欧拉角和四元数

### 欧拉角与四元数的关系及其转换 在三维图形学领域，欧拉角和四元数都是用来描述物体旋转的重要工具。欧拉角通过定义一组特定的轴以及围绕这些轴的旋转角度来表达旋转状态[^2]。具体来说，欧拉角通常由三个参数组成：roll（绕X轴旋转）、yaw（绕Y轴旋转）和pitch（绕Z轴旋转）。而四元数则是一种更为紧凑且高效的表示方式，能够有效避免万向锁问题并简化插值运算。 #### 转换原理 为了将欧拉角转化为四元数，可以通过一系列数学推导得出两者之间的映射关系。假设给定的一组欧拉角为 \((\text{roll}, \text{pitch}, \text{yaw})\)，对应的四元数 \(q = (w, x, y, z)\) 可以按如下公式计算： \[ w = \cos(\frac{\phi}{2}) \cdot \cos(\frac{\theta}{2}) \cdot \cos(\frac{\psi}{2}) + \sin(\frac{\phi}{2}) \cdot \sin(\frac{\theta}{2}) \cdot \sin(\frac{\psi}{2}) \] \[ x = \sin(\frac{\phi}{2}) \cdot \cos(\frac{\theta}{2}) \cdot \cos(\frac{\psi}{2}) - \cos(\frac{\phi}{2}) \cdot \sin(\frac{\theta}{2}) \cdot \sin(\frac{\psi}{2}) \] \[ y = \cos(\frac{\phi}{2}) \cdot \sin(\frac{\theta}{2}) \cdot \cos(\frac{\psi}{2}) + \sin(\frac{\phi}{2}) \cdot \cos(\frac{\theta}{2}) \cdot \sin(\frac{\psi}{2}) \] \[ z = \cos(\frac{\phi}{2}) \cdot \cos(\frac{\theta}{2}) \cdot \sin(\frac{\psi}{2}) - \sin(\frac{\phi}{2}) \cdot \sin(\frac{\theta}{2}) \cdot \cos(\frac{\psi}{2}) \] 其中，\(\phi\) 表示 roll 角度，\(\theta\) 表示 pitch 角度，\(\psi\) 表示 yaw 角度[^2]。 反之，如果已知一个四元数 \(q = (w, x, y, z)\)，其对应欧拉角可通过反三角函数求解得到。例如，在 Unity 中实现这一过程的具体代码片段可参见以下例子[^3]： ```cpp inline glm::vec3 quatToEulerAngle(glm::quat rotation) { glm::vec3 euler; float x = rotation.x, y = rotation.y, z = rotation.z, w = rotation.w; // 计算 Roll (X-Axis Rotation) euler.x = glm::asin(2.0 * (w * x - y * z)); // 计算 Pitch (Y-Axis Rotation) euler.y = glm::atan2( 2.0f * (w * y + x * z), 1.0f - 2.0f * (y * y + x * x) ); // 计算 Yaw (Z-Axis Rotation) euler.z = glm::atan2( 2.0f * (w * z + x * y), 1.0f - 2.0f * (z * z + x * x) ); // 将弧度转换为角度 euler = glm::degrees(euler); return euler; } ``` 此代码展示了如何从四元数提取出相应的欧拉角数值，并将其单位从弧度制转换至角度制以便于实际应用中的理解与操作[^3]。 ### 应用场景分析 在现代计算机图形学、游戏开发及虚拟现实技术中，由于四元数具备更高的效率与稳定性，因此常作为首选方案处理复杂的动态变换需求。然而，在某些情况下仍需借助欧拉角形式来进行直观展示或者满足特殊算法的要求。此时掌握两者的相互转化就显得尤为重要了[^1]。