lu分解法解线性方程组 c

### 实现LU分解法解线性方程组 为了在C语言中实现LU分解法来求解线性方程组，可以按照以下方式编写代码。该过程分为两个主要部分：首先是执行LU分解，其次是利用得到的L和U矩阵分别向前代入和回代求解未知向量。 #### LU分解函数定义 此函数接收一个系数矩阵`a`并对其进行Crout分解，生成下三角矩阵\( L \)[^1] 和上三角矩阵 \( U \)，其中 \( A = LU \)。 ```c #include <stdio.h> #define N 3 // 假设是一个三阶方阵 void lu_decomposition(double a[N][N], double l[N][N], double u[N][N]) { int i, j, k; for (i = 0; i < N; ++i) { for (j = 0; j < N; ++j) { double sum = 0; if (j >= i) { // 计算u[i][j] for (k = 0; k < i; ++k) sum += l[i][k] * u[k][j]; u[i][j] = a[i][j] - sum; } else { // 计算l[j][i] for (k = 0; k < j; ++k) sum += l[j][k] * u[k][i]; l[j][i] = (a[j][i] - sum) / u[j][j]; } if (i == j) l[i][i] = 1.0; // 对角线下置为1 } } } ``` #### 解决Ly=b获得y的过程 通过前向替换解决由L产生的中间变量\[ y\] ```c void forward_substitution(double l[N][N], double b[N], double y[N]) { int i, j; for(i = 0; i < N; ++i){ y[i] = b[i]; for(j = 0; j < i; ++j){ y[i] -= l[i][j]*y[j]; } } } ``` #### 使用Ux=y反向替代找到最终的结果x 最后一步是应用后向替换算法基于之前计算出来的\[ y\] 来获取原始方程中的未知数\[ x\]. ```c void backward_substitution(double u[N][N], double y[N], double x[N]){ int i,j; for(i=N-1;i>=0;--i){ x[i]=y[i]; for(j=i+1;j<N;++j){ x[i]-=u[i][j]*x[j]; } x[i]/=u[i][i]; } } ``` 上述三个函数共同作用完成整个流程，即先做LU分解再依次求得\[ y\] 及\[ x\]. 这样就实现了用C语言编写的LU分解法解线性方程组的方法[^2].