稀疏典型相关分析SCCA

### 稀疏典型相关分析 (SCCA) 的概述 稀疏典型相关分析（Sparse Canonical Correlation Analysis, SCCA）是一种统计技术，旨在识别两组变量之间的线性关系，并通过引入稀疏约束来提高模型解释性和计算效率。传统CCA试图找到两个多维变量集合的最大协方差方向；然而，在高维数据情况下，这种方法可能会遇到过拟合问题以及难以解析的结果。 为了克服这些问题，SCCA利用Lasso回归或其他形式的正则化方法施加惩罚项给权重向量，从而使得一些系数变为零，实现特征选择的目的[^1]。 #### 数学表达式 设X和Y分别表示来自不同视角的数据矩阵，则目标函数可以定义如下： \[ \max_{\mathbf{a}, \mathbf{b}} corr(\mathbf{X}\mathbf{a}; \mathbf{Y}\mathbf{b}) - P_\lambda (\mathbf{a}) - Q_\mu (\mathbf{b}), \] 其中 \(corr\) 表示皮尔逊相关系数，\(P_\lambda\) 和 \(Q_\mu\) 是作用于投影矢量上的罚函数，通常采用绝对值之和的形式即 L1 范数作为稀疏性的度量标准[^2]。 ```python from sklearn.cross_decomposition import CCA import numpy as np def sparse_cca(X, Y, alpha=0.5): """ 实现简单的稀疏典型相关分析 参数: X : array-like of shape (n_samples, n_features_x) 输入样本集之一. Y : array-like of shape (n_samples, n_features_y) 输入样本集之二. alpha: float between 0 and 1 控制稀疏程度，默认为0.5 返回: cca_results : tuple containing two arrays with the transformed datasets corresponding to each view after applying sCCA transformation. """ # 初始化CCA对象并设置参数 cca = CCA(n_components=1) # 对输入数据应用标准化处理 mean_X = np.mean(X, axis=0) std_X = np.std(X, axis=0) Zx = (X - mean_X) / std_X mean_Y = np.mean(Y, axis=0) std_Y = np.std(Y, axis=0) Zy = (Y - mean_Y) / std_Y # 训练模型 cca.fit(Zx, Zy) # 获取转换后的数据 x_c, y_c = cca.transform(Zx, Zy) # 应用软阈值操作以获得更稀疏解 threshold_value = np.percentile(np.abs(x_c), q=(1-alpha)*100) mask = np.where(abs(x_c)>threshold_value)[0] return ((Zx[:,mask], Zy[:,mask])) ``` 此代码片段展示了如何基于Python中的`sklearn`库构建一个基本版本的sCCA算法。请注意这只是一个简化版的例子，在实际应用场景中可能还需要考虑更多细节如交叉验证调参等。