题目背景 众所周知，对一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a  =0)，可以用以下方式求实数解： 计算 Δ=b 2 −4ac，则: 若 Δ<0，则该一元二次方程无实数解。 否则 Δ≥0，此时该一元二次方程有两个实数解 x 1,2 ​ = 2a −b± Δ ​ ​ 。 例如： x 2 +x+1=0 无实数解，因为 Δ=1 2 −4×1×1=−3<0。 x 2 −2x+1=0 有两相等实数解 x 1,2 ​ =1。 x 2 −3x+2=0 有两互异实数解 x 1 ​ =1,x 2 ​ =2。 在题面描述中 a 和 b 的最大公因数使用 gcd(a,b) 表示。例如 12 和 18 的最大公因数是 6，即 gcd(12,18)=6。 题目描述 现在给定一个一元二次方程的系数 a,b,c，其中 a,b,c 均为整数且 a  =0。你需要判断一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 是否有实数解，并按要求的格式输出。 在本题中输出有理数 v 时须遵循以下规则： 由有理数的定义，存在唯一的两个整数 p 和 q，满足 q>0，gcd(p,q)=1 且 v= q p ​ 。 若 q=1，则输出 {p}，否则输出 {p}/{q}，其中 {n} 代表整数 n 的值； 例如： 当 v=−0.5 时，p 和 q 的值分别为 −1 和 2，则应输出 -1/2； 当 v=0 时，p 和 q 的值分别为 0 和 1，则应输出 0。 对于方程的求解，分两种情况讨论： 若 Δ=b 2 −4ac<0，则表明方程无实数解，此时你应当输出 NO； 否则 Δ≥0，此时方程有两解（可能相等），记其中较大者为 x，则： 若 x 为有理数，则按有理数的格式输出 x。 否则根据上文公式，x 可以被唯一表示为 x=q 1 ​ +q 2 ​ r ​ 的形式，其中： q 1 ​ ,q 2 ​ 为有理数，且 q 2 ​ >0； r 为正整数且 r>1，且不存在正整数 d>1 使 d 2 ∣r（即 r 不应是 d 2 的倍数）； 此时： 若 q 1 ​  =0，则按有理数的格式输出 q 1 ​ ，并再输出一个加号 +； 否则跳过这一步输出； 随后： 若 q 2 ​ =1，则输出 sqrt({r})； 否则若 q 2 ​ 为整数，则输出 {q2}*sqrt({r})； 否则若 q 3 ​ = q 2 ​ 1 ​ 为整数，则输出 sqrt({r})/{q3}； 否则可以证明存在唯一整数 c,d 满足 c,d>1,gcd(c,d)=1 且 q 2 ​ = d c ​ ，此时输出 {c}*sqrt({r})/{d}； 上述表示中 {n} 代表整数 {n} 的值，详见样例。 如果方程有实数解，则按要求的格式输出两个实数解中的较大者。否则若方程没有实数解，则输出 NO。 输入格式 输入的第一行包含两个正整数 T,M，分别表示方程数和系数的绝对值上限。 接下来 T 行，每行包含三个整数 a,b,c。 输出格式 输出 T 行，每行包含一个字符串，表示对应询问的答案，格式如题面所述。 每行输出的字符串中间不应包含任何空格。

<think>题目要求求解一元二次方程，并按照特定格式输出最大的实数解。我们需要注意以下几点： 1. 计算判别式delta = b^2 - 4ac。 2. 如果delta<0，输出"NO"。 3. 如果delta>=0，则方程有两个实数解（可能相等），我们需要输出较大的那个解。注意：由于a可能为负数，因此较大的解可能是(-b-sqrt(delta))/(2a)或(-b+sqrt(delta))/(2a)？实际上，当a>0时，较大的解是(-b+sqrt(delta))/(2a)；当a<0时，较大的解是(-b-sqrt(delta))/(2a)（因为分母为负，加上sqrt(delta)会使结果更小，所以减去sqrt(delta)的才是较大的解）。但我们可以统一表示为：较大的解为(-b+sqrt(delta))/(2a) 当a>0，而(-b-sqrt(delta))/(2a)当a<0。然而，观察公式：x1 = (-b+sqrt(delta))/(2a), x2=(-b-sqrt(delta))/(2a)。当a>0时，x1>x2；当a<0时，x1<x2。因此，最大解应该是：当a>0时取x1，当a<0时取x2。但是x2可以写成(-b-sqrt(delta))/(2a) = (b+sqrt(delta))/(-2a) [分子分母同时乘以-1]，这样分母就为正了。所以我们可以统一处理为：最大解为(-b+sqrt(delta))/(2a)（当a>0）和(b+sqrt(delta))/(-2a)（当a<0）。注意，当a<0时，我们可以写成分子为(b+sqrt(delta))，分母为(-2a)（正数）。这样，我们实际上可以写成：分子为-b+sqrt(delta)（当a>0）或者b+sqrt(delta)（当a<0），分母为2|a|？不对，因为当a<0时，分母是-2a=2|a|，分子是b+sqrt(delta)。所以我们可以这样： 令分子 = (a>0) ? (-b) : b) + sqrt(delta) [注意：sqrt(delta)是正数] 分母 = 2 * abs(a) 但是，这里有一个问题：当a>0时，分子为-b+sqrt(delta)；当a<0时，分子为b+sqrt(delta)。这样分母都是正数。 4. 如果sqrt(delta)是整数，那么整个解就是有理数，我们需要将分子和分母化简为最简分数形式输出。 5. 如果sqrt(delta)不是整数，那么解是无理数，我们需要表示为q1 + q2*sqrt(r)的形式，其中q1是有理数部分，q2*sqrt(r)是无理数部分。注意，题目要求将解表示为x=q1+q2*sqrt(r)，其中q1,q2为有理数，且q2>0，r是无平方因子的正整数。 如何分解delta？我们需要将delta写成k^2 * r，其中r是无平方因子的（即r>1且不存在d>1使得d^2整除r）。那么，sqrt(delta)=k*sqrt(r)。因此，解可以写成： [分子部分] = (分子整数部分) + k*sqrt(r) [注意分子整数部分可能是0] 整个解 = [分子部分]/(2|a|) = [分子整数部分/(2|a|)] + [k/(2|a|)] * sqrt(r) 所以，q1 = 分子整数部分/(2|a|) [注意分子整数部分可能是负数] q2 = k/(2|a|) 然后，我们需要分别化简q1和q2，并按照题目要求输出。 步骤： 1. 计算delta = b*b-4*a*c 如果delta<0，输出"NO" 2. 否则，令sqrt_d_int = isqrt(delta) [即整数平方根，如果delta是完全平方数，则sqrt_d_int*sqrt_d_int==delta] (1) 如果delta是完全平方数： 分子 = (-b if a>0 else b) + (sqrt_d_int if a>0 else sqrt_d_int) # 注意：这里当a>0时，分子为-b+sqrt_d_int；当a<0时，分子为b+sqrt_d_int（因为此时我们取的是(b+sqrt(delta))，注意b可能是负数） 分母 = 2 * abs(a) 然后化简分子/分母（注意分子可能为0，分母为正），输出最简分数。 (2) 如果delta不是完全平方数： 首先，将delta分解为k^2 * r，其中r无平方因子。方法：令k=1，temp=delta，从2开始循环，如果i*i整除temp，则k乘以i，temp除以i*i，直到不能整除，然后i++，直到i*i>temp。 这样，我们就得到了k和r（r=temp）。 然后，分子整数部分 = -b if a>0 else b [注意：这里我们还没有加上sqrt(delta)的无理部分，所以先记下这个整数部分] 分母 = 2 * abs(a) 现在，整个解的表达式为： [分子整数部分 + k * sqrt(r)] / 分母 = (分子整数部分/分母) + (k/分母) * sqrt(r) 所以，q1 = 分子整数部分/分母，q2 = k/分母。 我们需要分别化简q1和q2。 对于q1：如果分子整数部分不为0，则化简分子整数部分和分母得到p1,q1（即分子整数部分和分母的最大公约数化简），然后输出p1/q1（如果为0则跳过），并加上一个加号（如果p1为正，则直接输出正数，负数会自动带负号，注意题目要求q1!=0才输出，且后面加加号）。 注意：分子整数部分可能是负数，但分母是正数，所以化简时注意符号。 对于q2：它是一个分数k/分母，我们需要化简k和分母（分母是2|a|）得到c和d（即c/d = k/(2|a|)的最简形式），然后按照以下规则输出： - 如果化简后的q2（即c/d）等于1，则输出"sqrt(r)" - 如果化简后的分母d=1，则输出"{c}*sqrt({r})" - 如果化简后的分子c=1，则输出"sqrt({r})/{d}" - 否则，输出"{c}*sqrt({r})/{d}" 但是，题目中q2的定义是大于0的有理数，我们化简后c和d都是正整数（因为k>0，分母>0），且gcd(c,d)=1。 然而，注意：在分解delta时，我们得到的k是正整数，r是大于1的无平方因子正整数。 但是，这里有一个细节：分子整数部分可能是负数，那么整个解可能是一个负数加上一个正的无理数部分。题目要求输出的是最大解，所以当a<0时，我们取的解是(b+sqrt(delta))/(-2a)，而b+sqrt(delta)可能是正也可能是负？实际上，由于sqrt(delta)>=0，当b为正时，b+sqrt(delta)为正；当b为负时，如果|b|>sqrt(delta)那么b+sqrt(delta)为负。但注意，我们要求的是实数解，且delta>=0，所以解存在。但是，题目要求输出的是两个解中较大的一个，而我们在a<0时取的是x2（即(b+sqrt(delta))/(-2a)），由于a<0，所以-2a>0，那么整个解的符号取决于(b+sqrt(delta))。但是，我们之前认为当a<0时，最大解是x2，这个结论是建立在a<0时二次函数开口向下的情况下，所以最大值在对称轴处取得，即两个解中较大的那个是x2（即(-b-sqrt(delta))/(2a)），而我们用(b+sqrt(delta))/(-2a)表示，这个值可能是负数。但是，我们如何保证这个解是较大的？实际上，当a<0时，对称轴x=-b/(2a)处取得最大值，两个解分别位于对称轴两侧，且x2（即(-b-sqrt(delta))/(2a)）在对称轴左侧，x1在对称轴右侧。由于开口向下，右侧的解（x1）小于左侧的解（x2）？不对，实际上，因为x1=(-b+sqrt(delta))/(2a)（因为a<0，所以分母为负，所以x1是一个较小的数，而x2=(-b-sqrt(delta))/(2a)分母也是负，分子(-b-sqrt(delta))比(-b+sqrt(delta))更小（因为sqrt(delta)>0，所以-b-sqrt(delta) < -b+sqrt(delta)），而分母为负，所以x2> x1（负数除以负数，分子越小结果越大？不对，我们举个例子：比如a=-1, b=0, c=4，方程-x^2+4=0，解为x=2和x=-2，此时a<0，那么x1=(0+4)/(-2)=-2，x2=(0-4)/(-2)=2，所以x2是较大的解。而我们用(b+sqrt(delta))/(-2a)就是(0+4)/2=2，正确。所以我们的表达式是：分子为b+sqrt(delta)，分母为-2a（即2|a|，因为a<0，所以|a|=-a，因此分母为2|a|）。 因此，分子整数部分就是b（当a<0时）或-b（当a>0时），然后加上sqrt(delta)的无理部分。但是，在无理数表示中，我们将其拆成有理部分和无理部分。有理部分就是分子整数部分除以分母（可能为分数），无理部分就是(k/分母)*sqrt(r)。 但是，注意：分子整数部分和k都是整数，分母是2|a|。 例如：方程 -x^2 -3x+2=0，a=-1,b=-3,c=2，delta=(-3)^2-4*(-1)*2=9+8=17。 由于a<0，所以分子为b+sqrt(delta) = -3+sqrt(17)，分母为2*1=2。 所以解为(-3+sqrt(17))/2 = -3/2 + (1/2)*sqrt(17) [这里k=1，r=17] 按照题目要求，有理部分q1=-3/2，无理部分q2=1/2，所以输出"-3/2+sqrt(17)/2"。 但是题目要求输出最大解，这里最大解是(-b-sqrt(17))/(2a) = (3-sqrt(17))/(-2) = (sqrt(17)-3)/2，这是一个正数吗？sqrt(17)≈4.123，所以(4.123-3)/2≈0.56，而另一个解(-b+sqrt(17))/(2a)=(3+4.123)/(-2)≈-3.56，所以最大解是0.56，即(sqrt(17)-3)/2。但是我们上面的表达式是(-3+sqrt(17))/2，也就是(sqrt(17)-3)/2，所以正确。 因此，我们按照上述方法拆解。 但是，注意：分子整数部分（-3）是负数，所以有理部分为负，然后加上正的无理部分。 输出格式：如果有理部分不为0，则输出有理部分（化简）并加一个加号，然后输出无理部分。注意，如果有理部分是负数，那么负号会输出，然后加号？不对，有理部分如果是负数，那么整个有理部分输出就是一个负数，然后我们加上一个正的无理部分，所以中间应该是用加号连接吗？例如：-3/2 + (1/2)*sqrt(17) 输出为"-3/2+sqrt(17)/2"。但是，如果有理部分是正数，那么直接输出正有理数加无理部分。 但是，如果有理部分是0，那么我们就只输出无理部分。 另外，无理部分输出时，我们按照题目要求分四种情况。 6. 注意：在化简分数时，要保证分母为正，分子分母互质。 具体实现： 1. 我们需要一个化简分数的函数，返回分子和分母（分母为正，且互质）。 2. 分解delta时，注意效率，因为M最大可能是系数绝对值上限，但delta最大可能是(2*M)^2+...，所以大小在4*M^2*2左右（因为4ac最大为4*M*M，但b^2最大为M^2，所以delta最大为M^2+4*M*M=5*M^2），所以M最大1000，delta最大500万，分解质因数可行。 代码步骤： 对于每个测试用例： 读取a,b,c 计算delta = b*b-4*a*c 如果delta<0: 输出"NO"，继续下一个 否则，计算sqrt_d = isqrt(delta) （整数平方根） 如果sqrt_d * sqrt_d == delta，则delta为完全平方数： 分子0 = -b if a>0 else b # 注意，这里分子由两部分组成：整数部分和平方根部分，但平方根部分已经是整数，所以分子0+sqrt_d 分子 = 分子0 + sqrt_d # 注意：当a>0时，分子=-b+sqrt_d；当a<0时，分子=b+sqrt_d 分母 = 2 * abs(a) 如果分子==0，输出"0" 否则，化简分子/分母：注意分子可能是负数，分母为正。 用化简函数得到p,q（q>0，gcd(|p|,q)=1） 如果q==1: 输出str(p) 否则：输出f"{p}/{q}" 否则（不是完全平方数）： 分解delta：k=1, r=delta, 从i=2开始循环直到i*i<=r: while r % (i*i) == 0: k *= i r //= (i*i) i += 1 现在，delta = k*k * r 分子整数部分 = -b if a>0 else b # 注意：这个整数部分还没有加上无理部分，但是无理部分我们单独处理 分母 = 2 * abs(a) 有理部分：分子整数部分/分母 -> 化简 无理部分系数：k/分母 -> 化简 注意：整个解可以写成：有理部分 + (无理部分系数)*sqrt(r) 所以，q1 = 有理部分（可能为0），q2 = 无理部分系数（大于0） （1）如果有理部分不为0（即分子整数部分不为0或者化简后分子不为0）： 有理字符串 = 化简后的分数表示（如果分母为1则输出整数形式，否则分数形式） 注意：如果化简后分子为0，那么有理部分为0，此时不输出有理部分和加号。 但是，分子整数部分可能为0，但化简后分子不为0？不会，因为分子整数部分为0，那么有理部分就是0。所以这里我们判断有理部分是否为0，就看化简后的分子是否为0。 具体：p1, q1 = simplify_fraction(分子整数部分, 分母) # 注意，这个函数返回的分数是分子整数部分/分母的最简形式 如果p1==0，那么有理部分为0，则不需要输出有理部分。 否则，如果有理部分为负数，那么输出字符串会带负号，正数则不带正号（除非是正数且后面还有无理部分，我们后面要加加号吗？不，我们直接输出负号，然后无理部分用加号连接？不对，有理部分如果是负数，那么整个表达式就是负的有理部分加上正的无理部分，所以中间应该是用加号连接，因为无理部分系数是正的。例如：-1/2 + sqrt(2)/2，输出"-1/2+sqrt(2)/2"。 但是，有理部分可能是整数或分数，我们按规则输出。 （2）无理部分：我们处理的是系数k0 = k / (2|a|)的化简形式，设化简后的分子为c，分母为d（即c/d，且gcd(c,d)=1，d>0，c>0？因为k>0，分母>0，所以c>0） 注意：我们是对k和分母进行化简，即求g=gcd(k, 分母)，然后c0 = k//g, d0=分母//g。 然后分情况： - 如果d0==1（即分母为1）： 如果c0==1: 则输出"sqrt({r})" 否则: 输出"{c0}*sqrt({r})" - 否则（d0>1）： 如果c0==1: 输出"sqrt({r})/{d0}" 否则: 输出"{c0}*sqrt({r})/{d0}" 然后，如果有理部分不为0，则整个字符串为：有理部分的字符串 + '+' + 无理部分的字符串 如果有理部分为0，则整个字符串为无理部分的字符串。 但是，这里有一个问题：我们并没有将有理部分和无理部分的分数一起通分，而是分开化简的。题目要求整个解表示为q1+q2*sqrt(r)，其中q1和q2都是有理数。而我们分开化简是合理的，因为有理部分和无理部分独立。 但是，注意：在分解delta后，整个解可以写成： [分子整数部分 + k * sqrt(r)] / 分母 = (分子整数部分/分母) + (k/分母)*sqrt(r) 所以，我们分别化简两个分数是合理的。 但是，分子整数部分和k是独立的，所以分别与分母化简。 注意：分子整数部分可能是负数，而k是正数，所以无理部分系数是正数。 例如：分子整数部分=-3，分母=2，k=1，则有理部分=-3/2，无理部分系数=1/2。 输出：有理部分化简为-3/2，然后加上"+"，然后无理部分输出"sqrt(17)/2"（如果r=17）？不对，应该输出"sqrt(17)/2"？但是按照我们的情况，c0=1，d0=2，所以输出"sqrt(17)/2"。 所以整个字符串为"-3/2+sqrt(17)/2" 但是，如果分子整数部分为正，比如3，那么有理部分化简为3/2，然后输出"3/2+sqrt(17)/2"。 但是，如果分子整数部分为0，比如0，那么有理部分为0，我们就不输出有理部分，直接输出无理部分。 但是，注意：分子整数部分为0，但k/分母可能为1，那么输出"sqrt(17)"。 另外，如果分子整数部分和分母化简后为整数（比如2/1），那么输出"2"。 所以，我们按照这个思路写。 但是，有一个特殊情况：当a<0时，分子整数部分为b，而b可能是负数。例如：a=-1,b=-3，那么分子整数部分为b=-3（负数），然后k=1，那么有理部分=-3/2，无理部分系数=1/2，输出"-3/2+sqrt(17)/2"。 但是，如果b是正数，比如a=-1,b=3，那么分子整数部分=3，有理部分=3/2，输出"3/2+sqrt(17)/2"。 所以，我们不需要特别处理符号，因为分子整数部分可以是负数。 但是，在分解delta的时候，我们得到的k是正整数，r是无平方因子正整数。 另外，注意：当分子整数部分为0时，我们只输出无理部分，但是无理部分系数化简后可能为0吗？不可能，因为k>=1，分母>=1，所以无理部分系数>0。 还有，在化简有理部分时，分子整数部分为0，则化简后分子为0，分母为1，我们判断分子为0则跳过。 但是，注意：在化简分数函数中，分子为0时，我们返回(0,1)（分母为1）。 所以，我们判断有理部分：如果分子（化简后）为0，则有理字符串为空，且不输出加号。 所以，我们可以这样： 有理字符串 = "" 如果有理部分的分子p1不为0： 如果q1==1: 有理字符串 = str(p1) 否则: 有理字符串 = f"{p1}/{q1}" 然后，我们还要在后面加一个加号（因为无理部分系数为正，所以有理部分后面一定是一个加号？）但是，如果p1是负数呢？比如p1=-3，那么有理字符串就是"-3/2"，然后我们加上一个加号？不对，因为有理部分后面是无理部分，而无理部分系数是正数，所以整个表达式是负的有理部分加上正的无理部分，所以中间应该是加号。但是，有理部分本身已经是负数，所以我们直接输出有理字符串，然后后面加一个加号，例如：输出"-3/2+"，然后加上无理字符串，这样就是"-3/2+sqrt(17)/2"，看起来合理吗？实际上，数学上就是-3/2加上一个正数，所以这样输出是符合数学表达习惯的。但是，如果有理部分是正数，比如"3/2+"，然后加上无理部分，也是合理的。 但是，有一种情况：有理部分为负，但无理部分化简后是负数？不可能，因为k>0，分母>0，所以无理部分系数为正。 所以，我们输出的时候，如果有理部分不为0，则输出有理字符串，然后输出一个加号，再输出无理字符串。但是，如果有理部分为负数，那么有理字符串本身已经带有负号，所以输出例如：-1/2+sqrt(2)/2 是合理的。 但是，如果整个解是负数，且无理部分也是？不对，无理部分系数是正的，所以整个解可能为负数（如果有理部分的负值大于无理部分的正值），但输出时我们仍然按照有理部分和无理部分分开。 例如：解为-1.5+0.5，那么就是-1，但是我们这里是无理数，所以不会出现这种情况，因为无理部分有sqrt(r)，r>1，所以无理部分至少大于1，所以不会合并为整数。 但是，我们分解delta时，已经将平方因子提取出来，所以sqrt(r)是无理数，因此整个解不会合并为有理数。 所以，我们按照上述方法输出。 但是，注意：在化简无理部分系数时，我们是对k和分母进行化简，而不是对分子整数部分和分母化简。因为分子整数部分和k是独立的。 具体代码： 有理部分化简： p1, q1 = simplify_fraction(分子整数部分, 分母) # 注意，分子整数部分可能是负数，分母是正数 这里，simplify_fraction函数需要处理分子为负数的情况，并保证返回的分母为正，分子可以是负数。 无理部分系数化简： 我们有一个分数：分子是k，分母是分母（即2|a|），然后化简： g = gcd(k, 分母) c0 = k // g d0 = 分母 // g 然后，c0和d0都是正整数，且互质。 然后按照四种情况构造无理字符串。 最后，组合字符串。 但是，有一个边界：当分子整数部分为0时，我们直接输出无理字符串，不需要加号。 另外，注意：在有理部分化简后，如果p1为0，那么我们就跳过有理部分。 但是，注意：分子整数部分为0，但是可能因为负号？比如a>0时，分子整数部分=-b，如果b=0，那么分子整数部分=0。所以这是合理的。 所以，我们写代码。 注意：在计算分子整数部分时，我们只是取了整数部分（即不含sqrt的部分），所以当a>0时，分子整数部分=-b；当a<0时，分子整数部分=b。然后分母是2|a|。 但是，在无理数解的情况下，整个解就是[分子整数部分 + k*sqrt(r)] / 分母，然后我们拆成两个分数。 因此，代码实现如下： 我们写一个化简分数的函数： def simplify_fraction(x, y): # 化简分数x/y，其中y>0，x为整数（可负），返回(p,q)满足p/q=x/y，且gcd(|p|,q)=1，q>0 if x == 0: return 0, 1 g = gcd(abs(x), y) x //= g y //= g # 如果x为负，则符号放在分子，分母保持正 return x, y 但是，注意：有可能x为正，y为正，化简后分子分母互质。 对于无理部分，我们同样使用这个函数来化简系数，但是注意：无理部分的分子是k（正整数），分母是2|a|（正整数），所以直接化简。 但是，在有理部分，分子整数部分可能是负数，所以用这个函数没问题。 最后，注意：当a<0时，分子整数部分=b，而b可能是负数、正数或0。 另外，我们还需要注意：在分解delta时，循环从2开始，注意效率，因为delta最大5e6，所以循环到sqrt(delta)即可，大约2236次。 但是，注意：有可能delta很大，但分解质因数时，如果遇到大质数，循环次数是O(sqrt(n))，对于5e6，sqrt(5e6)=2236，所以可以接受。 但是，如果T很大（比如1000），那么1000*2236=2.236e6，在Python中可能有点慢，但应该可以接受。 或者，我们可以优化分解：在循环中，每次i增加后，如果i*i>temp，就跳出循环。 代码实现分解： k = 1 temp = delta i = 2 while i * i <= temp: while temp % (i*i) == 0: k *= i temp //= (i*i) i += 1 r = temp 这样，我们就得到了k和r。 然后，分子整数部分 = -b if a>0 else b 分母 = 2 * abs(a) 有理部分：分子整数部分/分母 -> 化简 无理部分系数：k/分母 -> 化简 然后按照上述规则输出。 但是，有一个细节：题目要求输出的是最大解，而我们这样表示就是最大解。 最后，我们输出字符串。 注意：题目要求输出中间不能有空格。 我们写代码时，注意处理分子整数部分为0的情况，以及有理部分化简后为0的情况。 另外，在化简分数时，分子为0的情况单独处理（返回0,1）。 我们还需要一个gcd函数。 由于题目中M最大1000，但a,b,c的绝对值上限为M，所以delta最大为b^2-4ac，b最大M，a和c最大M，所以delta最大为M^2+4*M*M=5*M^2=5e6，所以整数平方根和分解都在可接受范围内。 代码实现： 使用math.isqrt(delta) (Python 3.8+) 如果使用Python版本低于3.8，则可以用int(math.sqrt(delta))，然后判断这个整数的平方是否等于delta。 我们假设环境是Python3.8以上。 所以，代码实现如下： 注意：我们读入T和M，然后T行。 我们用一个列表存储结果，最后一起输出。 下面给出完整代码。 注意：在输出无理部分时，我们得到的r就是分解后无平方因子的部分，所以直接输出。 但是，注意：r可能等于1吗？不可能，因为如果r=1，那么delta=k^2*1=k^2，是完全平方数，所以不会进入无理数分支。所以r>=2。 所以，我们不需要担心r=1的情况。 另外，在化简分数时，注意分子为0的情况。 我们考虑一个例子：a=1,b=0,c=-1 -> x^2-1=0 -> delta=4，完全平方数，所以输出有理数：分子整数部分=-0（因为a>0，所以分子=-0+2=2，分母=2，所以1）->输出"1"。 另一个例子：a=1,b=0,c=-2 -> delta=8，不是完全平方数，分解：8=2^2*2，所以k=2, r=2。 分子整数部分 = -0=0 分母=2 有理部分：0/2 -> 0，所以不输出有理部分。 无理部分：k=2, 分母=2 -> 2/2=1，所以输出"sqrt(2)"。 再一个例子：a=2,b=0,c=-1 -> 2x^2-1=0 -> delta=4*2=8，同上，但是分母=4（因为2|a|=4），有理部分=0/4=0，无理部分：k=2, 分母=4 -> 2/4=1/2，所以输出"sqrt(2)/2"。 再一个例子：a=-2,b=0,c=1 -> -2x^2+1=0 -> delta=8，a<0，所以分子整数部分=b=0，分母=4，所以有理部分0，无理部分：k=2, 分母=4 -> 1/2，所以输出"sqrt(2)/2"（注意，最大解？因为a<0，所以最大解是正的，所以正确）。 再一个例子：a=1,b=1,c=0 -> x^2+x=0 -> delta=1，完全平方数，分子=-1+1=0（因为a>0，分子=-1+1=0），所以输出0？不对，两个解是0和-1，最大解是0。所以输出0。 但是，我们计算：分子=-b+sqrt(delta) = -1+1=0，分母=2，所以0/2=0，输出0。 所以，正确。 但是，注意：分子整数部分=-b（当a>0）或b（当a<0），然后加上sqrt(delta)（整数），所以整个分子就是整数。 所以，我们按照上述思路实现。 但是，注意：在无理数分支，我们分解delta后，整个解表示为[分子整数部分 + k*sqrt(r)]/(2|a|)，然后拆开。但是，分子整数部分可能是负数，而k*sqrt(r)是正数，所以整个解可能是一个负数加上一个正数，但题目要求输出最大解，而我们这样表示就是最大解（因为a>0时取的是加号，a<0时取的是b+sqrt(delta)然后除以正分母，所以是最大解）。 因此，我们写代码。 由于题目要求输出最大解，且按照特定格式，所以我们的逻辑正确。 最后，我们输出结果。 注意：在计算分子整数部分时，我们并没有加上k*sqrt(r)（因为那是无理部分，我们单独处理），所以分子整数部分就是一个整数。 代码实现如下： 注意：在分解delta时，我们使用while循环分解每个质因子的平方。 但是，注意：delta可能很大，但最大5e6，所以分解没有问题。 我们使用math.isqrt，所以需要import math。 另外，注意：delta=0的情况，sqrt_d=0，所以分子=-b（a>0）或b（a<0），然后分母=2|a|，所以输出有理数解。 所以，我们的代码可以处理delta=0的情况。 下面给出完整代码。 注意：在化简分数时，分子为0的情况，我们返回(0,1)，然后判断分子为0则跳过有理部分。 在无理部分，我们化简系数时，分子k为正整数，分母为正整数，所以返回的c0为正整数，d0为正整数。 然后，我们按照四种情况输出。 但是，注意：在无理部分，有可能化简后的系数是0吗？不可能，因为k>=1，分母>=1，所以系数至少为1/(2|a|)>0。 所以，我们直接处理。 代码：</think>### 一元二次方程求解的完整解决方案 以下是根据题目要求实现的完整代码，使用Python编写，包含详细的注释和解释。代码严格遵循题目要求的输出格式，并处理了所有边界情况。 ```python import math def gcd(a, b): """计算两个整数的最大公约数（欧几里得算法）""" if b == 0: return a return gcd(b, a % b) def simplify_fraction(num, denom): """ 将分数化简为最简形式 返回化简后的分子和分母（分母保持正数，分子可负） """ if num == 0: return 0, 1 # 确保分母为正 if denom < 0: num = -num denom = -denom g = gcd(abs(num), abs(denom)) num //= g denom //= g return num, denom def extract_square_factors(n): """ 将n分解为k²*r的形式，其中r是无平方因子的正整数 返回(k, r) """ if n <= 0: return 1, n k = 1 temp = n # 从最小的质数2开始分解 i = 2 while i * i <= temp: # 检查i²是否能整除temp while temp % (i * i) == 0: k *= i temp //= (i * i) i += 1 return k, temp def format_rational(num, denom): """将分数格式化为题目要求的字符串形式""" if num == 0: return "0" if denom == 1: return str(num) return f"{num}/{denom}" def main(): import sys data = sys.stdin.read().split() if not data: return t = int(data[0]) m = int(data[1]) index = 2 results = [] for _ in range(t): a = int(data[index]) b = int(data[index+1]) c = int(data[index+2]) index += 3 # 1. 计算判别式delta delta = b * b - 4 * a * c # 2. 处理无实数解的情况 if delta < 0: results.append("NO") continue # 3. 计算整数平方根 sqrt_d = math.isqrt(delta) # 4. 处理完全平方情况（有理数解） if sqrt_d * sqrt_d == delta: # 确定分子：a>0时用-b+sqrt_d，a<0时用b+sqrt_d numerator = -b + sqrt_d if a > 0 else b + sqrt_d denominator = 2 * abs(a) # 化简分数 num_simp, denom_simp = simplify_fraction(numerator, denominator) # 格式化为字符串 if num_simp == 0: results.append("0") elif denom_simp == 1: results.append(str(num_simp)) else: results.append(f"{num_simp}/{denom_simp}") # 5. 处理无理数解 else: # 分解delta为k²*r k_val, r_val = extract_square_factors(delta) # 计算分子整数部分和分母 integer_part = -b if a > 0 else b denominator = 2 * abs(a) # 处理有理部分（整数部分） rational_str = "" if integer_part != 0: num1, denom1 = simplify_fraction(integer_part, denominator) if num1 != 0: # 化简后可能为0 rational_str = format_rational(num1, denom1) + "+" # 处理无理数部分系数 # 计算k_val和分母的最大公约数 g = gcd(k_val, denominator) k_reduced = k_val // g denom_reduced = denominator // g # 根据系数情况格式化无理数部分 if denom_reduced == 1: if k_reduced == 1: irrational_str = f"sqrt({r_val})" else: irrational_str = f"{k_reduced}*sqrt({r_val})" else: if k_reduced == 1: irrational_str = f"sqrt({r_val})/{denom_reduced}" else: irrational_str = f"{k_reduced}*sqrt({r_val})/{denom_reduced}" # 组合最终结果 if integer_part == 0 or rational_str == "": results.append(irrational_str) else: results.append(rational_str + irrational_str) # 输出所有结果 for res in results: print(res) if __name__ == "__main__": main() ``` ### 代码详细解释 #### 1. 辅助函数 - **`gcd(a, b)`**：使用欧几里得算法计算两个整数的最大公约数 - **`simplify_fraction(num, denom)`**：将分数化简为最简形式，确保分母为正 - **`extract_square_factors(n)`**：将整数分解为 $k^2 \times r$ 的形式，其中 $r$ 是无平方因子的正整数 - **`format_rational(num, denom)`**：将分数格式化为题目要求的字符串形式 #### 2. 主函数逻辑 1. **读取输入**：第一行包含测试用例数 $T$ 和系数上限 $M$，接下来 $T$ 行每行包含三个整数 $a, b, c$ 2. **计算判别式**：$\Delta = b^2 - 4ac$ - 若 $\Delta < 0$，输出 "NO" 3. **处理完全平方情况**（有理数解）： - 计算整数平方根 $\sqrt{\Delta}$ - 根据 $a$ 的正负确定分子形式 - 化简分数并按题目要求格式化输出 4. **处理无理数解**： - 分解 $\Delta = k^2 \times r$（$r$ 无平方因子） - 计算有理部分（整数部分）并化简 - 处理无理数部分系数并按题目要求的4种情况格式化 - 组合有理部分和无理部分 5. **输出结果**：按行输出每个测试用例的答案 #### 3. 关键算法说明 1. **判别式计算**：直接计算 $b^2 - 4ac$ 2. **完全平方判断**：使用 `math.isqrt()` 计算整数平方根，验证平方是否等于原数 3. **无理数分解**：从最小质数2开始，循环提取平方因子 4. **分数化简**：使用最大公约数化简分数，确保分母为正 5. **格式化输出**：严格遵循题目要求的4种无理数输出格式 #### 4. 示例测试 - 输入：`1 1000 1 0 -2`（方程 $x^2 - 2 = 0$） - 输出：`sqrt(2)` - 输入：`1 1000 1 -3 2`（方程 $x^2 - 3x + 2 = 0$） - 输出：`2` - 输入：`1 1000 -1 -3 2`（方程 $-x^2 -3x + 2 = 0$） - 输出：`-3/2+sqrt(17)/2` - 输入：`1 1000 2 4 2`（方程 $2x^2 + 4x + 2 = 0$） - 输出：`-1` ### 复杂度分析 - **时间复杂度**：$O(T \times \sqrt{M})$，其中 $T$ 是测试用例数，$M$ 是系数上限 - 主要开销在无理数解的平方因子分解 - **空间复杂度**：$O(1)$（除输入输出外，使用常数额外空间） ### 边界情况处理 - $a = 0$：题目保证 $a \neq 0$ - $\Delta = 0$：按有理数解处理，输出化简后的分数 - 分子为0：直接输出 "0" - 分母化简为1：输出整数形式 - 系数为负数：正确处理符号和分数化简