用MATLAB编程用两种方法建立G（s）=（4s+6）/(3s²+5s+2）的传递函数模型并求其单位负反馈传递函数和该闭环系统的阶跃响应

<think>嗯，我现在要解决的问题是用MATLAB编程，通过两种方法建立传递函数G(s) = (4s + 6)/(3s² + 5s + 2)的模型，然后求它的单位负反馈传递函数，最后求出闭环系统的阶跃响应。让我仔细想想该怎么一步步来。 首先，传递函数的建立。我记得在MATLAB中，通常可以用tf函数来创建传递函数模型。传递函数的分子和分母系数需要以向量的形式输入，按照s的降幂排列。这里G(s)的分子是4s +6，也就是4s^1 +6s^0，所以分子系数应该是[4, 6]。分母是3s² +5s +2，对应的是3s^2 +5s^1 +2s^0，分母系数是[3,5,2]。所以第一种方法应该是直接用tf函数，把分子和分母系数输进去，对吧？ 那第二种方法是什么呢？可能的话，可能用zpk函数？也就是零极点增益模型？不过题目里说用两种方法建立传递函数模型，那可能不一定是不同的表示方法，而是不同的创建方式。比如，一种是用分子分母多项式直接创建，另一种可能是通过构造零极点的形式，或者分式分解的方式？或者可能用符号表达式？ 或者，可能第一种方法是直接输入系数，第二种方法可能使用conv函数来构建多项式？不过这里的分母已经是二次多项式，不需要用conv来相乘，比如如果有多个因式的话可能需要，比如比如（s+1）(s+2)的话可以用conv([1 1], [1 2])。但这里分母是3s² +5s +2，可能需要因式分解吗？ 不过原题可能两种方法指的是不同的MATLAB函数或不同的输入方式。比如，一种是用分子分母向量直接输入，另一种可能是用s=tf('s')然后直接构造传递函数表达式。例如，先定义s为tf的变量，然后直接写G = (4*s +6)/(3*s^2 +5*s +2)。这样的话，两种方法分别是直接系数输入法和符号表达式输入法。这应该是两种不同的方法。 那好的，这两种方法都需要在MATLAB中实现。然后接下来是求单位负反馈的传递函数。单位负反馈的话，反馈的传递函数H(s)=1，反馈连接方式为负反馈。闭环传递函数的公式是G_closed = G/(1 + G*H)，因为H是1，所以就是G/(1 + G)。或者也可以用feedback函数，在MATLAB中用feedback(G, H)，这里H=1，且反馈是负的，所以应该是feedback(G, 1)。对吗？ 然后，闭环系统的阶跃响应，可以用step函数，输入step(G_closed)，然后可能绘制图像或者获取数据。题目可能只需要绘制阶跃响应的图像。 那现在我要把这些步骤用MATLAB代码写出来。两种方法建立传递函数模型，然后分别求反馈传递函数和阶跃响应吗？或者是否两种方法建立的模型得到的闭环系统是一样的，所以只需要用其中一种模型计算闭环响应？ 不过不管怎样，我需要先写出两种建立G(s)的方法，然后求其单位负反馈闭环传递函数，并求阶跃响应。 好的，接下来分步骤思考： 1. 方法一：使用tf函数直接输入分子分母系数。 - 分子num = [4 6] - 分母den = [3 5 2] - G1 = tf(num, den) 2. 方法二：使用s = tf('s') 定义拉普拉斯变量，然后构建传递函数表达式。 - s = tf('s'); - G2 = (4*s +6)/(3*s^2 +5*s +2) 这两种方法得到的是同一个传递函数模型，但构建方式不同，因此是两种方法。 接下来，求单位负反馈的闭环传递函数。无论用G1还是G2，结果应该是一样的。所以可以用feedback函数，即G_closed = feedback(G1, 1) 或者 feedback(G2, 1)。因为feedback默认是负反馈，所以这样就能得到闭环传递函数。 接下来，求该闭环系统的阶跃响应。可以用step函数，step(G_closed)，然后绘制图像。 那现在把这些步骤写成代码的话，应该大致如下： 方法一： num = [4 6]; den = [3 5 2]; G1 = tf(num, den); 方法二： s = tf('s'); G2 = (4*s + 6)/(3*s^2 +5*s +2); 然后闭环传递函数： G_closed1 = feedback(G1, 1); % 或者G_closed2 = feedback(G2, 1); 应该结果相同 阶跃响应： step(G_closed1); title('Step Response of Closed-Loop System'); 或者可能需要同时展示两种方法建立的闭环系统的阶跃响应，但其实它们应该完全相同，所以用任意一种都可以。 不过题目可能要求用两种方法建立G(s)，所以可能在代码中需要两种方法都写出来，但闭环传递函数只需要计算一次，因为两种方法得到的G是相同的。不过为了完整性，可能两种方法都计算闭环系统，然后比较？ 不过可能题目只是要求建立G的两种方法，然后求闭环传递函数，不管用哪种方法得到的G，得到的闭环系统都是相同的。所以可能只需要用其中一种方法继续下去。 不过可能需要确保两种方法是否正确，所以可以检查一下两种G是否相同。 例如，在MATLAB中，用G1和G2是否相等，可以用isequal(G1,G2)来检查，不过可能由于不同的表示方法，可能会有不同的对象属性，但实际上传递函数是否一致？ 不管怎样，根据题目要求，需要用两种方法建立G(s)模型，然后求闭环传递函数和阶跃响应。接下来，我需要把这些步骤整合到一个MATLAB脚本中，并确保正确。 可能的代码如下： % 方法1：使用分子分母系数 num = [4 6]; den = [3 5 2]; G1 = tf(num, den); % 方法2：使用s = tf('s') 创建传递函数 s = tf('s'); G2 = (4*s + 6) / (3*s^2 + 5*s + 2); % 验证两种方法是否得到相同的传递函数 % 如果不同，可能需要检查系数是否正确，但这里应该相同 % 计算单位负反馈闭环传递函数 G_closed = feedback(G1, 1); % 使用G1或G2都可以 % 计算阶跃响应 step(G_closed); grid on; title('Unit Negative Feedback Closed-Loop Step Response'); xlabel('Time'); ylabel('Amplitude'); % 另外，可以显示闭环传递函数的表达式 disp('Closed-loop transfer function:'); G_closed 或者可能用户想要两种方法分别求闭环传递函数，并比较结果是否一致？ 不过根据题目，可能只需要用其中一种方法即可，因为两种方法建立的G(s)是相同的，所以闭环传递函数也应该相同。不过题目可能需要展示两种方法建立G(s)，然后无论哪种方法都可以继续后面的步骤。 不过可能问题中两种方法都是建立开环传递函数，然后接下来的步骤是共同的，所以代码可以合并。 现在，我需要检查是否建立正确。例如，原式G(s)= (4s+6)/(3s² +5s +2)。用方法1的话，分子是[4 6]，分母是[3 5 2]，对吗？ 是的。那用tf([4 6],[3 5 2])是否正确？是的。方法二中的表达式是否正确？是的，当s被定义为tf对象后，表达式应该正确。 然后闭环传递函数的计算是否正确？当使用单位负反馈时，闭环传递函数是G/(1 + G)，而feedback(G,1)确实会得到这个结果。 那阶跃响应是否正确？是的，step函数会计算闭环系统的阶跃响应。 所以整个过程的代码应该没有问题。现在需要把这些步骤整理成答案，同时可能需要解释两种方法的不同之处，以及闭环传递函数的计算过程，阶跃响应的结果如何。 另外，题目可能需要给出闭环传递函数的具体表达式，而不仅仅是MATLAB代码。例如，闭环传递函数的数学表达式是什么？ 首先，原系统G(s) = (4s+6)/(3s² +5s +2)。单位负反馈闭环传递函数是G_closed(s) = G(s)/(1 + G(s))。所以代入进去： G_closed(s) = [ (4s+6)/(3s²+5s+2) ] / [1 + (4s+6)/(3s²+5s+2) ] 化简分母： 1 + (4s+6)/(3s²+5s+2) = [ (3s² +5s +2) + 4s +6 ] / (3s²+5s+2 ) = (3s² +5s +2 +4s +6)/(3s²+5s+2) = (3s² +9s +8)/(3s²+5s+2) 所以闭环传递函数： G_closed(s) = (4s+6)/(3s²+5s+2) ÷ (3s²+9s+8)/(3s²+5s+2) ) = (4s+6)/(3s²+9s+8 ) 所以数学表达式是(4s +6)/(3s² +9s +8 ) 在MATLAB中，用feedback函数得到的应该就是这个结果。用户可能需要确认这个是否正确。 接下来，闭环系统的阶跃响应，即输入是单位阶跃信号时，输出随时间的变化情况。MATLAB中的step函数将模拟这一响应，并绘制曲线。根据传递函数分母的特征方程3s² +9s +8=0，根的实部为负数，因此系统应该是稳定的，阶跃响应应该趋于一个稳态值。 稳态值可以通过终值定理求得，即lim_{s→0} s * G_closed(s) * (1/s) ) = G_closed(0) = (4*0 +6)/(3*0 +9*0 +8) =6/8= 0.75。所以阶跃响应的稳态值应该是0.75。 在MATLAB绘制的阶跃响应曲线中，应该可以看到曲线最后趋向于0.75左右。 现在检查是否正确： 闭环传递函数的分子是[4 6]，分母是[3 9 8]。在MATLAB中，使用feedback函数是否得到这个结果？ 是的，当使用feedback(G,1)，其中G是(4s+6)/(3s²+5s+2)，那么闭环传递函数的分母是1 + G，即(3s²+5s+2 +4s+6) =3s²+9s+8，分子是G的分子即4s+6，因此闭环传递函数应为(4s+6)/(3s²+9s+8)，这与手动计算的结果一致。 好的，所以整个推导过程是正确的。现在需要把所有的这些内容整理成答案，包括两种建立传递函数的方法，闭环传递函数的表达式，以及阶跃响应的结果和图像。</think>要建立传递函数 \( G(s) = \frac{4s+6}{3s^2 +5s +2} \) 的模型并分析其单位负反馈闭环系统的阶跃响应，可以按照以下步骤进行： ### **方法一：直接使用分子分母系数** 1. **定义传递函数**： ```matlab num = [4 6]; % 分子多项式系数：4s + 6 den = [3 5 2]; % 分母多项式系数：3s² +5s +2 G1 = tf(num, den); % 创建传递函数模型 ``` ### **方法二：使用符号表达式** 1. **定义拉普拉斯变量**： ```matlab s = tf('s'); % 定义拉普拉斯变量s G2 = (4*s + 6) / (3*s^2 + 5*s + 2); % 直接构建传递函数 ``` ### **单位负反馈闭环传递函数** 闭环传递函数公式为 \( G_{\text{closed}}(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)} \)，在MATLAB中使用 `feedback` 函数： ```matlab G_closed = feedback(G1, 1); % 单位负反馈闭环传递函数 % 或 G_closed = feedback(G2, 1); ``` **闭环传递函数表达式**： \[ G_{\text{closed}}(s) = \frac{4s + 6}{3s^2 + 9s + 8} \] ### **闭环系统的阶跃响应** 使用 `step` 函数绘制阶跃响应曲线： ```matlab step(G_closed); grid on; title('闭环系统阶跃响应'); xlabel('时间'); ylabel('幅值'); ``` ### **结果分析** - **稳定性**：闭环传递函数分母 \( 3s^2 + 9s + 8 \) 的根具有负实部，系统稳定。 - **稳态值**：通过终值定理计算稳态值为 \( \frac{6}{8} = 0.75 \)，阶跃响应曲线最终趋于该值。 ### **完整MATLAB代码** ```matlab % 方法1：分子分母系数 num = [4 6]; den = [3 5 2]; G1 = tf(num, den); % 方法2：符号表达式 s = tf('s'); G2 = (4*s + 6) / (3*s^2 + 5*s + 2); % 计算闭环传递函数 G_closed = feedback(G1, 1); % 绘制阶跃响应 figure; step(G_closed); grid on; title('闭环系统阶跃响应'); xlabel('时间'); ylabel('幅值'); % 显示闭环传递函数 disp('闭环传递函数：'); G_closed ``` **输出结果**： - 闭环传递函数显示为 \( \frac{4s + 6}{3s^2 + 9s + 8} \)。 - 阶跃响应曲线从0开始，上升后稳定在约0.75的稳态值。