2．已知二叉树的先序遍历序列是EABDCFHGIKJ，中序遍历序列是ABCDEFGHIJK，请构造二叉树，并写出其层次遍历序列和后序遍历序列。

<think>嗯，用户的问题是关于如何根据给定的先序遍历和中序遍历序列构造二叉树，并求出层次遍历和后序遍历的结果。我需要仔细分析这个问题，确保步骤正确，同时参考用户提供的引用内容来辅助解答。 首先，我应该回忆一下二叉树遍历的基本原理。根据引用[4]和引用[5]，先序遍历的第一个节点是根节点，而中序遍历中根节点将左右子树分开。所以构造二叉树的关键在于递归地确定根节点和左右子树的边界。 用户给出的先序是EABDCFHGIKJ，中序是ABCDEFGHIJK。先序的第一个元素是E，所以根节点是E。接下来在中序中找到E的位置，左边是ABCD，属于左子树，右边是FGHIJK，属于右子树。这样，左子树的先序应该是A B D C，对应的中序是A B C D。这里可能需要确认是否正确，因为先序中左子树的节点数量应该和中序中的左子树数量一致。左子树部分中序是ABCD，共4个节点，所以先序中左子树应该是A后的四个节点：A B D C？但先序序列是E A B D C F H G I K J。所以左子树的先序应该是A B D C，而右子树的先序是F H G I K J。 接下来处理左子树：先序A B D C，中序A B C D。根节点是A，然后中序中A左边没有元素，说明左子树为空，右子树的先序是B D C，中序是B C D。这时候根节点是B，同样中序中B左边为空，右子树的先序是D C，中序是C D。根节点是D，中序中D左边是C，所以C是D的左子树。这样左子树的构造完成。 然后是右子树：先序F H G I K J，中序F G H I J K。根节点是F，根据中序，F左边没有元素，所以右子树的右部分是中序的G H I J K，对应的先序应该是H G I K J。根节点是H，中序中H左边是G，右边是I J K。H的左子树是G，右子树的先序是I K J，中序是I J K。根节点是I，中序中I左边没有，右边是J K，对应先序中的K J。这里可能需要进一步分解，比如I的右子树是先序K J，中序J K，根节点是K，左子树是J。这样构造完成后，整个二叉树的结构应该清晰了。 之后，根据构造好的二叉树，进行后序遍历和层次遍历。后序遍历需要左右根的顺序，层次遍历则按层从上到下，每层从左到右。需要确保遍历的顺序正确，可能需要画图或逐步检查每个节点的位置。 同时，用户提供的引用中有类似的例子，比如引用[1]中构造二叉树的方法，以及引用[5]中遍历的原理，可以作为参考。需要注意的是在构造右子树时，特别是处理H和I的子树部分，可能容易出错，需要仔细核对每一步的先序和中序分割是否正确。 最后，生成的问题应该围绕构造方法、遍历的应用或可能的变体，帮助用户巩固相关知识。</think>### 分步解答 #### 步骤1：确定根节点 先序遍历的第一个节点为根节点，因此根节点为 $E$。此时： - **先序遍历**：E [A B D C] [F H G I K J] - **中序遍历**：[A B C D] E [F G H I J K] #### 步骤2：递归构建左子树 左子树的先序为 $A B D C$，中序为 $A B C D$： 1. 左子树的根节点为 $A$（先序第一个元素），中序中 $A$ 左侧为空，因此： - $A$ 的右子树对应中序 $B C D$，先序 $B D C$ 2. 递归处理右子树： - 根节点为 $B$，中序中 $B$ 右侧为 $C D$，对应先序 $D C$ - 根节点为 $D$，中序中 $D$ 左侧为 $C$，因此 $D$ 的左子节点为 $C$ 左子树结构： ``` A \ B \ D / C ``` #### 步骤3：递归构建右子树 右子树的先序为 $F H G I K J$，中序为 $F G H I J K$： 1. 根节点为 $F$（先序第一个元素），中序中 $F$ 右侧为 $G H I J K$，对应先序 $H G I K J$ 2. 递归处理右侧： - 根节点为 $H$（先序第一个元素），中序中 $H$ 左侧为 $G$，右侧为 $I J K$ - $H$ 的左子节点为 $G$，右子树对应中序 $I J K$，先序 $I K J$ 3. 处理 $H$ 的右子树： - 根节点为 $I$（先序第一个元素），中序中 $I$ 右侧为 $J K$ - 根节点为 $K$（先序 $K J$ 的第一个元素），中序中 $K$ 左侧为 $J$，因此 $K$ 的左子节点为 $J$ 右子树结构： ``` F \ H / \ G I \ K / J ``` #### 步骤4：完整二叉树结构 ``` E / \ A F \ \ B H \ / \ D G I / \ C K / J ``` #### 步骤5：后序遍历 按 **左-右-根** 顺序遍历： 1. 左子树后序：$C \rightarrow D \rightarrow B \rightarrow A$ 2. 右子树后序：$G \rightarrow J \rightarrow K \rightarrow I \rightarrow H \rightarrow F$ 3. 根节点：$E$ 合并结果： $$C \rightarrow D \rightarrow B \rightarrow A \rightarrow G \rightarrow J \rightarrow K \rightarrow I \rightarrow H \rightarrow F \rightarrow E$$ 即 **CDBAGJKIHFE** [^5] #### 步骤6：层次遍历 按 **从上到下、从左到右** 遍历： $$E \rightarrow A \rightarrow F \rightarrow B \rightarrow H \rightarrow D \rightarrow G \rightarrow I \rightarrow C \rightarrow K \rightarrow J$$ 即 **E A F B H D G I C K J** [^5] ### 最终答案 - **构造的二叉树结构**（图示见步骤4） - **后序遍历序列**：CDBAGJKIHFE - **层次遍历序列**：E A F B H D G I C K J