import numpy as np from sklearn.datasets import make_regression from sklearn.model_selection import train_test_split np.random.seed(1) def lr(x_train, x_test, y_train, y_test): """ :param x_train: 训练集 :param x_test: 训练集标签 :param y_train: 测试集 :param y_test: 测试集标签 :return: 预测值与测试集标签的均方误差 """ # 请根据提示在下面补全代码 # ********** Begin ********* # # 使用正规方程公式求得theta # 使用theta预测结果 # 求出预测值与目标值的均方误差 # ********** End ********* # return mse if __name__ == '__main__': X, Y = make_regression(n_samples=500, n_features=1, n_targets=1, noise=1.5) x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(X, Y) mse = lr(x_train, x_test, y_train, y_test) print(mse)编写一个利用正规方程进行线性回归预测的程序。

### 正规方程实现线性回归预测 以下是基于正规方程实现线性回归预测的完整代码示例，其中包括模型训练、预测以及均方误差的计算。 ```python import numpy as np from sklearn.model_selection import train_test_split from sklearn.preprocessing import StandardScaler from sklearn.metrics import mean_squared_error # 数据生成 (假设我们有一个简单的二维数据集) np.random.seed(42) X = 2 * np.random.rand(100, 1) # 特征矩阵 X y = 4 + 3 * X + np.random.randn(100, 1) # 目标变量 y 添加噪声 # 划分训练集和测试集 X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42) # 数据标准化 scaler_X = StandardScaler() scaler_y = StandardScaler() X_train_scaled = scaler_X.fit_transform(X_train) X_test_scaled = scaler_X.transform(X_test) y_train_scaled = scaler_y.fit_transform(y_train).ravel() # 将形状调整为一维数组 y_test_scaled = scaler_y.transform(y_test).ravel() # 增加偏置项 (添加一列全为1的向量) X_b_train = np.c_[np.ones((X_train_scaled.shape[0], 1)), X_train_scaled] X_b_test = np.c_[np.ones((X_test_scaled.shape[0], 1)), X_test_scaled] # 计算正规方程求解最优参数 θ theta_best = np.linalg.inv(X_b_train.T.dot(X_b_train)).dot(X_b_train.T).dot(y_train_scaled) # 正规方程公式[^2] print(f"最佳回归系数: {theta_best}") # 预测 y_lin_predict_scaled = X_b_test.dot(theta_best) # 反标准化预测值 y_lin_predict = scaler_y.inverse_transform(y_lin_predict_scaled.reshape(-1, 1)) # 计算均方误差 mse = mean_squared_error(y_test, y_lin_predict) print(f"正规方程的均方误差：{mse}") ``` ### 解析说明 上述代码实现了以下几个功能： 1. **数据准备** 创建了一个简单的一元线性回归数据集 `X` 和目标变量 `y`，其中加入了随机噪声以模拟真实世界中的不确定性[^4]。 2. **数据预处理** 对特征 `X` 和目标变量 `y` 进行了标准化操作，以便提高数值稳定性。这一步对于正规方程尤其重要，因为其涉及矩阵运算[^1]。 3. **增加偏置项** 使用 `np.c_` 方法在特征矩阵前加入一列常数 `1`，用于表示截距项 \( \beta_0 \)[^3]。 4. **正规方程求解** 应用了正规方程的核心公式： \[ \theta = (X^\top X)^{-1} X^\top y \] 来直接计算出最优的回归系数 \( \theta \)，无需迭代过程[^2]。 5. **反标准化与评估** 将预测结果从标准化空间映射回原始空间，并利用均方误差（MSE）来衡量模型性能[^1]。 --- ###