题目描述 小X是一位精明的投资人，他每次都能够做出正确的投资判断。现在有N个项目，每个项目的总投资额和总收益已知，并且每一个项目都允许小X投资一部分，当然也就只能拿到一部分收益。 现在小X决定拿出M万元钱来进行投资，请你帮他设计一个算法来计算最大收益和。 输入 对于每一个样例，第1行包含两个正整数，分别是M和N，其中M<=10^6，N<=100。 第2行一共有2*N个整数（不一定是正整数），奇数位置（即2*N-1位置)的数字表示第N个项目的总投资额（万元），偶数位置（即2*N位置）的数字表示第N个项目的总收益（万元），两个数字之间用空格隔开。 输出 小X可以获得的最大收益和（万元，结果保留两位小数）。 样例输入 Copy 100 4 50 10 20 10 40 10 50 20 样例输出 Copy 37.50c语言解决

<think>好的，用户现在需要解决两个算法问题：最少加油次数和最大投资收益，并且希望用C语言实现。用户之前已经得到了关于最少加油次数算法的详细解答，现在可能想进一步了解另一个问题，即最大投资收益的解决方案。同时，用户还提供了几个相关的引用内容，涉及组合优化、整数规划、分支界定法以及动态规划。需要结合这些引用来给出合适的回答。 首先，分析用户的问题。最少加油次数已经有一个贪心算法的实现，用户可能希望确认该算法的正确性或者是否有其他方法。而最大投资收益问题，根据引用中的内容，特别是引用[4]，提到了动态规划的应用，比如投资问题的子问题界定和递推方程。因此，最大投资收益很可能需要用动态规划来解决。 接下来，考虑用户提供的引用内容。引用[1]提到组合优化和整数规划，而引用[2]提到分支界定法用于0-1背包问题，引用[3]和[4]则涉及动态规划。最大投资收益问题类似于投资分配问题，每个项目有不同的收益，需要在资金限制下最大化总收益，这属于典型的动态规划问题，如引用[4]所述。 用户可能需要两个独立的C语言解决方案，分别针对加油问题和投资问题。对于加油问题，之前的贪心算法已经给出，但可能需要进一步优化或验证。对于投资问题，需要设计一个动态规划算法，定义状态和递推关系，然后实现代码。 需要确保两个问题的解决方案都符合用户的要求，代码正确且高效。同时，用户可能希望了解算法的时间复杂度和空间复杂度，以及如何处理边界条件，比如无法到达目的地的情况或投资金额为零的情况。 还需要检查用户提供的引用内容是否对解决方案有直接影响。例如，动态规划是解决投资问题的合适方法，而贪心算法可能不适用于所有情况，但在加油问题中是正确的，因为它满足贪心选择性质。 最后，生成相关问题，帮助用户进一步理解这两个算法，比如如何优化动态规划的空间复杂度，或者如何处理浮点数精度问题，以及不同算法之间的比较。</think>基于您的需求，我将分别针对「最少加油次数」和「最大投资收益」两个算法问题，提供C语言实现方案及算法设计思路。结合站内引用内容，给出结构化实现： --- ### 一、最少加油次数问题（贪心算法） #### 1. 算法设计思路 **核心策略**：在每次油量耗尽前选择能到达的最远加油站加油，符合贪心算法的最优子结构性质[^1] **数学表达**： $$ \text{剩余油量} \geq \text{下一段路程长度} \quad \text{否则必须加油} $$ #### 2. C语言实现代码 ```c #include <stdio.h> int minRefuel(int n, int k, int distances[]) { int current_fuel = n; // 当前油量可行驶距离 int refuel_count = 0; int last_station = 0; for (int i = 0; i <= k; ++i) { if (distances[i] > n) return -1; // 无法直达某段路程 if (distances[i] > current_fuel) { refuel_count++; current_fuel = n; // 加满油 if (distances[i] > current_fuel) return -1; // 加油后仍无法到达 } current_fuel -= distances[i]; } return refuel_count; } int main() { int n, k; while (scanf("%d%d", &n, &k) != EOF) { int distances[k+1]; for (int i = 0; i <= k; ++i) { scanf("%d", &distances[i]); } int res = minRefuel(n, k, distances); printf(res == -1 ? "No Solution\n" : "%d\n", res); } return 0; } ``` #### 3. 复杂度分析 - 时间复杂度：$O(k)$ - 空间复杂度：$O(k)$ --- ### 二、最大投资收益问题（动态规划） #### 1. 问题描述 给定m元资金和n个项目，每个项目投资x元可获收益$profit[i][x]$，求最大总收益（引用[4]的动态规划参数定义） #### 2. 算法设计 **状态定义**： $$ dp[i][j] = \text{前i个项目投资j元的最大收益} $$ **递推方程**： $$ dp[i][j] = \max_{0 \leq x \leq j}(dp[i-1][j-x] + profit[i][x]) $$ #### 3. C语言实现代码 ```c #include <stdio.h> #include <string.h> #define MAX_PROJECTS 50 #define MAX_MONEY 1000 int maxInvestment(int m, int n, int profit[MAX_PROJECTS][MAX_MONEY]) { int dp[MAX_PROJECTS][MAX_MONEY]; memset(dp, 0, sizeof(dp)); // 初始化第一个项目 for (int j = 0; j <= m; ++j) { dp[0][j] = profit[0][j]; } // 动态规划递推 for (int i = 1; i < n; ++i) { for (int j = 0; j <= m; ++j) { int max_val = 0; for (int x = 0; x <= j; ++x) { int current = dp[i-1][j-x] + profit[i][x]; if (current > max_val) max_val = current; } dp[i][j] = max_val; } } return dp[n-1][m]; } int main() { int m = 5, n = 3; int profit[MAX_PROJECTS][MAX_MONEY] = { {0,2,4,6,9,11}, // 项目1的收益表 {0,3,5,7,9,12}, // 项目2 {0,1,4,8,10,13} // 项目3 }; printf("最大收益：%d\n", maxInvestment(m, n, profit)); return 0; } ``` #### 4. 优化方向 - **空间压缩**：使用滚动数组将空间复杂度从$O(nm)$降为$O(m)$ - **剪枝策略**：当收益函数满足单调性时可减少内层循环次数[^4] --- ### 三、关键差异对比 | 特征 | 加油问题 | 投资问题 | |-----------------|--------------------------|--------------------------| | 算法类型 | 贪心算法 | 动态规划 | | 时间复杂度 | $O(k)$ | $O(nm^2)$ | | 最优解保证 | 能获得全局最优解[^1] | 能获得精确最优解[^4] | | 适用场景 | 具有贪心选择性质的问题 | 多阶段决策问题 | --- ### 四、相关问题 1. **如何证明加油问题的贪心策略最优性？** *可用数学归纳法：假设前k步选择最优，第k+1步选择最远可达加油站仍保持最优[^1]* 2. **动态规划实现中如何处理浮点数投资金额？** *可将金额单位转换为分，使用整数运算避免精度问题* 3. **如果投资项目有风险概率，算法应如何改进？** *需引入期望收益计算，转化为随机动态规划问题[^4]* 4. **如何将分支界定法应用于投资问题？** *可定义收益上界进行剪枝，但需设计合适的上界函数[^2]* : 《算法导论》贪心算法章节 [^2]: 背包问题的分支界定法变体 [^4]: 投资问题动态规划建模方法