分治法减治法的应用：现有一正整数数组A[N]，一正常数K，要求从A中寻找一段连续子数组，使得该子数组的和不小于K，同时使得子数组的长度最小。如果存在满足条件的子数组，输出子数组两端在A中从1开始的序号；若不存在，则输出-1，-1。（提示：充分利用数组内元素都是正数这一特点。）

<think>嗯，这个问题看起来是要在一个正整数数组里找一段连续的子数组，使得子数组的和不小于给定的K，并且长度要最小。然后输出两端的位置，如果没有的话就输出-1，-1。首先，我得仔细理解题目要求。 首先，数组里的元素都是正整数，这个条件很重要。因为都是正数，所以子数组的和会随着长度的增加而单调递增。那这样的话，可能可以用滑动窗口的方法来解决，因为一旦窗口内的和达到K，就可以尝试缩小窗口的左边界，看看能不能找到更小的长度。这可能比暴力法更高效，暴力法是O(n²)，而滑动窗口可以做到O(n)。不过题目提示里提到分治法或者减治法，可能需要考虑其他方法？ 不过先想滑动窗口的思路。因为数组元素都是正数，所以当右指针右移时，和会增加，而当和超过K时，左指针可以右移来尝试缩小窗口。这样可能找到最小的长度。比如，初始时左右指针都在0的位置，然后右指针不断右移，直到和>=K，记录此时的长度。然后左指针右移一位，同时减去左边的值，再次检查是否和仍然>=K，如果是的话，继续右移左指针，直到和小于K，然后右指针再继续右移。这样每次记录满足条件时的最小长度。这种方法时间复杂度是O(n)，应该不错。 比如举个例子，数组是[2,3,1,2,4,3]，K=7。那么滑动窗口的过程可能如下： 初始sum=0，left=0，right=0。sum=2，不够。右移到3，sum=5，还是不够。右移到1，sum=6，不够。右移到2，sum=8>=7，此时长度是4-0+1？或者索引的问题要注意。这里可能需要确认数组的索引是从1开始还是0开始，题目要求输出两端在A中从1开始的序号，所以应该假设数组的索引是1-based。例如，数组A[1], A[2],...,A[N]。 那假设数组索引是1-based的情况下，当窗口是A[1]到A[4]时，和为2+3+1+2=8>=7，此时长度是4。然后左指针右移，sum减2，得到6，不够，所以右指针继续右移，到4的位置，sum=6+4=10>=7，此时窗口是A[2]到A[5]，长度是4。继续左指针右移，sum减3，得到7，还是满足，此时长度是4-1=4？或者具体要看窗口的左右边界差。这时候左指针移动到3的位置，sum=1+2+4=7>=7，此时窗口长度是3（3到5），长度更小。然后继续左移，sum减1，得到6，不够，右指针右移，到6的位置，sum=6+3=9>=7，此时窗口是3到6，长度4。这样比较下来，最小长度是3，对应的位置是3到5，或者可能还有更小的？ 或者这个例子可能有更优解，比如子数组[4,3]和为7，长度2，起始位置5和6。那可能我刚才的滑动窗口没有考虑到这种情况。这说明可能滑动窗口的方法需要调整，或者我的思路有问题。 哦，这里的问题可能在于，当窗口的和超过K时，应该尽可能移动左指针，尽可能缩小窗口的长度。例如，当右指针到达某个位置时，左指针可能需要多次移动，直到无法再移动为止，这样每次右指针移动后，都尽可能缩小左指针的位置，从而记录当前右指针位置下的最小窗口长度。 例如，在刚才的例子中，当右指针到达第5个元素（4）时，此时窗口是A[2]到A[5]，和为3+1+2+4=10>=7。这时，左指针可以移动到3的位置，此时和为1+2+4=7，刚好满足，长度是3。之后右指针到第6个元素（3），和为7+3=10>=7。此时左指针可以继续移动到4的位置，sum=2+4+3=9>=7，长度3；然后左指针再移动到5的位置，sum=4+3=7>=7，长度2。这时候得到的长度是2，对应的位置是5和6。这说明滑动窗口需要更仔细地处理每次右指针移动后，尽可能移动左指针到最远的位置，这样就能找到更小的窗口。 这说明滑动窗口方法确实可行，但需要正确实现。那可能这个问题的最优解是滑动窗口法，时间复杂度为O(n)，而分治或减治法可能是否适用？ 那题目提示中提到分治法或减治法，可能需要考虑其他方法。但分治法可能的时间复杂度是O(n log n)，比如类似求解最大子数组和的问题中的分治法。不过在这种情况下，滑动窗口已经可以达到O(n)，可能更优。但题目要求用分治或者减治的话，可能需要另外的方法。 不过，可能用户的问题只是需要找到解决方案，而不一定严格按照分治或减治法。那可能给出滑动窗口的解法更实际，并且题目中的提示可能只是提示，不一定必须使用分治或减治。比如，可能问题的提示是让利用数组元素都是正数的特点，而滑动窗口正是利用这个特点的有效方法。 那接下来要思考如何正确实现滑动窗口法。步骤如下： 初始化左指针left=0（假设数组是0-based），当前和sum=0，最小长度min_len设为无穷大，结果的起始和结束索引为-1，-1。 遍历数组，右指针从0开始，逐步右移。每次将当前元素加到sum中。然后，当sum >= K时，尝试移动左指针尽可能多的位置，同时保持sum >= K。每次移动左指针时，减去对应的元素。每次满足sum >= K时，计算当前窗口的长度（right - left + 1），并比较是否更小，更新min_len以及结果的起始和结束索引。 需要注意的是，数组的索引是从1开始的，所以在存储结果的时候需要将left和right转换为1-based的索引。 例如，当left是0-based的索引i，right是j的话，对应的起始位置是i+1，结束位置是j+1。 举个例子，数组A = [2,3,1,2,4,3], K=7： 初始化left=0, sum=0, min_len=inf，result=(-1,-1) 右指针依次移动到各个位置： 右指针0（元素2），sum=2 <7 → 继续。 右指针1（元素3），sum=5 <7 → 继续。 右指针2（元素1），sum=6 <7 → 继续。 右指针3（元素2），sum=8 >=7。此时进入内部循环，移动左指针： sum >=7，当前窗口长度是3-0 +1=4。记录min_len=4，结果(1,4)。然后减去A[left]=2，sum=6，left=1。此时sum=6 <7 → 停止移动左指针。 右指针4（元素4），sum=6+4=10 >=7。进入内部循环： sum=10 >=7，此时窗口是1到4，长度4-1+1=4，当前min_len是4，还是4，所以不更新。尝试移动左指针： 减去A[1]=3 → sum=7 >=7。窗口长度4-2+1=3，所以min_len=3，结果(3,5)（因为left现在是2，对应3，right是4，对应5）。继续移动左指针： 减去A[2]=1 → sum=6 <7 → 停止。left=3. 此时sum=6+4=10？ 或者可能我在这里的步骤有错误。可能我应该更仔细地重新计算： 当右指针移动到4（索引4，元素4）时，sum此时是之前的sum=6（left=1到3的和是3+1+2=6，对吗？或者可能我之前的步骤有错误？ 或者，可能我的初始流程描述有问题。让我再仔细理一遍： 在滑动窗口的正确实现中，每次右指针移动一位，将当前元素加到sum中。然后，只要sum >= K，就尝试尽可能左移left，同时sum减去A[left]，直到sum < K。每次移动left之前，都要检查当前窗口是否满足条件，并记录最小长度。 比如，当right=3（元素2）时，sum=2+3+1+2=8 >=7。此时进入内部循环： 此时窗口是0到3（即元素1到4的索引，转换为1-based则是1到4），长度4。记录min_len=4，结果1-4。然后，sum减去A[left]=A[0]=2 → sum=6，left=1。此时sum=6 <7，退出循环。此时right指针继续移动到4，sum +=4 → sum=6+4=10 >=7。进入内部循环： 此时sum=10 >=7，窗口是left=1到right=4（元素2到5的索引1-based）。长度是4-1+1=4。当前min_len是4，所以是否更小？是的，因为之前是4，现在也是4，所以无需更新。然后尝试移动left： sum减去A[1]=3 → sum=7 >=7。此时left=2，窗口是2到4（元素3到5），长度3。此时记录min_len=3，结果3-5。继续尝试移动left： sum减去A[2]=1 → sum=6 <7 → 退出循环。此时sum=6，left=3。然后right移动到5，sum +=3 → sum=9 >=7。进入循环： 此时窗口是3到5（元素4到6？或者索引的问题需要再次确认。原数组是0-based的right=5对应元素3，所以此时窗口是left=3到right=5（元素4，3）。sum=6+3=9 >=7。现在需要移动left： 当前窗口长度5-3+1=3。比较当前min_len是3，所以不更新。尝试移动left： sum减去A[3]=2 → sum=7 >=7 → left=4，窗口长度5-4+1=2。此时min_len更新为2，结果5-6（因为left=4对应1-based的5，right=5对应6）。继续移动left： sum减去A[4]=4 → sum=3 <7 → 退出循环。此时sum=3，left=5。此时right=5，无法再移动。 这样，最终得到的最小长度是2，对应位置5和6。所以结果应为5,6。 这说明滑动窗口的正确实现可以找到最优解。因此，正确的解法应该是滑动窗口，时间复杂度O(n)，空间O(1)。 但题目中的提示提到了分治或减治法，可能用户希望得到这样的解法？或者可能用户只是需要正确的解法，不管方法类型？ 但根据问题描述，用户的问题明确提到“分治法减治法的应用”，所以可能需要给出分治法或者减治法的思路。但这时候可能需要思考，如何用分治法解决这个问题。 分治法一般将问题分成几个子问题，然后合并结果。例如，在最大子数组和的问题中，分治法的思路是将数组分成左右两部分，然后最大子数组和可能出现在左半部分、右半部分，或者跨越中间点。然后递归求解，合并结果。 但是当前的问题是要找长度最小的子数组，其和>=K。是否可以用分治法？ 假设将数组分成左右两半，那么最小的子数组可能在左半部分、右半部分，或者跨越中间的部分。合并的时候需要考虑这三者中的最小值。 对于跨越中间的部分，我们需要找到以中间为起点向左右扩展的子数组。但如何高效地找到这样的子数组？ 例如，中间位置是mid。需要找到左边的某个位置i到右边的某个位置j，使得i在左半部分，j在右半部分，并且sum(A[i..j])>=K，同时长度j-i+1尽可能小。 但是由于数组元素都是正数，当计算中间区域的子数组时，可以尝试从中间向左找，使得sum尽可能大，同时尽可能短的左边，而右边同理。然后组合左右的可能解。 但这样的方法可能比较复杂，而且合并步骤的时间复杂度可能为O(n)，因此总的时间复杂度是O(n log n)，这比滑动窗口的O(n)要差。所以在这种情况下，滑动窗口法更优。 可能题目中的提示是引导用户想到滑动窗口法，而用户提到的分治或减治可能是一个误导，或者需要进一步澄清。 不过，根据用户的问题，题目明确要求“分治法减治法的应用”，所以可能需要给出分治法的解法。或者，可能用户的问题中的提示只是提示，而实际解法可以是其他方法。此时需要仔细看问题描述。 原问题的提示说：“提示：充分利用数组内元素都是正数这一特点。” 这可能暗示使用滑动窗口，因为正数的特性允许窗口的和单调增加，因此滑动窗口有效。而分治法可能并不直接利用这一特点，除非在合并步骤中使用这个特性。 综上，可能正确的解法是滑动窗口法，而分治法可能不是最优解。所以可能需要解释滑动窗口法，同时说明这是最优解法，而分治法可能较慢。 但根据用户的问题，可能需要给出分治法的应用。那么需要思考如何用分治法解决这个问题。 分治法的大致步骤： 1. 分解：将数组分成左右两半。 2. 解决：递归求解左半部分和右半部分的最小长度子数组。 3. 合并：考虑跨越中间点的子数组是否存在更小的解。 在合并步骤中，需要找到跨越中间点的子数组，其和>=K，并且长度尽可能小。如何高效地找到这样的子数组？ 由于数组元素都是正数，当寻找跨越中间的子数组时，可以从中间点向左扩展，计算到中间点的各个左端点的前缀和，然后同样从中间点+1向右扩展，计算到中间点的各个右端点的后缀和。然后，对于每个左端点i（在左半部分），寻找最小的右端点j（在右半部分），使得sum(A[i..mid] + A[mid+1..j]) >= K。由于所有元素都是正数，sum随着j的增加而递增，因此对于每个i，可以找到最小的j，使得总和>=K，这样对应的窗口长度是j -i +1。然后在这些窗口中找到最小的长度。 例如，假设中间点是m。左半部分是A[1..m]，右半是A[m+1..n]。对于跨越中间的解，需要找到i <=m，j >=m+1，使得sum(A[i..j]) >=K，并且j-i+1最小。 为了高效计算，可以预先计算左半部分的前缀和数组，从m到左边每个i的和，例如left_sums[i] = sum(A[i..m])。同理，计算右半部分的后缀和数组，right_sums[j] = sum(A[m+1..j])。 因为元素都是正数，left_sums是随着i的减小而增加的（因为i更小，覆盖更多的左边元素）。同理，right_sums是随着j的增大而增加的。 对于每个i从m downto 1，我们计算left_sums[i]，然后我们需要找到一个最小的j >=m+1，使得left_sums[i] + right_sums[j] >= K。由于right_sums是递增的，可以使用二分查找来找到最小的j。 例如，对于每个i，计算需要的最小right_sum = K - left_sums[i]。如果这个值 <=0，那么只需要j=m+1即可，因为right_sums的最小值是A[m+1] >=0，但由于left_sums[i] >= K的话，那么此时j可以取m+1，但需要确保总和>=K。或者可能i到m的和已经>=K，这时候j可以是m，这样窗口是i到m，这属于左半部分，可能已经被递归处理了？ 这里可能需要更仔细的分析。 假设我们处理跨越中间的情况，那么对于每个i在左半部分，我们计算sum_left = sum(A[i..m])。然后需要找到最小的j在右半部分，使得sum_left + sum(A[m+1..j]) >= K。因为sum(A[m+1..j])是递增的（元素都是正数），所以对于每个i，可以计算所需的最小sum_right >= (K - sum_left)。然后使用二分查找在右半部分的prefix sum数组中找到最小的j，使得sum_right >= (K - sum_left)。一旦找到这样的j，那么窗口长度是 (m -i +1) + (j - (m+1) +1 )= j -i +1. 例如，假设右半部分的prefix sums是从m+1到j的和，可以预先计算一个数组right_prefix，其中right_prefix[k] = sum(A[m+1..k])。然后对于每个i，我们需要的sum_right >= (K - sum_left_i)，那么找到最小的k >=m+1，使得 right_prefix[k] >= (K - sum_left_i)。此时窗口是i到k，长度为k -i +1. 然后，对于所有i，我们找到对应的k，计算窗口长度，取最小的那个。 同样，反过来，可以预先计算左半部分的前缀和数组和右半部分的前缀和数组，然后对每个i在左半部分，进行二分查找。这样合并步骤的时间复杂度是O(n log n)，而分治的总时间复杂度为O(n log n)，因为每层是O(n log n)，总共有O(log n)层，所以总时间复杂度是O(n (log n)^2)。或者可能合并步骤是O(n)的时间，因为对于每个i，二分查找是O(log n)时间，而i的数量是O(n)，所以总的是O(n log n)，导致分治法的时间复杂度为O(n log n) * log n）= O(n (log n)^2)。这可能比滑动窗口的O(n)差。 因此，分治法可能不是最优解，而滑动窗口更优。因此，正确的方法是滑动窗口法，而题目中的提示可能只是要利用正数特性，而不是必须用分治或减治。 综上，正确的解法应该是滑动窗口法，时间复杂度O(n)，空间O(1)。那接下来需要给出具体的步骤和代码实现。 具体步骤： 1. 初始化左指针left=0，当前和sum=0，最小长度min_length设为无穷大，结果result=(-1,-1)。 2. 遍历右指针从0到n-1： a. 将A[right]加到sum中。 b. 当sum >= K时，进入内部循环，尝试左移left以缩小窗口： i. 记录当前窗口的长度right-left+1，如果比min_length小，则更新min_length和result为(left+1, right+1)（因为数组是1-based）。 ii. 减去A[left]的值，并将left右移一位。 iii. 重复直到sum < K。 3. 遍历结束后，如果min_length仍然是无穷大，则返回(-1,-1)，否则返回result。 需要注意的是，当sum >=K时，可能存在多个左指针的位置，因此在每次右指针移动后，需要尽可能移动左指针到最远的位置，以保证找到最小的窗口。 例如，当右指针移动后sum >=K，此时不断将左指针右移，直到sum <K。每次移动左指针前，检查当前窗口是否满足条件，并更新min_length。 但这样可能会漏掉某些情况吗？比如，当左指针移动时，可能中间有多个满足条件的窗口，每次都要检查。 例如，当sum >=K时，每次左指针右移前，都计算当前窗口的长度，并比较是否更小。 举个例子，当sum >=K时，窗口是left到right，此时长度为right-left+1。然后左指针右移一位，sum减去A[left]，left变为left+1，此时sum可能仍然>=K，因此需要继续检查，直到sum <K。 所以，在内部循环中，每次sum >=K时，计算当前窗口的长度，并尝试更新min_length，然后移动左指针。 这样的过程可以保证每次找到以当前right为结尾的最短满足条件的窗口，从而整体得到最短的窗口。 现在，需要验证这个算法是否能正确找到所有可能的解。 比如，之前的例子中，当right=5（元素3）时，sum=9，left=3。此时窗口是3到5（0-based），对应1-based是4到6。sum=9 >=7。此时进入循环： 计算窗口长度3（5-3+1=3）。如果此时的min_length之前是2（比如在更早的步骤中得到的），可能不会更新。否则，假设之前没有更小的，此时会更新min_length为3。然后减去A[3]=2，sum=7 >=7。left右移到4。此时窗口长度是5-4+1=2。这更小，所以更新min_length为2，result为5和6（4+1和5+1）。然后sum=7，再次进入循环，减去A[4]=4，sum=3 <7，退出循环。 这说明算法能正确找到最小窗口。 因此，正确的实现步骤如上所述。 现在，针对这个算法，编写伪代码或者具体步骤： 初始化left=0, sum=0, min_len=inf, result=(-1,-1) for right in 0..n-1: sum += A[right] while sum >= K: current_length = right - left +1 if current_length < min_len: min_len = current_length result = (left+1, right+1) sum -= A[left] left +=1 循环结束后，如果min_len仍是inf，返回-1,-1，否则返回result. 但是，这个时候需要注意，当sum >=K时，可能移动左指针多次，每次移动后都可能得到一个更小的窗口。例如，当right固定时，left不断右移，直到sum <K。每次移动前，都检查当前的窗口是否有效，并记录可能的更优解。 但这里有一个疑问：当右指针移动到一个位置，导致sum >=K，此时左指针移动，可能得到更小的窗口长度。但是，在移动左指针的过程中，可能之前已经存在更小的窗口长度。例如，当右指针到达某个位置后，可能左指针移动到某个位置，得到一个更短的窗口，但该窗口的右边界可能比之前的更短窗口的右边界更靠右，从而导致更小的长度。 例如，假设数组是[1,2,3,4,5], K=10。当右指针到3（元素4）时，sum=1+2+3+4=10 >=10，此时窗口长度4。然后左指针移动到1，sum=2+3+4=9 <10。此时，右指针继续移动到4（元素5），sum=9+5=14 >=10。此时窗口长度是4（从1到4，长度4）。然后左指针移动到2，sum=3+4+5=12 >=10，窗口长度3。再移动到3，sum=4+5=9 <10。此时记录的长度是3。而正确的最优解应该是子数组[4,5,1]？或者原数组是[1,2,3,4,5]，K=10，最优解是[1,2,3,4]（长度4）或 [2,3,4,5]（sum 14，长度4）或者 [5,4]（sum 9，不够）。哦，原例子中数组元素都是正数，所以该例中最优解应该是[4,5]，和为9+5=14？或者原数组的元素是1,2,3,4,5，所以总和为15，而需要sum >=10。最短的窗口应该是[5,4]，也就是长度2？或者原数组中[4,5]的和是9，不够。哦，原例子中的数组元素总和可能不够，或者我可能举了一个错误的例子。 假设数组是[1,2,3,4,5], K=10。那么正确的最小长度子数组是[4,5,1]？但数组是连续的，所以实际只能是连续的子数组。例如，正确的解是[2,3,4,5]（sum 14，长度4），或者 [3,4,5]（sum 12，长度3），或者 [5,4]？哦，抱歉，数组元素是连续的，所以[5]的和是5不够，[4,5]是9不够，[3,4,5]是12，长度3。或者原例子中的数组可能不够大。可能我需要另一个例子。 比如数组是[1,2,3,4,5], K=12。则正确解是[3,4,5]，和为12，长度3。滑动窗口的执行步骤： left=0, sum=0, right依次到各个位置： right=0，sum=1 <12. right=1，sum=3 <12. right=2，sum=6 <12. right=3，sum=10 <12. right=4，sum=15 >=12. 进入循环： current_length=4-0+1=5. 如果min_len是inf，更新为5，result=(1,5). sum -=1 → sum=14. left=1. 此时sum >=12，current_length=4-1+1=4 → 更新min_len=4，result=(2,5). sum -=2 → sum=12. left=2. current_length=3 → 更新min_len=3，result=(3,5). sum -=3 → sum=9 <12. 退出循环. 此时min_len是3，结果正确。 这说明算法正确。 综上，滑动窗口算法是正确的。 因此，正确的解法是滑动窗口法，时间复杂度O(n)，空间O(1)。 现在，回到问题要求，用户希望得到分治或减治法的应用，但实际最优解是滑动窗口。因此，可能需要说明两种方法，但重点在滑动窗口。 但问题中的提示可能希望引导用户想到滑动窗口，因为利用了正数的特性。所以最终回答应该以滑动窗口法为主，并说明其正确性和复杂度，可能不需要分治法，因为分治法的时间复杂度更高。 所以，在回答用户的问题时，应当介绍滑动窗口法，并说明如何实现，同时解释为什么它利用了数组元素都是正数的特性，从而高效地找到解。</think>### 问题分析 我们需要在一个正整数数组 `A[N]` 中找到一个**连续子数组**，使得子数组的和不小于给定常数 `K`，且子数组的长度最小。若存在多个解，输出任意一个满足条件的子数组的起始和结束序号（1-based）；若不存在，则输出 `(-1, -1)`。 --- ### 关键思路：滑动窗口法（双指针法） **利用数组元素全为正数的性质**： 由于所有元素均为正数，当子数组的和增加到某一阈值时，继续扩展子数组的长度会导致和单调递增。因此，可以用滑动窗口动态调整左右边界，高效寻找最短满足条件的子数组。 **算法步骤**： 1. **初始化**：左指针 `left = 0`，当前和 `sum = 0`，最小长度 `min_len = +∞`，结果 `(-1, -1)`。 2. **遍历右指针**：将右指针 `right` 从 `0` 逐步移动到 `N-1`，每次将 `A[right]` 加入 `sum`。 3. **收缩左边界**：若 `sum ≥ K`，尝试右移左指针 `left` 以缩小窗口长度： - 计算当前窗口长度 `right - left + 1`，若更小则更新结果。 - 从 `sum` 中减去 `A[left]`，并右移 `left`，直到 `sum < K`。 4. **返回结果**：若 `min_len` 未被更新，返回 `(-1, -1)`，否则返回记录的起始和结束序号。 --- ### 正确性证明 1. **单调性**：由于元素全为正数，当右指针右移时，和必然增加；左指针右移时，和必然减少。 2. **最小长度保证**：每次右指针移动后，尽可能收缩左边界，确保以当前右指针为终点的最短窗口被记录。 --- ### 复杂度分析 - **时间复杂度**：`O(N)`，左右指针各遍历数组一次。 - **空间复杂度**：`O(1)`，仅需常数空间存储指针和变量。 --- ### 示例演示 **输入**：`A = [2, 3, 1, 2, 4, 3]`，`K = 7` **执行步骤**： 1. `right=3` 时，`sum=8`，窗口为 `[2,3,1,2]`，长度 `4`。 2. 收缩左边界至 `left=2`，窗口变为 `[1,2,4]`，和 `7`，长度 `3`。 3. `right=5` 时，`sum=10`，最终收缩至 `left=4`，窗口为 `[4,3]`，和 `7`，长度 `2`。 **输出**：`(5, 6)`。 --- ### 代码实现 ```python def find_min_subarray(A, K): n = len(A) left = 0 current_sum = 0 min_length = float('inf') result = (-1, -1) for right in range(n): current_sum += A[right] while current_sum >= K: current_length = right - left + 1 if current_length < min_length: min_length = current_length result = (left + 1, right + 1) # 转换为1-based序号 current_sum -= A[left] left += 1 return result if min_length != float('inf') else (-1, -1) ``` --- ### 分治法（补充说明） 虽然滑动窗口是最优解，分治法亦可实现（时间复杂度 `O(N log N)`）： 1. **分治框架**：将数组分为左右两半，递归求解左右部分的最小窗口。 2. **合并阶段**：检查跨越中间点的子数组，利用前缀和与二分查找优化合并过程。 3. **适用场景**：当问题不限制连续子数组时，分治法可能更灵活，但本题滑动窗口更高效。 --- ### 总结 滑动窗口法充分利用了数组元素全为正数的特性，通过动态调整窗口边界，在线性时间内找到最优解，是本题的最佳选择。