最短路算法链式前向星

### 关于邻接表和链式前向星的数据结构例题实现 #### 使用邻接表表示图并解决最短路径问题 对于给定的一个无权有向图，使用邻接表来表示该图，并求解从源点到其他各顶点的最短距离。 ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <queue> using namespace std; const int MAXN = 1e5 + 7; int dist[MAXN]; bool vis[MAXN]; // 定义边结构体 struct Edge { int to, next; } edge[MAXN * 2]; // 假设最多有MAXN*2条边 int head[MAXN], cnt; // head数组记录每个节点的第一条出边编号；cnt用于计数当前已有的边数量 void addEdge(int from, int to) { // 添加一条from->to方向上的边 edge[++cnt].to = to; edge[cnt].next = head[from]; head[from] = cnt; } void bfs(int startNode) { queue<int> q; memset(dist, -1, sizeof(dist)); dist[startNode] = 0; q.push(startNode); while (!q.empty()) { int cur = q.front(); q.pop(); for (int i = head[cur]; ~i; i = edge[i].next) { int v = edge[i].to; if (dist[v] == -1) { dist[v] = dist[cur] + 1; q.push(v); } } } } ``` 这段代码展示了如何利用邻接表构建一张简单的无权有向图以及通过广度优先搜索算法计算起始节点到达其余各个节点之间的最小步数[^1]。 #### 利用链式前向星处理加权图中的最短路问题 下面的例子说明了怎样运用链式前向星存储带权重的边信息，并借助Dijkstra算法找出单源最短路径： ```cpp #include <cstring> #include <algorithm> #define INF 0x3f3f3f3f using namespace std; typedef pair<int,int> PII; const int N=1e5+10,M=N<<1; int n,m,S,T,d[N]; PII e[M]; int h[N],ne[M],w[M],idx; bool st[N]; inline void add(int a,int b,int c){ e[idx]=make_pair(b,c),ne[idx]=h[a],h[a]=idx++; } void dijkstra(){ memset(d,INF,sizeof d); priority_queue<PII,vector<PII>,greater<>> heap; d[S]=0; heap.push({d[S],S}); while(heap.size()){ auto t=heap.top(); heap.pop(); int ver=t.second,dis=t.first; if(st[ver]) continue; st[ver]=true; for(int i=h[ver];~i;i=ne[i]){ int j=e[i].first; if(d[j]>dis+w[i]){ d[j]=dis+w[i]; heap.push({d[j],j}); } } } } ``` 此部分实现了基于链式前向星的方式保存每条边上附带的成本值，并且采用了堆优化版迪杰斯特拉(Dijkstra)算法去查找由指定起点出发至其它任意终点间的最优路线长度[^2]。

<think>好的，我现在需要解释链式前向星在C++中是如何存图和访问的。用户之前已经询问过拓扑排序的两种算法，现在转向图的存储结构，可能是在学习图论或算法时遇到了相关问题。首先，我得确保自己对链式前向星有足够的理解，并能够用简单明了的语言解释清楚。 首先，链式前向星是一种用于存储图的数据结构，尤其适用于稀疏图。它通过数组模拟链表的方式来存储边，这样可以在不依赖动态内存分配的情况下高效地处理图的遍历。我需要回顾它的组成结构，包括边的结构定义、头数组的作用，以及如何添加边和遍历邻接节点。 接下来，我需要考虑如何组织内容。用户要求用C++示例，因此必须包含具体的代码片段，并解释每个部分的功能。可能需要分步骤讲解：定义结构体、初始化数组、添加边的函数、遍历方法。同时，要说明链式前向星相比邻接矩阵和邻接表的优势，比如空间效率和访问速度。 在解释过程中，要注意术语的准确性。例如，边结构体中的to、next、weight等字段的含义，head数组如何索引每个节点的边链表。还要强调链式前向星添加边的方式是头插法，这样每次新边都插入到链表的头部，这会影响遍历顺序，但并不影响拓扑排序等算法的正确性。 用户可能对如何遍历某个节点的所有邻接边感到困惑，这里需要详细说明遍历过程：从head[u]开始，通过不断访问next指针，直到-1为止。同时，用具体的例子，比如添加边的顺序如何影响存储结构，帮助理解。 另外，考虑到用户之前的问题是关于拓扑排序的，可能需要提到链式前向星在图算法中的应用，比如DFS或BFS中如何遍历图的结构。不过本次问题主要集中在存储和访问机制，所以可能需要点到为止。 需要检查是否有理解错误的地方。比如，链式前向星是否真的比邻接表更省空间？邻接表通常使用vector，而链式前向星使用静态数组，可能在内存上更紧凑，尤其是处理大规模数据时。但也要指出其缺点，比如不易动态删除边，或者代码复杂度稍高。 最后，确保代码示例正确无误，包括变量的命名是否符合常规（比如head数组、edge结构体），添加边的函数是否正确实现头插法，遍历的循环是否正确。同时，给出一个具体的例子，比如添加几条边后，如何遍历某个节点的所有邻居，帮助用户直观理解。 总结来说，回答的结构应该是：介绍链式前向星的概念和优势，详细解释数据结构组成，添加边的过程，遍历邻接节点的方法，最后用C++代码示例和运行结果展示整个过程。需要保持语言简洁，逻辑清晰，确保用户能够逐步理解每个部分的作用和实现方式。</think>以下是链式前向星的详细解释和C++实现： --- ### 一、链式前向星核心思想 **用数组模拟邻接表**，通过`索引链接`方式存储图。相比传统邻接表： - 更紧凑的**内存布局**（适合处理大规模稀疏图） - 完全**静态存储**（无需动态内存分配） - **反向遍历**特性（添加边的顺序会影响遍历顺序） --- ### 二、数据结构组成 ```cpp struct Edge { int to; // 边的终点 int next; // 下一条边的索引 int weight; // 边权（可选） }; Edge edge[MAX_EDGES]; // 边存储池 int head[MAX_NODES]; // 每个节点的第一条边索引 int cnt = 0; // 当前边数计数器 ``` #### 关键点解读： 1. `head[u]`：存储节点`u`的**第一条边**在`edge数组`中的索引 2. `edge[i].next`：指向**同一出发点**的下一条边索引（类似链表指针） 3. 通过`cnt++`动态填充边池，实现伪动态扩容 --- ### 三、添加边的过程（头插法） ```cpp void addEdge(int u, int v, int w) { edge[cnt].to = v; edge[cnt].weight = w; edge[cnt].next = head[u]; // 新边指向旧的首边 head[u] = cnt++; // 更新头指针为新边 } ``` #### 示例演示： 添加边 `1->2`, `1->3`： 1. 初始`head[1] = -1` 2. 添加`1->2`后： `edge[0].next = -1`, `head[1] = 0` 3. 添加`1->3`后： `edge[1].next = 0`, `head[1] = 1` 形成的链表：`1 -> edge[1] -> edge[0] -> -1` --- ### 四、遍历邻接节点 ```cpp // 遍历节点u的所有邻居 for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next) { int v = edge[i].to; int w = edge[i].weight; // 处理(u, v, w)这条边 } ``` #### 遍历特性： - 按**添加顺序的逆序**访问（后添加的边先被访问） - 时间复杂度：$O(邻接边数量)$ --- ### 五、完整C++示例 ```cpp #include <iostream> #include <cstring> using namespace std; const int MAX_NODES = 1000; const int MAX_EDGES = 10000; struct Edge { int to, next, weight; } edge[MAX_EDGES]; int head[MAX_NODES], cnt; void init() { memset(head, -1, sizeof(head)); // 初始化为-1表示空链表 cnt = 0; } void addEdge(int u, int v, int w) { edge[cnt] = {v, head[u], w}; head[u] = cnt++; } void traverse(int u) { cout << "节点" << u << "的邻居: "; for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next) { cout << "->" << edge[i].to << "(权" << edge[i].weight << ") "; } cout << endl; } int main() { init(); addEdge(1, 2, 5); // 1->2 addEdge(1, 3, 3); // 1->3 addEdge(2, 4, 2); // 2->4 traverse(1); // 输出：->3(权3) ->2(权5) traverse(2); // 输出：->4(权2) return 0; } ``` --- ### 六、与邻接表对比 | **特性** | 链式前向星 | vector邻接表 | |----------------|--------------------------|-----------------------| | 内存分配 | 静态预分配 | 动态扩展 | | 遍历顺序 | 逆序（后进先出） | 正序 | | 删除操作 | 困难 | 尾部删除高效 | | 适用场景 | 算法竞赛/大规模稀疏图 | 常规开发/需要动态修改 | --- ### 七、应用场景建议 1. **推荐使用**：需要高性能图遍历的算法（如DFS/BFS/最短路） 2. **避免使用**：需要频繁删除边或动态修改图结构的场景