有一个无向图，共 N 个节点，编号 1 至 N，共 M 条边。FJ 在节点 1，它想到达节点 N。FJ 总是会选择最短路径到达节点 N。作为捣蛋的奶牛 Bessie，它想尽量延迟 FJ 到达节点 N 的时间，于是 Bessie 决定从 M 条边之中选择某一条边，使得改边的长度变成原来的两倍，由于智商的问题，Bessie 不知道选择加倍哪条边的长度才能使得 FJ 到达 N 号节点的时间最迟。注意：不管 Bessie 选择加倍哪条边的长度，FJ 总是会从 1 号节点开始走最短路径到达 N 号点。 输入描述 第一行，两个整数 N 和 M. 1 <=N<=250, 1<=M<=250000。 接下来有 M 行，每行三个整数：A，B，L，表示节点 A 和节点 B 之间有一条长度为 L 的无向边。1<=L<=1000000。
时间: 2024-03-19 11:42:46 浏览: 385
这是一道图论问题，可以使用 Dijkstra 算法求解。具体步骤如下：
1. 构建图的邻接表，存储每个节点的相邻节点和边的长度；
2. 使用 Dijkstra 算法找到节点 1 到节点 N 的最短路径，并记录下这条路径经过的边；
3. 枚举每条经过的边，将该边的长度翻倍，再重新使用 Dijkstra 算法求解节点 1 到节点 N 的最短路径；
4. 记录下每种方案下节点 1 到节点 N 的最短路径的长度；
5. 输出这些长度中的最大值。
具体实现可以参考下面的代码（其中用到了 C++ STL 中的优先队列）：
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题目描述 有一个无向图，共 N 个节点，编号 1 至 N，共 M 条边。FJ 在节点 1，它想到达节点 N。FJ 总是会选择最短路径到达节点 N。作为捣蛋的奶牛 Bessie，它想尽量延迟 FJ 到达节点 N 的时间，于是 Bessie 决定从 M 条边之中选择某一条边，使得改边的长度变成原来的两倍，由于智商的问题，Bessie 不知道选择加倍哪条边的长度才能使得 FJ 到达 N 号节点的时间最迟。注意：不管 Bessie 选择加倍哪条边的长度，FJ 总是会从 1 号节点开始走最短路径到达 N 号点。 输入描述 第一行，两个整数 N 和 M. 1 <=N<=250, 1<=M<=250000。 接下来有 M 行，每行三个整数：A，B，L，表示节点 A 和节点 B 之间有一条长度为 L 的无向边。1<=L<=1000000。 输出描述 一个整数。Bessie 选择了加倍某一条边的长度后，奶牛 FJ 从节点 1 到达节点 N 的最短路径是多少。但是输出的格式有变化，假设 Bessie 没有加倍某一条边的长度之前，FJ 从 1 号节点到达 N 号节点的最短路径是 X；在 Bessie 加倍某一条边的长度之后，FJ 从 1 号节点到达 N 号节点的最短路径是 Y，那么你输出的结果是 Y-X。的图算法
这道题可以使用 Dijkstra 算法求出 FJ 到达节点 N 的最短路径，然后枚举每一条边，将其长度加倍后再使用 Dijkstra 算法求出 FJ 到达节点 N 的最短路径，计算两次最短路径的差值，取最大值即可。具体实现可以参考下面的代码：
```python
import heapq
INF = float('inf')
def dijkstra(graph, start, end):
n = len(graph)
dist = [INF] * n
dist[start] = 0
visited = [False] * n
heap = [(0, start)]
while heap:
d, u = heapq.heappop(heap)
if visited[u]:
continue
visited[u] = True
if u == end:
return dist[end]
for v, w in graph[u]:
if not visited[v] and dist[u] + w < dist[v]:
dist[v] = dist[u] + w
heapq.heappush(heap, (dist[v], v))
return dist[end]
def main():
n, m = map(int, input().split())
graph = [[] for _ in range(n)]
edges = []
for _ in range(m):
a, b, l = map(int, input().split())
a -= 1
b -= 1
graph[a].append((b, l))
graph[b].append((a, l))
edges.append((a, b, l))
shortest_path = dijkstra(graph, 0, n - 1)
max_diff = 0
for a, b, l in edges:
diff = dijkstra(graph, 0, a) + 2 * l + dijkstra(graph, b, n - 1) - shortest_path
max_diff = max(max_diff, diff)
diff = dijkstra(graph, 0, b) + 2 * l + dijkstra(graph, a, n - 1) - shortest_path
max_diff = max(max_diff, diff)
print(max_diff)
if __name__ == '__main__':
main()
```
时间复杂度为 O(m(nlogn + m))，可以通过本题。
描述 FJ有N (1 ≤ N ≤ 10,000) 头奶牛，将其编号为1..N，这些奶牛站在一条线上。每头奶牛都有一个未知的正整数高度。你只知道最高的奶牛的高度H (1 ≤ H ≤ 1,000,000)以及该奶牛的位置I。 FJ列出了R (0 ≤ R ≤ 10,000) 行，格式为 "奶牛17能看到奶牛34"。这意味着奶牛34至少与奶牛17一样高，并且17和34之间的每头奶牛的高度都严格小于奶牛17和奶牛34的高度（简单来说，给出若干对关系(i,j)，表示(i,j)之间夹着的所有奶牛都比两个端点的奶牛的身高矮）。 对于1..N中的每头奶牛，确定它的最大可能高度，使得所有给定的信息仍然正确。保证可以满足所有约束条件。 输入输出格式 输入 第一行包含4个整数：N, I, H, R； 接下来R+1行，每行包含两个正整数A, B，代表奶牛A能看到奶牛B。 输出 输出N行，一行一个正整数，代表奶牛i的最大可能高度。 样例 输入数据 1 9 3 5 5 1 3 5 3 4 3 3 7 9 8 输出数据 1 5 4 5 3 4 4 5 5 5
<<
这是一个典型的图论和区间问题，可以通过差分数组加并查集的方式来解决。我们首先根据可视性信息构建一个有向无环图(DAG), 其中节点表示奶牛、边指示从一头可以看到另一头。
接下来我们将使用差分数组来追踪每个位置上可能的最大高度变化情况，具体步骤如下：
1. **初始化**：
- 创建一个大小为 `N + 2` 的差分数组 `diff`，用来记录每段区间的最大高度增量或减量。
- 将第 `I` 号奶牛设为其已知的最高值 `H`，即令 `height[I] = H`。
2. **处理可见性约束**：
- 对于每一个“能看到”的关系 `(a, b)` ，我们需要确保 a 和 b 中间的所有元素都要比两端小。
- 如果是单侧方向，则直接设置中间部分的高度限制；
- 若存在双向看见的情况（例如 A -> B 并且 B -> C），那么我们就需要合并这两个约束形成更复杂的区域。
3. **计算前缀和得到最终结果**：
- 使用前缀和算法将差分数组转换成实际的高度列表，这一步骤能让我们知道每一头牛的最大可行高度。
4. **特殊处理边界条件和其他细节调整**:
- 特殊考虑那些没有被任何其他奶牛建立联系的个体，默认它们也可以达到全局设定的最大高度 `H`.
下面是具体的C++实现代码:
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int MAX_N = 1e4+5;
int height[MAX_N], diff[MAX_N];
void update(int l, int r, int value) {
// 差分操作：[l,r]范围内的所有元素增加value
if(l > r || l >= MAX_N || r >= MAX_N) return;
diff[l] += value;
diff[r + 1] -= value;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
int n, iPos, maxHeight, relations;
cin >> n >> iPos >> maxHeight >> relations;
vector<pair<int,int>> queries(relations);
for(auto& q : queries){
cin >> q.first >> q.second;
}
fill(height, height+n+2, maxHeight);
height[iPos] = maxHeight;
for(const auto &q : queries){
int left = min(q.first, q.second), right = max(q.first, q.second);
--left; ++right;
update(left, right-1, -(maxHeight-height[left]));
}
// Compute prefix sum to get the actual heights.
for (int j=1;j<=n;++j){
diff[j]+=diff[j-1];
cout << min(maxHeight,max(diff[j]+height[0],height[j]))<<"\n";
}
return 0;
}
```
请注意上述解决方案可能存在一些简化假设，在某些情况下可能还需要进一步优化或修正才能完全符合题目要求。此外本题还涉及到如何有效率地更新多个区间的公共数值的问题，这里采用的是简单的线性扫描法进行求解。
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