8. 已知二叉树的先序和中序遍历序列如下：先序：ABECDFGHIJ中序：EBCDAFHIGJ试构造出这样的二叉树。并写出其后序遍历序列。

### 构建二叉树的过程 根据先序序列 `ABECDFGHIJ` 和中序序列 `EBCDAFHIGJ`，可以按照以下逻辑构建二叉树： 1. **确定根节点**：先序遍历的第一个元素为根节点，因此根节点为 `A`[^1]。 2. **划分左右子树**：在中序序列中找到根节点的位置。根节点 `A` 在中序序列中的位置为第 4 位，将中序序列划分为左子树部分 `EBCD` 和右子树部分 `FHIGJ`[^1]。 3. **递归构建左子树**： - 左子树的先序序列为 `BECDF`（从先序序列中去掉根节点 `A` 后的前缀部分）。 - 左子树的中序序列为 `EBCD`。 - 根节点为 `B`（先序序列的第一个元素），将其作为左子树的根节点。 - 在中序序列 `EBCD` 中，`B` 的位置为第 2 位，将中序序列划分为左子树部分 `E` 和右子树部分 `CD`[^1]。 4. **递归构建右子树**： - 右子树的先序序列为 `GHIJ`（从先序序列中去掉根节点 `A` 和左子树部分后的剩余部分）。 - 右子树的中序序列为 `FHIGJ`。 - 根节点为 `F`（先序序列的第一个元素），将其作为右子树的根节点。 - 在中序序列 `FHIGJ` 中，`F` 的位置为第 1 位，将中序序列划分为左子树部分为空，右子树部分为 `HIGJ`。 通过上述步骤，最终构建出的二叉树结构如下： ```plaintext A / \ B F / \ \ E C G \ \ D H \ I \ J ``` ### 顺序结构图 将上述二叉树表示为顺序存储结构图时，通常使用数组来存储节点。假设数组索引从 0 开始，父节点与子节点的关系为： - 左子节点索引 = 父节点索引 * 2 + 1 - 右子节点索引 = 父节点索引 * 2 + 2 根据上述规则，二叉树的顺序存储结构图为： | 索引 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |------|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----| | 值 | A | B | F | E | C | G | D | H | I | J | ### 注意事项 如果二叉树不是完全二叉树，则需要使用空值占位以保证顺序存储结构的正确性。例如，在本例中，右子树的部分节点缺失，但不影响顺序存储结构的生成。 ---

### 构造二叉树并求后序遍历序列 根据先序和中序序列构造二叉树的过程如下：先序遍历的第一个节点为根节点[^1]。在中序遍历中找到该根节点的位置，可以将中序遍历划分为左右子树。然后递归地对左右子树进行同样的操作，直到完成整个二叉树的构造。 #### 先序与中序序列分析 - **先序序列**：ABECDFGHIJ - **中序序列**：EBCDAFHIGJ 根节点为先序序列的第一个元素 `A`。在中序序列中，`A` 的位置是第 4 位，因此中序序列可以划分为： - 左子树：EBCD - 右子树：FHIGJ 接下来，在先序序列中，去掉根节点 `A` 后剩余部分为 BECDFGHIJ。左子树对应的先序序列为 BECD，右子树对应的先序序列为 FGHIJ。 #### 左子树构造 对于左子树： - 先序序列：BECD - 中序序列：EBCD 根节点为 `B`。在中序序列中，`B` 的位置是第 2 位，因此中序序列可以划分为： - 左子树：E - 右子树：CD 在先序序列中，去掉根节点 `B` 后剩余部分为 ECD。左子树对应的先序序列为 E，右子树对应的先序序列为 CD。 ##### 继续构造左子树的子树 - 对于左子树 `E`，先序和中序均为 `E`，因此它是一个叶子节点。 - 对于右子树 `CD`： - 先序序列：CD - 中序序列：CD 根节点为 `C`。在中序序列中，`C` 的位置是第 1 位，因此中序序列可以划分为： - 左子树：空 - 右子树：D 在先序序列中，去掉根节点 `C` 后剩余部分为 D。左子树为空，右子树对应的先序序列为 D。 #### 右子树构造 对于右子树： - 先序序列：FGHIJ - 中序序列：FHIGJ 根节点为 `F`。在中序序列中，`F` 的位置是第 1 位，因此中序序列可以划分为： - 左子树：空 - 右子树：HIGJ 在先序序列中，去掉根节点 `F` 后剩余部分为 GHIJ。左子树为空，右子树对应的先序序列为 GHIJ。 ##### 继续构造右子树的子树 - 对于右子树 `GHIJ`： - 先序序列：GHIJ - 中序序列：HIGJ 根节点为 `G`。在中序序列中，`G` 的位置是第 2 位，因此中序序列可以划分为： - 左子树：HI - 右子树：J 在先序序列中，去掉根节点 `G` 后剩余部分为 HIJ。左子树对应的先序序列为 HI，右子树对应的先序序列为 J。 ###### 左子树 `HI` - 先序序列：HI - 中序序列：HI 根节点为 `H`。在中序序列中，`H` 的位置是第 1 位，因此中序序列可以划分为： - 左子树：空 - 右子树：I 在先序序列中，去掉根节点 `H` 后剩余部分为 I。左子树为空，右子树对应的先序序列为 I。 ###### 右子树 `J` - 先序序列：J - 中序序列：J 根节点为 `J`，它是一个叶子节点。 #### 后序遍历序列 按照后序遍历的规则（左子树 -> 右子树 -> 根节点），可以得到后序遍历序列为： ```plaintext EBDCIHJGF ``` ### Python 实现代码 以下为通过先序和中序序列构造二叉树并输出后序遍历序列的 Python 实现： ```python class TreeNode: def __init__(self, value): self.value = value self.left = None self.right = None def build_tree(preorder, inorder): if not preorder or not inorder: return None root_value = preorder[0] root = TreeNode(root_value) root_index_inorder = inorder.index(root_value) left_inorder = inorder[:root_index_inorder] right_inorder = inorder[root_index_inorder + 1:] left_preorder = preorder[1:1 + len(left_inorder)] right_preorder = preorder[1 + len(left_inorder):] root.left = build_tree(left_preorder, left_inorder) root.right = build_tree(right_preorder, right_inorder) return root def postorder_traversal(root, result=None): if result is None: result = [] if root: postorder_traversal(root.left, result) postorder_traversal(root.right, result) result.append(root.value) return result # 输入先序和中序序列 preorder = "ABECDFGHIJ" inorder = "EBCDAFHIGJ" # 构建二叉树 root = build_tree(preorder, inorder) # 输出后序遍历序列 postorder_result = ''.join(postorder_traversal(root)) print(f"后序遍历序列: {postorder_result}") ```