c++分治法求斐波那契数列

分治法求解斐波那契数列的时间复杂度为 O(logn)。下面是使用 C++ 实现的代码： ```cpp #include <iostream> using namespace std; int fibonacci(int n) { if (n <= 1) { return n; } else { int a = fibonacci(n / 2); int b = fibonacci(n / 2 + 1); if (n % 2 == 0) { return a * (2 * b - a); } else { return b * b + a * a; } } } int main() { int n; cout << "Enter a positive integer: "; cin >> n; cout << "The " << n << "th Fibonacci number is " << fibonacci(n) << endl; return 0; } ``` 通过递归的方式，将大问题拆分为两个规模更小的子问题，然后递归求解，最终将子问题的解合并得到原问题的解。在这个过程中，可以利用斐波那契数列的性质，将问题规模缩小到原来的一半。

c++分治策略求解斐波那契数列

### C++ 分治法实现斐波那契数列分治算法的核心思想是将一个问题分解成若干个小问题分别解决，最终合并子问题的结果得到原问题的解。对于斐波那契数列而言，可以利用记忆化递归的方式来减少重复计算，从而提高效率。以下是基于分治策略并结合动态规划思想优化后的 C++ 示例代码： ```cpp #include <iostream> #include <unordered_map> using namespace std; class Solution { public: unordered_map<int, long long> memo; // 存储已经计算过的值 long long fib(int n) { if (n == 0) return 0; if (n == 1 || n == 2) return 1; // 如果已经有该值，则直接返回 if (memo.find(n) != memo.end()) { return memo[n]; } // 否则继续递归计算，并存储到哈希表中 memo[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2); return memo[n]; } }; int main() { Solution sol; int n; cout << "请输入要查询的斐波那契数位置: "; cin >> n; cout << "第 " << n << " 项的值为: " << sol.fib(n) << endl; return 0; } ``` #### 解析上述代码实现了带记忆化的分治方法来求解斐波那契数列中的某一项。具体说明如下： - 使用 `unordered_map` 数据结构保存已计算过的中间结果，避免重复计算相同的子问题[^3]。 - 当前函数调用时先检查目标值是否已经被缓存；如果存在，则直接返回缓存值，否则按照标准递推公式 \( F(n) = F(n-1) + F(n-2) \) 进行计算并将结果加入缓存[^1]。这种方法的时间复杂度接近于线性级别 O(N)，相比朴素递归版本显著降低了运行时间开销[^2]。

斐波那契数列c++分治

### C++ 中斐波那契数列的分治法实现以下是基于分治法的思想来计算斐波那契数列的一种高效方法。这种方法通过减少重复子问题的计算次数，显著提高了效率。 #### 分治法的核心思想分治法是一种将复杂问题分解成更小子问题的技术，并分别解决这些子问题后再组合其结果得到最终解答的方法[^1]。对于斐波那契数列而言，可以通过递归调用来逐步缩小问题规模，直到达到基本情形为止。下面是一个利用分治策略优化后的 C++ 程序： ```cpp #include <iostream> using namespace std; // 定义辅助函数用于返回 F(n), F(n-1) pair<long, long> fibonacciDivideConquer(long n); int main() { const int MAX_TERM = 50; for (long i = 0; i < MAX_TERM; ++i) { pair<long, long> result = fibonacciDivideConquer(i); cout << result.first << " "; } cout << endl; return 0; } pair<long, long> fibonacciDivideConquer(long n) { if (n == 0) return {0, 0}; // 边界条件处理 if (n == 1) return {1, 0}; pair<long, long> prevResult = fibonacciDivideConquer((n + 1) / 2); // 计算中间值 long a = prevResult.first; // F(k) long b = prevResult.second; // F(k-1) long c = a * ((b << 1) + a); // 使用矩阵快速幂原理得出 F(2k) long d = a * a + b * b; // 得到 F(2k-1) if (n % 2 == 0) { return {c, d}; } else { return {c + d, c}; } } ``` 上述代码实现了高效的分治算法版本的斐波那契数列生成器。它采用了 **矩阵乘法** 的性质加速运算过程，从而避免了传统递归方式中的大量冗余计算。 #### 关键点解析 1. 函数 `fibonacciDivideConquer` 返回的是当前项及其前一项组成的二元组 `(F(n), F(n-1))`。 2. 利用了公式 \( F(2k) = F(k)(2F(k+1)-F(k)), \quad F(2k+1) = F(k)^2 + F(k+1)^2\) 来进一步降低时间复杂度至 O(log n)。 3. 这种方法相比简单的递归形式具有更高的性能优势，尤其当输入数值较大时效果更加明显。 ---

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