eigen 伪逆原理
时间: 2025-01-30 21:20:35 浏览: 43
### Eigen 库中的伪逆实现原理
在处理线性代数问题时，矩阵求逆是一个常见的操作。然而，并不是所有的矩阵都存在精确的逆矩阵，此时就需要引入伪逆的概念来近似解决问题。
对于矩形矩阵 \( A \)，其Moore-Penrose伪逆定义为满足四个条件的唯一矩阵 \( A^+ \)[^1]：
- \( AA^{+}A = A \)
- \( A^{+}AA^{+}=A^{+}\)
- \( (AA^{+})^\top=AA^{+}\)
- \( (A^{+}A)^\top=A^{+}A\)
在Eigen库中，计算伪逆通常通过奇异值分解(SVD, Singular Value Decomposition)完成。SVD可以将任意大小的实数或复数矩阵\( m\times n\)表示成三个矩阵相乘的形式:
\[ A = U\Sigma V^\top \]
其中\(U,V\)分别是正交矩阵,\(\Sigma\)是对角线上含有非负奇异值的对角矩阵。
为了得到伪逆，则需构建新的对角阵\(\Sigma^{-1}\),它由原对角元取倒数组成(如果等于0则保持不变):
\[ A^+=V{\Sigma}^{-1}U^\top \]
具体到代码层面，在Eigen库中可以通过调用`JacobiSVD`类来进行上述过程。下面给出一段简单的C++代码示例展示如何利用Eigen库获取给定矩阵的伪逆：
```cpp
#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace std;
using namespace Eigen;
int main() {
MatrixXd mat(3, 2);
mat << 1, 2,
3, 4,
5, 6;
JacobiSVD<MatrixXd> svd(mat, ComputeThinU | ComputeThinV);
double epsilon = pow(2.0, -52); // machine precision for double type
VectorXd singularValues = svd.singularValues();
int r = 0; // rank of matrix
while(r<singularValues.size()){
if(singularValues[r]>epsilon){
++r;
}else{
break;
}
}
MatrixXd pinvMat = svd.matrixV().leftCols(r)*(
singularValues.head(r).asDiagonal().inverse())*
svd.matrixU().leftCols(r).adjoint();
cout << "Pseudo-inverse:\n" << pinvMat << endl;
return 0;
}
```
此程序首先创建了一个3×2维随机测试矩阵mat，接着使用`JacobiSVD`对象svd对其进行奇异值分解并设置参数只保留必要的部分空间基底（即thin形式）。之后判断哪些奇异值有效以确定秩r，最后按照公式组合获得伪逆矩阵pinvMat。
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### 知识点详细说明
#### 标题说明
1. **Chm电子书批量反编译器(ChmDecompiler) 3.60**:
这里提到的是一个软件工具的名称及其版本号。软件的主要功能是批量反编译CHM格式的电子书。CHM格式是微软编译的HTML文件格式，常用于Windows平台下的帮助文档或电子书。版本号3.60说明这是该软件的一个更新的版本，可能包含改进的新功能或性能提升。
#### 描述说明
2. **专门用来反编译CHM电子书源文件的工具软件**:
这里解释了该软件的主要作用，即用于解析CHM文件，提取其中包含的原始资源，如网页、文本、图片等。反编译是一个逆向工程的过程，目的是为了将编译后的文件还原至其原始形态。
3. **迅速地释放包括在CHM电子书里面的全部源文件**:
描述了软件的快速处理能力，能够迅速地将CHM文件中的所有资源提取出来。
4. **恢复源文件的全部目录结构及文件名**:
这说明软件在提取资源的同时，会尝试保留这些资源在原CHM文件中的目录结构和文件命名规则，以便用户能够识别和利用这些资源。
5. **完美重建.HHP工程文件**:
HHP文件是CHM文件的项目文件，包含了编译CHM文件所需的所有元数据和结构信息。软件可以重建这些文件，使用户在提取资源之后能够重新编译CHM文件，保持原有的文件设置。
6. **多种反编译方式供用户选择**:
提供了不同的反编译选项，用户可以根据需要选择只提取某些特定文件或目录，或者提取全部内容。
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#### 标签说明
10. **Chm电子书批量反编译器**:
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首先，Java EE（Java Platform, Enterprise Edition）是Java技术的官方企业计算版。Java EE提供了一个平台，用于开发和运行大型、多层、可伸缩、可靠和安全的网络应用程序。Java EE 5.03版本是Java EE的早期版本之一，它在Java SE（Standard Edition）的基础上添加了企业级服务。
### 标题知识点：java_ee_sdk-5_03帮助文档
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### 描述知识点：java_ee_sdk-5_03-javadocs
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