); 接下来，打印沙漏的上半部分： 最大行符号数是k=2*h_max -1。例如，h_max=3，k=5. 上半部分h_max行，每行i从0到h_max-1： 空格数是i，符号数是k - 2*i. 打印每行：输出i个空格，然后输出k-2i个字符c，然后换行。 下半部分共有h_max-1行，每行j从0到h_max-2： 空格数是 (h_max -1 -j -1) →h_max -j -2. 符号数是 3+2*j. 例如，h_max=3时，j的取值为0和1： j=0 →空格数3-0-2=1，符号3 j=1 →空格数3-1-2=0，符号5. 所以，下半部分的循环是： for(int j=0; j < h_max-1; j++) { int space_num = h_max - j -2; int char_num = 3 + 2*j; // 打印space_num个空格，char_num个c } 注意，当h_max=1时，下半部分的行数是h_max-1=0，所以不打印下半部分。例如，当h_max=1时，整个沙漏只有一行一个符号。 现在，编写代码的步骤： 读取N和c。 计算h_max. 计算remain. 打印沙漏。 如果h_max为0，说明无法打印任何符号。例如，当N=0时？但题目中的输入是N<=1000的正整数，所以可能N=0的情况不存在。例如，当输入N=0，可能不处理。但根据题目描述，输入是正整数N，所以h_max可能为0的情况仅在N非常小的时候，比如N=0，但题目中N是正整数。 假设h_max至少为1。 然后，打印上半部分： for(int i=0; i < h_max; i++) { int current_chars = 2*(h_max -i) -1; // 因为k=2h_max-1, 每行递减2*i →比如h_max=3时，i=0 →5，i=1→3，i=2→1. // 或者，等价于k=2h_max-1，当前符号数是k -2*i →例如，当i=0，k-0=5；i=1，5-2=3；i=2，5-4=1. int spaces = i; for(int s=0; s<spaces; s++) cout << ' '; for(int c=0; c<current_chars; c++) cout << c; cout << endl; } 下半部分： for(int j=0; j < h_max-1; j++) { int current_chars = 3 + 2*j; int spaces = h_max - j -2; for(int s=0; s < spaces; s++) cout << ' '; for(int c=0; c<current_chars; c++) cout << c; cout << endl; } 例如，当h_max=3，下半部分循环j从0到1： j=0 →空格数3-0-2=1，符号数3+0=3. j=1 →空格数3-1-2=0，符号数3+2=5. 正确。 现在，测试样例输入19 *，输出是否正确？ h_max=3. 上半部分： i=0: 空格0，符号5 →***** i=1: 空格1，符号3 → *** i=2: 空格2，符号1 → * 下半部分： j=0: 空格1，符号3 → *** j=1: 空格0，符号5 →***** 所以总输出： ***** *** * *** ***** 与样例相符。剩下19 -17=2，输出正确。 那现在，这个代码应该可以解决问题。 需要注意的情况： 当h_max=1时，沙漏只有一个符号。例如N=1，则输出一个*，剩下0。 当h_max=2时，总符号数为2*2²-1=7。