快速幂原理

### 快速幂算法的原理及实现 快速幂是一种高效的算法，用于计算 $ a^b \mod c $ 的值。其核心思想是利用二进制分解指数并减少不必要的重复计算。 #### 原理说明 快速幂的核心在于将指数 $ b $ 表示为其二进制形式，并基于此逐步平方底数 $ a $ 来完成幂运算[^1]。 假设我们需要计算 $ 7^{13} \mod 10 $，按照传统方法需要执行 13 次乘法操作；而通过快速幂，则可以将其转化为更少的操作次数： $$ 13_{(10)} = 1101_{(2)} $$ 这意味着我们可以把 $ 7^{13} $ 转化为如下表达式： $$ 7^{13} = (7^8) \times (7^4) \times (7^1) $$ 每次只需对当前结果进行平方即可得到更高次方的结果，从而显著降低时间复杂度至 $ O(\log_2{b}) $[^1]。 #### 实现方式 以下是 Python 和 C++ 中分别实现快速幂的例子： ##### Python 版本 ```python def fast_pow(a, b, mod): result = 1 base = a % mod while b > 0: if b & 1: # 如果当前位为1 result = (result * base) % mod base = (base ** 2) % mod # 平方基数 b >>= 1 # 移除最低有效位 return result ``` ##### C++ 版本 ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; long long fastPow(long long a, long long b, long long mod){ long long res = 1; a %= mod; while(b > 0){ if(b & 1){ // 当前位是否为1 res = (__int128(res)*a) % mod; } a = ((__int128)a*a) % mod; // 平方基数 b >>= 1; // 右移一位 } return res; } ``` 上述代码展示了如何高效地计算模意义下的幂运算。其中 `__int128` 是为了防止中间结果溢出，在某些编译器下可能不支持该类型，可以根据实际需求调整数据结构[^2]。 #### 计算实例 以 $ 3^{11} \mod 7 $ 为例，具体步骤如下： - 初始状态：$ result = 1 $, $ base = 3 $ - 将 $ 11 $ 转换为二进制表示 $ 1011_{(2)} $ | 步骤 | $ b $ （十进制） | 是否奇数 ($ b\&1 $) | 更新后的 $ result $ | 新的 $ base $ | |------|------------------|--------------------|---------------------|---------------| | 1 | 11 | Yes | $ 1\times3=3 $ | $ 9 $ | | 2 | 5 | Yes | $ 3\times9=27 (\text{取余}=6)$ | $ 2 $ | | 3 | 2 | No | 不变 | $ 4 $ | | 4 | 1 | Yes | $ 6\times4=24 (\text{取余}=3)$ | 结束 | 最终得出 $ 3^{11}\equiv3\pmod{7} $[^3]。 相关问题