请分别采用Prim算法和Kruskal算法计算出以下加权图的最小生成树。 wgraph1.png

好的，这是一个有5个节点和7条边的带权图，边的权值已经标注在图中：  普林算法： 1. 从节点A开始，将A加入已选节点集合，将A到B和A到D的两条边加入备选边集合； 2. 从备选边集合中选取权值最小的一条边A到B，将B加入已选节点集合，将B到C的边加入备选边集合； 3. 从备选边集合中选取权值最小的一条边B到C，将C加入已选节点集合，将C到E的边加入备选边集合； 4. 从备选边集合中选取权值最小的一条边C到E，将E加入已选节点集合； 5. 已选节点集合中包含所有节点，生成树完成。 选取的边及总权值为：AB(1)、BC(2)、CE(3)、AD(5)，总权值为11。 克鲁斯卡尔算法： 1. 将所有边按照权值从小到大排序； 2. 依次选取权值最小的边，如果边的两个端点不在同一个集合中，则将它们合并，将这条边加入生成树； 3. 重复步骤2，直到生成树包含所有节点。 选取的边及总权值为：AB(1)、BC(2)、CE(3)、AD(5)，总权值为11。

2. 该图可以使用邻接矩阵或邻接表来存储。下面是邻接矩阵的示例代码： ``` int graph[6][6] = { {0, 6, 1, 5, INF, INF}, {6, 0, 5, INF, 3, INF}, {1, 5, 0, 5, 6, 4}, {5, INF, 5, 0, INF, 2}, {INF, 3, 6, INF, 0, 6}, {INF, INF, 4, 2, 6, 0} }; ``` 其中，INF表示两个节点之间不存在边。 3. 普里姆算法和克鲁斯卡尔算法的实现代码如下： ```c++ // Prim算法求解最小生成树 void prim(int graph[][6], int n) { int parent[n]; // 记录每个节点的父节点 int key[n]; // 记录每个节点到生成树的最小距离 bool visited[n]; // 记录每个节点是否已经加入生成树 // 初始化 for (int i = 0; i < n; i++) { key[i] = INF; visited[i] = false; } key[0] = 0; // 选定0号节点作为起点 parent[0] = -1; // 根节点没有父节点 for (int i = 0; i < n - 1; i++) { // 选取key值最小的节点 int min_key = INF; int u; for (int j = 0; j < n; j++) { if (!visited[j] && key[j] < min_key) { min_key = key[j]; u = j; } } visited[u] = true; // 更新与u相邻的节点的key值和parent for (int v = 0; v < n; v++) { if (graph[u][v] != INF && !visited[v] && graph[u][v] < key[v]) { parent[v] = u; key[v] = graph[u][v]; } } } // 输出最小生成树的边 for (int i = 1; i < n; i++) { cout << parent[i] << " - " << i << " : " << graph[i][parent[i]] << endl; } } // Kruskal算法求解最小生成树 void kruskal(int graph[][6], int n) { int parent[n]; // 记录每个节点的父节点 int rank[n]; // 记录每个节点所在集合的秩 // 初始化 for (int i = 0; i < n; i++) { parent[i] = i; rank[i] = 0; } // 将边按权值从小到大排序 vector<pair<int, pair<int, int>>> edges; for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = i + 1; j < n; j++) { if (graph[i][j] != INF) { edges.push_back(make_pair(graph[i][j], make_pair(i, j))); } } } sort(edges.begin(), edges.end()); // 依次加入边，保证生成树不出现环 for (int i = 0; i < edges.size(); i++) { int u = edges[i].second.first; int v = edges[i].second.second; int w = edges[i].first; int parent_u = find(parent, u); int parent_v = find(parent, v); if (parent_u != parent_v) { cout << u << " - " << v << " : " << w << endl; union_set(parent, rank, parent_u, parent_v); } } } // 查找节点所在集合的根节点 int find(int parent[], int i) { if (parent[i] != i) { parent[i] = find(parent, parent[i]); } return parent[i]; } // 合并两个集合 void union_set(int parent[], int rank[], int x, int y) { int root_x = find(parent, x); int root_y = find(parent, y); if (root_x == root_y) { return; } if (rank[root_x] < rank[root_y]) { parent[root_x] = root_y; } else if (rank[root_x] > rank[root_y]) { parent[root_y] = root_x; } else { parent[root_y] = root_x; rank[root_x]++; } } ``` 4. 并查集可以用于判断两个节点是否连通，具体实现代码如下： ```c++ // 判断两个节点是否连通 bool is_connected(int parent[], int x, int y) { return find(parent, x) == find(parent, y); } // 查找节点所在集合的根节点 int find(int parent[], int i) { if (parent[i] != i) { parent[i] = find(parent, parent[i]); } return parent[i]; } // 合并两个集合 void union_set(int parent[], int rank[], int x, int y) { int root_x = find(parent, x); int root_y = find(parent, y); if (root_x == root_y) { return; } if (rank[root_x] < rank[root_y]) { parent[root_x] = root_y; } else if (rank[root_x] > rank[root_y]) { parent[root_y] = root_x; } else { parent[root_y] = root_x; rank[root_x]++; } } ```