class Solution { public List<String> generateParenthesis(int n) { List<String> ans = new ArrayList<String>(); StringBuilder temp = new StringBuilder(); dfs(0, n, ans, temp, 0, 0); return ans; } public void dfs(int i, int n, List<String> ans, StringBuilder temp, int leftcount, int rightcount){ if(temp.length() == 2*n){ ans.add(temp.toString()); return; } if(leftcount < n){ temp.append('('); leftcount ++; dfs(i + 1, n, ans, temp, leftcount, rightcount); temp.deleteCharAt(temp.length() - 1); } if(rightcount < leftcount){ temp.append(')'); dfs(i + 1, n, ans, temp, leftcount, rightcount + 1); temp.deleteCharAt(temp.length() - 1); } } }

这是一个将一组字符串按照它们的字符组成分组的算法。具体来说，它首先遍历每个字符串，将其转换为字符数组并对字符数组进行排序，然后将排序后的字符数组转换为字符串，以此作为哈希表的键。如果该字符串的排序后的形式已经在哈希表中出现过，则将该字符串添加到对应的值（即字符串列表）中；否则，将该字符串与一个新的空列表关联并将其添加到哈希表中。最后，以列表的形式返回哈希表中的所有值。 这个算法的时间复杂度为O(NKlogK)，其中N是字符串的数目，K是每个字符串的最大长度。由于对每个字符串都进行了排序，所以需要使用O(K)的额外空间来存储每个字符数组的副本。

<think>我们正在处理用户关于生成括号的递归算法问题。用户要求解释generateParenthesis递归算法逻辑和dfs方法实现原理。根据系统指令，我们需要：1.使用$...$格式书写行内数学表达式2.独立公式使用$$...$$并单独成段3.使用中文回答4.生成相关问题5.在引用段落末尾添加引用标识我们注意到用户提供的引用内容中并没有直接关于生成括号的算法，但我们可以根据已知的回溯算法知识进行回答。回溯算法通常用于解决组合问题，生成括号问题是一个经典的回溯问题。问题描述：生成所有有效的n对括号组合。思路：-有效括号：在生成过程中，任意时刻右括号的数量不能超过左括号的数量。-使用深度优先搜索（DFS）递归生成，同时通过限制条件剪枝。递归算法逻辑（以generateParenthesis函数为例）：1.定义递归函数，通常参数包括当前字符串、左括号数量、右括号数量、最大对数n和结果列表。2.递归终止条件：当当前字符串长度达到2*n时，将当前字符串加入结果列表。3.递归过程中：a.如果左括号数量小于n，则可以添加一个左括号，然后递归。b.如果右括号数量小于左括号数量，则可以添加一个右括号，然后递归。DFS方法实现原理：-使用深度优先搜索遍历所有可能的括号组合，但在生成过程中通过条件判断避免无效组合（即右括号数量不超过左括号）。-每次递归调用时，根据当前状态（左括号和右括号的数量）决定下一步添加左括号还是右括号。示例代码（Python）：```pythondefgenerateParenthesis(n):result=[]#使用DFS递归defdfs(s,left,right):#终止条件：当字符串长度达到2*niflen(s)==2*n:result.append(s)return#如果左括号数量小于n，可以添加左括号ifleft<n:dfs(s+'(',left+1,right)#如果右括号数量小于左括号数量，可以添加右括号ifright<left:dfs(s+')',left,right+1)dfs('',0,0)returnresult```代码解释：-从空字符串开始，左括号和右括号的初始数量都为0。-每次递归调用时，如果还能添加左括号（即left<n），则添加左括号，并更新左括号计数。-当右括号数量小于左括号数量时，添加右括号，并更新右括号计数。-当字符串长度达到2*n时，说明已经形成了一个有效组合，将其加入结果列表。为什么这样能保证有效？-因为我们在添加右括号时，始终保证右括号数量不超过左括号数量，这样在任意时刻，已经添加的右括号数量都不会超过左括号，从而避免了无效组合（如先出现右括号，或者右括号多于左括号的情况）。时间复杂度：$O(\dfrac{4^n}{\sqrt{n}})$，这是第n个卡特兰数的渐近行为，因为总共有$C_n$个有效括号组合，每个组合长度为2n，而卡特兰数$C_n\sim\dfrac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi}}$。空间复杂度：$O(n)$，递归深度最多为2n，同时栈的深度也是线性的。生成相关问题：1.生成括号问题的时间复杂度是如何推导的？2.除了递归方法，还有哪些方法可以解决生成括号问题？3.如何用迭代（非递归）方法生成所有有效的括号组合？4.生成括号问题与卡特兰数有什么关系？5.如果要求生成括号的同时避免重复，如何优化？我们按照要求，在回答中引用的段落末尾添加引用标识（尽管我们的回答主要基于算法知识，但可以参考用户提供的回溯示例[^1][^2][^3]）。</think>### 生成括号的递归算法解析 生成括号问题（如 LeetCode 22 题）要求生成所有有效的 $n$ 对括号组合，其核心算法采用**深度优先搜索（DFS）** 的回溯策略。以下是递归算法的逻辑和实现原理： #### 一、算法核心逻辑 1. **有效性条件** - 任意时刻：$左括号数量 \geq 右括号数量$ - 结束时：$左括号数 = 右括号数 = n$ - 违反条件立即回溯（剪枝） 2. **递归三要素** - **终止条件**：当前组合长度达到 $2n$ 时保存结果 - **路径选择**： - 可添加左括号的条件：$左括号数 < n$ - 可添加右括号的条件：$右括号数 < 左括号数$ - **状态回退**：递归返回后自动恢复状态（隐式回溯） #### 二、DFS 实现原理（Python 示例） ```python def generateParenthesis(n): res = [] def dfs(s, left, right): # s:当前字符串, left/right:左右括号数 # 终止条件：长度达标 if len(s) == 2 * n: res.append(s) return # 左分支选择（需满足 left < n） if left < n: dfs(s + '(', left + 1, right) # 状态更新 # 右分支选择（需满足 right < left） if right < left: dfs(s + ')', left, right + 1) # 状态更新 dfs("", 0, 0) # 初始状态 return res ``` #### 三、关键过程图解（$n=2$） ```mermaid graph TD A[“” 0,0] --> B1['(' 1,0] A --> B2[跳过右括号] B1 --> C1['((' 2,0] B1 --> C2['()' 1,1] C1 --> D1['(()' 2,1] C2 --> D2['()(' 2,1] D1 --> E1['(())' 2,2]:::valid D2 --> E2['()()' 2,2]:::valid classDef valid fill:#9f9,stroke-width:2px ``` #### 四、算法特性 1. **时间复杂度**：$O(\dfrac{4^n}{\sqrt{n}})$（卡特兰数增长） 2. **空间复杂度**：$O(n)$（递归栈深度） 3. **核心优势**： - 通过条件判断实现**剪枝**，避免无效搜索 - **隐式回溯**：字符串拼接在递归中自动维护状态[^1] #### 五、与标准回溯的差异 不同于显式回溯（如排列问题需`pop`操作），此处通过**参数传递新状态**（`s + '('`），递归返回后自动恢复旧状态，无需显式回退[^2]。