（a*| b* ) *对这个正则表达式转换为DFA

### 将正则表达式 (a* | b*)* 转换为 DFA 的方法 将正则表达式 `(a* | b*)*` 转换为确定有限自动机（DFA），通常需要经过以下几个阶段的过程： #### 1. 构建 NFA 首先，通过 Thompson 构造法或其他算法，将正则表达式转化为非确定有限自动机（NFA）。对于给定的正则表达式 `(a* | b*)*`，可以按照以下方式构建其对应的 NFA。 - **(a*) 和 (b*) 部分** - `a*` 表示零次或多次匹配字符 'a'。可以通过引入 ε 移动来实现。 - 同理，`b*` 表示零次或多次匹配字符 'b'。 - **(|)** 运算符表示选择操作 - 使用分支结构连接两个子表达式的 NFA 图形。 - **(*)** 对整个 `(a* | b*)` 应用 Kleene 星号运算 - 添加额外的状态和 ε 边缘以允许重复执行上述模式。 最终得到的是一个能够接受任意数量交替出现的 a 或者 b 字符串序列的 NFA[^3]。 #### 2. 子集构造法从 NFA 到 DFA 为了消除不确定性并获得更易于理解和使用的机器模型——即 DFA，采用子集构造技术完成这一转变过程如下所示: - 初始化一个新的起始状态作为原始 NFA 中所有可能初始位置组成的集合； - 创建尚未处理的新状态列表，并将其标记为待访问； - 当存在未被探索过的当前活动节点组时循环执行下面的操作直到结束条件满足为止： - 计算该组合下每一个输入符号所指向的目标状态群组； - 如果这些目标不属于已知状态，则创建它们并将他们添加到等待队列里去进一步分析； 具体来说，在本例中会经历多个迭代步骤逐步细化各个中间过渡情况直至形成完整的表格形式展示出来全部路径关系图谱。 #### 示例 Python 实现代码片段 以下是基于以上理论的一个简单 python 版本模拟程序用于演示如何自动化地由 regex 得到 dfa 结果： ```python from collections import deque, defaultdict def epsilon_closure(states, transitions): closure = set(states) stack = list(states) while stack: state = stack.pop() if ('ε', state) in transitions and isinstance(transitions[('ε', state)], set): for next_state in transitions[('ε', state)]: if next_state not in closure: closure.add(next_state) stack.append(next_state) return frozenset(closure) def move(states, symbol, transitions): result = set() for s in states: key = (symbol, s) if key in transitions and isinstance(transitions[key], set): result.update(transitions[key]) return frozenset(result) def subset_construction(nfa_states, nfa_transitions, start_state, accept_states): dfa_states = [] dfa_accept_states = set() dfa_start_state = epsilon_closure([start_state], nfa_transitions) unmarked_states = deque([dfa_start_state]) marked_states = {} transition_table = {} alphabet = {'a', 'b'} while unmarked_states: T = unmarked_states.popleft() if any(s in accept_states for s in T): dfa_accept_states.add(T) marked_states[T] = True for input_symbol in alphabet: U = epsilon_closure(move(T, input_symbol, nfa_transitions), nfa_transitions) if U != frozenset(): if U not in marked_states.keys() and U not in unmarked_states: unmarked_states.append(U) transition_key = (T, input_symbol) transition_table.setdefault(transition_key, []).append(U) return dfa_states, dfa_accept_states, dfa_start_state, transition_table # Example usage with the given regular expression "(a*|b*)*" nfa_transitions = { ("ε", 0): {1}, ("a", 1): {2}, ("ε", 2): {3}, ("b", 1): {4}, ("ε", 4): {5}, ("ε", 3): {6}, ("ε", 5): {6}, ("ε", 6): {7}, } start_state = 0 accept_states = {7} _, _, _, dfa_transition_table = subset_construction(set(range(8)), nfa_transitions, start_state, accept_states) for k,v in dfa_transition_table.items(): print(f"{k}: {v}") ``` 此脚本展示了如何利用子集构造算法把前面提到的那个特定正则表达式转换成相应的 DFA 形态。 ---