设计算法以实现对无向图G的深度遍历,要求:将每一个连通分量中的顶点以一个表的形式输出。例如,下图的输出结果为:(1,3)(2,6,7,4,5,8)(9,10)【测试用例:物联网工程16级陈霄】 wuxiangtu.png 输入格式: 第一行包含两个整数N、M,表示该图共有N个结点(编号1-N)和M条无向边。(N<=30,M<= 200) (Hint 注意数据规模,任意爆)。 接下来M行每行包含三个整数Xi、Yi,表示有一条的无向边连接结点Xi、Yi 输出格式: 连通分量每行输出一个。 每行一个连通分量按照 该行的第一个元素的大小递增序排列。 在每一行的连通分量包含的点也应该按照元素的大小递增排列输出。 注意每个连通分量用()表示一组连通分量,每两个元素之间用一个,(英文状态,)分割。

时间: 2024-03-14 08:42:59 浏览: 186
算法思路: 1. 构建无向图的邻接表存储结构 2. 从每个未被访问的节点开始进行深度优先遍历 3. 遍历过程中将访问到的节点加入到当前连通分量中 4. 遍历完成后将当前连通分量按照从小到大的顺序输出 5. 重复2-4步骤,直到所有节点都被访问 算法实现: ```python from collections import defaultdict def dfs(node, visited, graph, component): visited[node] = True component.append(node) for neighbor in graph[node]: if not visited[neighbor]: dfs(neighbor, visited, graph, component) def find_connected_components(n, m, edges): graph = defaultdict(list) visited = [False] * (n+1) components = [] for u, v in edges: graph[u].append(v) graph[v].append(u) for node in range(1, n+1): if not visited[node]: component = [] dfs(node, visited, graph, component) components.append(component) for component in components: component.sort() print("("+",".join(str(x) for x in component)+")") if __name__ == "__main__": n, m = map(int, input().split()) edges = [] for _ in range(m): u, v = map(int, input().split()) edges.append((u, v)) find_connected_components(n, m, edges) ``` 算法分析: 时间复杂度:O(N+M),其中N为图的节点数,M为图的边数。因为每个节点和每条边都会被访问一次。 空间复杂度:O(N+M),因为需要存储图的邻接表和visited数组,以及最多可能的连通分量数。
阅读全文

相关推荐

静态链表示意图:2.2 顺序表与链表的比较存储密度比较:顺序表:只存储数据元素、预分配存储空间链表:指针的结构性开销、链表中的元素个数没有限制按位查找:顺序表:O(1),随机存取链表:O(n),顺序存取插入和删除:顺序表:O(n),平均移动表长一半的元素链表:不用移动元素,合适位置的指针——O(1)时间复杂度:顺序表:若线性表频繁查找却很少进行插入和删除操作链表:若线性表需频繁插入和删除时空间复杂度:顺序表:知道线性表的大致长度,空间效率会更高链表:若线性表中元素个数变化较大或者未知2.3 栈        定义:限定仅在一端(栈顶)进行插入和删除操作的线性表,后进先出。栈示意图:        时间复杂度(插入与删除):顺序栈与链栈均为O(1)        空间复杂度:链栈多一个指针域,结构性开销较大,使用过程中元素个数变化较大时,用链栈;反之顺序栈。        出栈元素不同排列的个数:   (卡特兰数)        共享栈: 两个栈共享一片内存空间, 两个栈从两边往中间增长。卡特兰数的应用:存储结构:顺序栈初始化:top=-1链栈初始化:top=NULL栈的应用:        1) 括号匹配        2) 递归        3) 中缀表达式 转 后缀表达式        4) 中缀表达式:设两个栈(数据栈和运算符栈),根据运算符栈的优先级进行运算。2.4 队列        定义: 只允许在一端插入, 在另一端删除。具有先进先出的特点。队列示意图:        时间复杂度:均为O(1)        空间复杂度:链队列多一个指针域,结构性开销较大;循环队列存在浪费空间和溢出问题。使用过程中元素个数变化较大时,用链队列;反之循环队列。        双端队列: 只允许从两端插入、两端删除的线性表。双端队列示意图: 存储结构:        链队列:队头指针指向队头元素的前一个位置,队尾指针指向队尾元素,先进先出。        循环队列:                1)队空:front=rear                2)队满:(rear+1)%QueueSize=front                3)队列元素个数:(队尾-队头+队长)%队长==(rear-front+QueueSize)%QueueSize队列的应用:        1) 树的层次遍历        2) 图的广度优先遍历2.4 数组与特殊矩阵一维数组的存储结构:二维数组的存储结构: 对称矩阵的压缩(行优先):下三角矩阵的压缩(行优先):  上三角(行优先):三对角矩阵的压缩(行优先):稀疏矩阵压缩:十字链表法压缩稀疏矩阵:2.5 串        串,即字符串(String)是由零个或多个字符组成的有限序列。串是一种特殊的线性表,数据元素之间呈线性关系。字符串模式匹配:        1)朴素模式匹配算法        2)KMP算法手算KMP的next数组示意图:求next[2] :求next[3]: 求next[4]: 求next[5]: C语言求KMP的next数组代码示例:void Createnext(char *sub, int *next){ assert(sub != NULL && next != NULL); int j = 2; //模式串的next指针 int k = 0; //next数组的回溯值,初始化为next[1]=0 int lenSub = strlen(sub); assert(lenSub != 0); next[0] = -1; next[1] = 0; while (j < lenSub){ if (sub[j-1] == sub[k]){ next[j] = ++k; j++; } else{ k = next[k]; if (k == -1){ k = 0; next[j] = k; j++; } } }}求nextValue:void nextValue(char *sub, int *next) { int lenSub = strlen(sub); for(int j=2;j<lensub; j++){ if(sub[j]==sub[next[j]]) next[j]=next[next[j]] }}备注:         1) 实现next有多种不同方式, 对应不同的next数组使用        2) 根据实现方式不同, next数组整体+1不影响KMP算法。第三章 树和二叉树3.1 树和森林        定义(树):n(n≥0)个结点(数据元素)的有限集合,当 n=0 时,称为空树。3.1.1 树的基本术语        结点的度:结点所拥有的子树的个数。        叶子结点:度为 0 的结点,也称为终端结点。        分支结点:度不为 0 的结点,也称为非终端结点。        孩子:树中某结点子树的根结点称为这个结点的孩子结点。        双亲:这个结点称为它孩子结点的双亲结点。        兄弟:具有同一个双亲的孩子结点互称为兄弟。        路径:结点序列 n1, n2, …, nk 称为一条由 n1 至 nk 的路径,当且仅当满足结点 ni 是 ni+1 的双亲(1<=i<k)的关系。        路径长度:路径上经过的边的个数。        祖先、子孙:如果有一条路径从结点 x 到结点 y,则 x 称为 y 的祖先,而 y 称为 x 的子孙。        结点所在层数:根结点的层数为 1;对其余结点,若某结点在第 k 层,则其孩子结点在第 k+1 层。        树的深度(高度):树中所有结点的最大层数。        树的宽度:树中每一层结点个数的最大值。        树的度:树中各结点度的最大值。        树的路径长度:  从根到每个结点的路径长度总和        备注: 在线性结构中,逻辑关系表现为前驱——后继,一对一; 在树结构中,逻辑关系表现为双亲——孩子,一对多。        森林: 森林是m(m≥0)棵互不相交的树的集合, m可为0, 即空森林。3.1.2 树的性质        结点数=总度数+1        度为m的树第 i 层至多有 个结点(i≥1)        高度为h的m叉树至多有 个结点        具有n个结点的m叉树的最小高度为 最小高度推理过程图:3.1.3 树与森林的遍历树的遍历:先根遍历(先根后子树)后根遍历(先子树后根)层序遍历森林的遍历:前序遍历(先根, 后子树)中序遍历(先子树后根, 其实就是后序遍历树)区别与联系:         1) 树的前序遍历等价于其树转化二叉树的前序遍历!        2) 树的后序遍历等价于其树转化二叉树的中序遍历!3.1.4 树的存储结构双亲表示法图:孩子表示法图:孩子兄弟表示法图(树/森林转化为二叉树):3.1.5 树转二叉树在树转为二叉树后, 有以下结论:        1) 树的叶子结点数量 = 二叉树左空指针数量(形象理解为树越宽, 兄弟越多, 越是向右长)        2) 树的非叶子结点数量 = 二叉树右空指针-1(非叶子必有儿子, 右指针由儿子提供, -1是根节点多了一个右空指针)3.2 二叉树3.2.1 二叉树的性质斜树:左斜树:所有结点都只有左子树的二叉树右斜树:所有结点都只有右子树的二叉树        满二叉树:所有分支结点都存在左子树和右子树,且所有叶子都在同一层上的二叉树        完全二叉树:在满二叉树中,从最后一个结点开始,连续去掉任意个结点得到的二叉树完全二叉树特点:叶子结点只能出现在最下两层且最下层的叶子结点都集中在二叉树的左面完全二叉树中如果有度为 1 的结点,只可能有一个,且该结点只有左孩子深度为 k 的完全二叉树在 k-1 层上一定是满二叉树在同样结点个数的二叉树中,完全二叉树的深度最小        性质:在二叉树中,如果叶子结点数为 n0,度为 2 的结点数为 n2,则有: n0=n2+1证明: 设 n 为二叉树的结点总数,n1 为二叉树中度为 1 的结点数,则有: n=n0+n1+n2        在二叉树中,除了根结点外,其余结点都有唯一的一个分枝进入,一个度为 1 的结点射出一个分枝,一个度为 2 的结点射出两个分枝,所以有:n=n1+2n2+1        性质:二叉树的第 i 层上最多有个结点(i≥1)        性质:一棵深度为 k 的二叉树中,最多有 个结点        性质:具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 向下取整+1 (或向上取整)证明:设具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 k,则:≤n  <对不等式取对数,有:k-1 ≤ <k即:<k ≤ +1由于 k 是整数,故必有k= +1         性质:对一棵具有 n 个结点的完全二叉树中从 1 开始按层序编号,对于任意的序号为 i(1≤i≤n)的结点(简称结点 i),有:如果 i>1,则结点 i 的双亲结点的序号为 i/2,否则结点 i 无双亲结点如果 2i≤n,则结点 i 的左孩子的序号为 2i,否则结点 i 无左孩子如果 2i+1≤n,则结点 i 的右孩子的序号为2i+1,否则结点 i 无右孩子        性质:若已知一棵二叉树的前序序列和中序序列,或者中序序列和后序序列,能唯一确定一颗二叉树。 3.2.2 二叉树的遍历        从根结点出发,按照某种次序访问树中所有结点,并且每个结点仅被访问一次。前序遍历(深度优先遍历)中序遍历后序遍历层序遍历(广度优先遍历)3.2.3 二叉树的存储链式存储图:顺序存储图:3.2.4 线索二叉树        利用二叉树中n+1个空指针, 将指针指向结点的前驱和后继。线索二叉树是加上线索的链表结构,  是一种物理结构存储结构:示例图:三种线索化的对比图: 各自特点:3.3 哈夫曼树和哈夫曼编码        带权路径长度(WPL):从根结点到各个叶子结点的路径长度与相应叶子结点权值的乘积之和        最优二叉树(哈夫曼树):给定一组具有确定权值的叶子结点,带权路径长度最小的二叉树特点:权值越大的叶子结点越靠近根结点只有度为 0 和度为 2 的结点,不存在度为 1 的结点构造过程中共新建了n-1个结点, 因此总结点数为2n-1        前缀编码:在一组编码中,任一编码都不是其它任何编码的前缀, 前缀编码保证了在解码时不会有多种可能。         度为m的哈夫曼树: 通过只有度为m和度为0求解非叶子结点 3.4 并查集        存储结构: 双亲表示法        实现功能: 并查(并两个集合, 查根结点)        优化: 小树并到大树, "高树变矮树"(压缩路径)第四章 图        定义:顶点集V和边集E组成,记为G = (V, E)        注意:线性表可以是空表,树可以是空树,但图不可以是空,即V一定是非空集, 边集E可以为空        子图:若图G=(V, E),G'=(V', E'),如果V' 属于 V 且E' 属于E,则称图G'是G的子图4.1 图的基本概念图的分类:        无向边:表示为(vi,vj),顶点vi和vj之间的边没有方向        有向边(弧):表示为<vi,vj>,从vi 到vj 的边有方向, vi为弧尾, vj为弧头        稠密图:边数很多的图        稀疏图:边数很少的图        无向完全图:无向图中,任意两个顶点之间都存在边        有向完全图:有向图中,任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧度、入度和出度:        顶点的度:在无向图中,顶点 v 的度是指依附于该顶点的边数,通常记为TD (v)        顶点的入度:在有向图中,顶点 v 的入度是指以该顶点为弧头的弧的数目,记为ID (v);        顶点的出度:在有向图中,顶点 v 的出度是指以该顶点为弧尾的弧的数目,记为OD (v);        握手定理: 路径:         回路(环):第一个顶点和最后一个顶点相同的路径        简单路径:序列中顶点不重复出现的路径        简单回路(简单环):除第一个和最后一个顶点外,其余顶点不重复出现的回路。        路径长度:非带权图——路径上边的个数        路径长度:带权图——路径上边的权值之和         极大连通子图: 连通的情况下, 包含尽可能多的边和顶点, 也称连通分量        极小连通子图: 删除该子图中任何一条b边, 子图不再连通, 如生成树无向连通图:        连通顶点:在无向图中,如果顶点vi和顶点vj(i≠j)之间有路径,则称顶点vi和vj是连通的        连通图:在无向图中,如果任意两个顶点都是连通的,则称该无向图是连通图        连通分量:非连通图的极大连通子图、连通分量是对无向图的一种划分连通分量示意图:有向强连通图、强连通分量:        强连通顶点:在有向图中,如果从顶点vi到顶点vj和从顶点vj到顶点vi均有路径,则称顶点vi和vj是强连通的        强连通图:在有向图中,如果任意两个顶点都是强连通的,则称该有向图是强连通图        强连通分量:非强连通图的极大连通子图强连通分量示意图: 子图与生成子图:常考点无向图:        所有顶点的度之和=2|E|        若G是连通图,则最少有 n-1 条边(树),若 |E|>n-1,则一定有回路        若G是非连通图,则最多可能有 条边 (n-1个完全图+1个孤点)        无向完全图共有条边有向图:        所有顶点的出度之和=入度之和=|E|        所有顶点的度之和=2|E|        若G是强连通图,则最少有 n 条边(形成回路)        有向完全图共有条边图的遍历:从图中某一顶点出发访问图中所有顶,并且每个结点仅被访问一次。深度优先遍历序列(dfs)广度优先遍历序列(bfs)    备注:  调⽤BFS/DFS函数的次数 = 连通分量数4.2 图的存储结构 邻接矩阵:一维数组:存储图中顶点的信息二维数组(邻接矩阵):存储图中各顶点之间的邻接关系特点:一个图能唯一确定一个邻接矩阵,存储稀疏图时,浪费空间。空间复杂度为: O()。示意图:性质 (行*列) :邻接表:顶点表:所有边表的头指针和存储顶点信息的一维数组边表(邻接表):顶点 v 的所有邻接点链成的单链表示意图:特点:空间复杂度为:O(n+e), 适合存储稀疏图。两者区别:十字链表法图:备注:         1) 十字链表只用于存储有向图        2) 顺着绿色线路找: 找到指定顶点的所有出边        3) 顺着橙色线路找: 找到指定顶点的所有入边        4) 空间复杂度:O(|V|+|E|)邻接多重表图:备注:        1) 邻接多重表只适用于存储无向图        2) 空间复杂度:O(|V|+|E|)四者区别: 4.3 最小生成树        生成树:连通图的生成树是包含全部顶点的一个极小连通子图, 可用DFS和BFS生成。        生成树的代价:在无向连通网中,生成树上各边的权值之和        最小生成树:在无向连通网中,代价最小的生成树        性质: 各边权值互不相等时, 最小生成树是唯一的。边数为顶点数-1生成森林示意图:4.3.1 Prim算法        从某⼀个顶点开始构建⽣成树;每次将代价最⼩的新顶点纳⼊⽣成树,直到所有顶点都纳⼊为⽌。基于贪心算法的策略。        时间复杂度:O(|V|2) 适合⽤于边稠密图。4.3.2 Kruskal 算法(克鲁斯卡尔)        每次选择⼀条权值最⼩的边,使这条边的两头连通(原本已经连通的就不选), 直到所有结点都连通。基于贪心算法的策略。        时间复杂度:O( |E|log2|E| ) 适合⽤于边稀疏图。4.4 最短路径        非带权图: 边数最少的路径(广度优先遍历)        带权图: 边上的权值之和最少的路径4.4.1 Dijkstra算法        时间复杂度:O(n2)        备注: Dijkstra 算法不适⽤于有负权值的带权图4.4.2 Floyd算法核心代码:        时间复杂度:O(n3)        备注: 可以⽤于负权值带权图, 不能解决带有“负权回路”的图三者区别:4.5 有向⽆环图(DAG)描述表达式 (简化前) :描述表达式 (简化后) :4.6 拓扑排序        AOV⽹(Activity On Vertex NetWork,⽤顶点表示活动的⽹): ⽤DAG图(有向⽆环图)表示⼀个⼯程。顶点表示活动,有向边表示活动Vi必须先于活动Vj进⾏如图:拓扑排序的实现:        ① 从AOV⽹中选择⼀个没有前驱(⼊度为0)的顶点并输出。        ② 从⽹中删除该顶点和所有以它为起点的有向边。        ③ 重复①和②直到当前的AOV⽹为空或当前⽹中不存在⽆前驱的顶点为⽌。逆拓扑排序(可用DFS算法实现):        ① 从AOV⽹中选择⼀个没有后继(出度为0)的顶点并输出。        ② 从⽹中删除该顶点和所有以它为终点的有向边。        ③ 重复①和②直到当前的AOV⽹为空备注: 上三角(对角线为0)矩阵, 必不存在环, 拓扑序列必存在, 但拓扑不唯一。(拓扑唯一, 图不唯一)4.7 关键路径        在带权有向图中,以顶点表示事件,以有向边表示活动,以边上的权值表示完成该活动的开销(如完成活动所需的时间),称之为⽤边表示活动的⽹络,简称AOE⽹示意图:        关键活动: 从源点到汇点的有向路径可能有多条,所有路径中,具有最⼤路径⻓度的路径称为 关键路径,⽽把关键路径上的活动称为关键活动。        事件vk的最早发⽣时间: 决定了所有从vk开始的活动能够开⼯的最早时间。        活动ai的最早开始时间: 指该活动弧的起点所表⽰的事件的最早发⽣时间。        事件vk的最迟发⽣时间: 它是指在不推迟整个⼯程完成的前提下,该事件最迟必须发⽣的时间。        活动ai的最迟开始时间: 它是指该活动弧的终点所表示事件的最迟发⽣时间与该活动所需时间之差。        活动ai的时间余量:表⽰在不增加完成整个⼯程所需总时间的情况下,活动ai可以拖延的时间。d(k)=0的活动就是关键活动, 由关键活动可得关键路径。示例图:第五章 查找        静态查找 :不涉及插入和删除操作的查找        动态查找 :涉及插入和删除操作的查找        查找⻓度: 在查找运算中,需要对⽐关键字的次数称为查找⻓度        平均查找长度:衡量查找算法的效率公式:5.1 顺序查找(线性查找):        顺序查找适合于存储结构为顺序存储或链接存储的线性表。  基本思想:从数据结构线形表的一端开始,顺序扫描,依次将扫描到的结点关键字与给定值k相比较,若相等则表示查找成功;若扫描结束仍没有找到关键字等于k的结点,表示查找失败。        时间复杂度: O(n)。有序顺序查找的ASL图:        无序查找失败时的平均查找长度:  n+1次 (带哨兵的情况)5. 2 折半查找:        元素必须是有序的,顺序存储结构。判定树是一颗平衡二叉树, 树高 (由n=-1得来)。        基本思想:用给定值k先与中间结点的关键字比较,中间结点把线形表分成两个子表,若相等则查找成功;若不相等,再根据k与该中间结点关键字的比较结果确定下一步查找哪个子表。        公式:mid=(low+high)/2, 即mid=low+1/2*(high-low);           1)相等,mid位置的元素即为所求           2)>,low=mid+1;                3)<,high=mid-1。        时间复杂度: 二叉判定树的构造:         备注:对于静态查找表,一次排序后不再变化,折半查找能得到不错的效率。但对于需要频繁执行插入或删除操作的数据集来说,不建议使用。失败结点的ASL不是方形结点, 而是其父节点。5.3 分块查找        分块查找,⼜称索引顺序查找。        基本思想:将查找表分为若干子块, 块内的元素可以无序, 块间的元素是有序的, 即前一个快的最大元素小于后一个块的最大元素。再建立索引表, 索引表中的每个元素含有各块的最大关键字和第一个元素的地址。索引表按关键字有序排列。示意图:备注:         1) 设索引查找和块内查找的平均查找⻓度分别为LI、LS,则分块查找的平均查找⻓度为ASL=LI + LS        2) 将长度为n的查找表均匀分为b块, 每块s个记录, 在等概率情况下, 若在块内和索引表中均采用顺序查找, 则平均查找长度为:5.4 二叉排序树        又称二叉查找树(BST,Binary Search Tree), 是具有如下性质的二叉树:左子树结点值 < 根结点值 < 右子树结点值        二叉排序树的插入:  新插入的结点 一定是叶子。二叉排序树的删除        1) 情况一, 删除叶结点, 直接删除        2) 情况二, 待删除结点只有一颗子树, 让子树代替待删除结点        3) 情况三, 待删除结点有左, 右子树, 则令待删除的直接前驱(或直接后继(中序遍历))代替待删除结点。示意图: (30为直接前驱, 60为直接后继)平均查找效率: 主要取决于树的高度。时间复杂度: 5.5 平衡二叉树        简称平衡树(AVL树), 树上任一结点的左子树和右子树的 高度之差不超过1。 结点的平衡因子=左子树高-右子树高。平衡二叉树的插: LL型:RR型:RL型:LR型:        平衡二叉树的删除: 同上考点:        假设以表示深度为h的平衡树中含有的最少结点数。 则有 = 0, = 1, = 2,并且有=  +          时间复杂度: 5.6 红黑树        与AVL树相比, 插入/删除 很多时候不会破坏“红黑”特性,无需频繁调整树的形态。因为AVL是高度差严格要求不超过1, 红黑树高度差不超过2倍, 较为宽泛。定义:        ①每个结点或是红色,或是黑色的        ②根节点是黑色的        ③叶结点(外部结点、NULL结点、失败结点)均是黑色的        ④不存在两个相邻的红结点(即红结点的父节点和孩子结点均是黑色)        ⑤对每个结点,从该节点到任一叶结点的简单路径上,所含黑结点的数目相同        口诀: 左根右,根叶黑 不红红,黑路同示例图:性质:        性质1:从根节点到叶结点的最长路径不大于最短路径的2倍 (红结点只能穿插 在各个黑结点中间)        性质2:有n个内部节点的红黑树高度          结论: 若根节点黑高为h,内部结点数(关键字)最多有 , 最少有示例图:红黑树的插入操作:红黑树的插入示例图:         红黑树的删除: 和“二叉排序树的删除”一样! 具体还是算了吧, 放过自己。。。        时间复杂度: 5.7 B树        B树,⼜称多路平衡查找树,B树中所被允许的孩⼦个数的最⼤值称为B树的阶,通常⽤m表示。 m阶B树的特性:        1)树中每个结点⾄多有m棵⼦树,即⾄多含有m-1个关键字。        2)若根结点不是终端结点,则⾄少有两棵⼦树。        3)除根结点外的所有⾮叶结点⾄少有 棵⼦树,即⾄少含有个关键字。         4) 所有的叶结点都出现在同⼀层次上,并且不带信息, ( 指向这些结点的指针为空 ) 。        5) 最小高度:    (n为关键字, 注意区分结点)        6) 最大高度:         7) 所有⼦树⾼度要相同        8) 叶结点对应查找失败的情况, 即n个关键字有n+1个叶子结点示例图: B树的插入(5阶为例):B树的删除:        1) 若被删除关键字在终端节点,则直接删除该关键字 (要注意节点关键字个数是否低于下限 ⌈m/2⌉ − 1)        2) 若被删除关键字在⾮终端节点,则⽤直接前驱或直接后继来替代被删除的关键字 删除77:删除38:删除90:        3) 若被删除关键字所在结点删除前的关键字个数低于下限,且此时与该结点相邻的左、右兄弟结 点的关键字个数均=⌈m/2⌉ − 1,则将关键字删除后与左(或右)兄弟结点及双亲结点中的关键字进⾏合并 删除49: 5.8 B+树⼀棵m阶的B+树需满⾜下列条件        1)每个分⽀结点最多有m棵⼦树(孩⼦结点)。        2)⾮叶根结点⾄少有两棵⼦树,其他每个分⽀结点⾄少有 ⌈m/2⌉ 棵⼦树。        3)结点的⼦树个数与关键字个数相等。        4)所有叶结点包含全部关键字及指向相应记录的指针,叶结点中将关键字按⼤⼩顺序排列,并且相邻叶结点按⼤⼩顺序相互链接起来        5)所有分⽀结点中仅包含它的各个⼦结点中关键字的最⼤值及指向其⼦结点的指针。所有⾮叶结点仅起索引作⽤,        6) 所有⼦树⾼度要相同B+树示例图:B+树与B树的对比图:5.9 哈希表(Hash)        根据数据元素的关键字 计算出它在散列表中的存储地址。        哈希函数: 建⽴了“关键字”→“存储地址”的映射关系。        冲突(碰撞):在散列表中插⼊⼀个数据元素时,需要根据关键字的值确定其存储地址,若 该地址已经存储了其他元素,则称这种情况为“冲突(碰撞)”        同义词:若不同的关键字通过散列函数映射到同⼀个存储地址,则称它们为“同义词”        复杂度分析:对于无冲突的Hash表而言,查找复杂度为O(1) 5.9.1 构造哈希函数        1) 除留余数法 —— H(key) = key % p, 取⼀个不⼤于m但最接近或等于m的质数p        适⽤场景:较为通⽤,只要关键字是整数即可        2) 直接定址法 —— H(key) = key 或 H(key) = a*key + b        适⽤场景:关键字分布基本连续        3) 数字分析法 —— 选取数码分布较为均匀的若⼲位作为散列地        适⽤场景:关键字集合已知,且关键字的某⼏个数码位分布均匀        4) 平⽅取中法(二次探测法)——取关键字的平⽅值的中间⼏位作为散列地址        适⽤场景:关键字的每位取值都不够均匀。5.9.2 处理冲突拉链法示意图:开放定址法:        1) 线性探测法        2) 平⽅探测法        3) 双散列法        4) 伪随机序列法示意图:        删除操作: 采用开放定址法时, 只能逻辑删除。        装填因子: 表中记录数 / 散列表长度 。        备注: 平均查找长度的查找失败包含不放元素的情况。(特殊: 根据散列函数来算: 2010真题)        聚集: 处理冲突的方法选取不当,而导致不同关键字的元素对同一散列地址进行争夺的现象第六章 排序        稳定 :如果a原本在b前面,而a=b,排序之后a仍然在b的前面;        内排序 :所有排序操作都在内存中完成;        外排序 :由于数据太大,因此把数据放在磁盘中,而排序通过磁盘和内存的数据传输才能进行。参考博客:超详细十大经典排序算法总结(java代码)c或者cpp的也可以明白_Top_Spirit的博客-CSDN博客6.1 直接插入排序动图演示:         优化: 折半插入排序6.2 希尔排序        又称缩小增量排序, 先将待排序表分割成若⼲形如 L[i, i + d, i + 2d,…, i + kd] 的“特殊”⼦表,对各个⼦表分别进⾏直接插⼊排序。缩⼩增量d,重复上述过程,直到d=1为⽌。建议每次将增量缩⼩⼀半。示例图:6.3 冒泡排序动图演示:6.4 快速排序算法思想:        1) 在待排序表L[1…n]中任取⼀个元素pivot作为枢轴(或基准)        2) 通过⼀趟排序将待排序表划分为独⽴的两部分L[1…k-1]和L[k+1…n],使得L[1…k-1]中的所有元素⼩于pivot,L[k+1…n]中的所有元素⼤于等于 pivot,则pivot放在了其最终位置L(k)上,这个过程称为⼀次“划分”。        3) 然后分别递归地对两个⼦表重复上述过程,直每部分内只有⼀个元素或空为⽌,即所有元素放在了其最终位置上。示例图:  6.5 简单选择排序        算法思想: 每⼀趟在待排序元素中选取关键字最⼩的元素加⼊有序⼦序列。动画演示:6.6 堆排序        ⼤根堆: 若满⾜:L(i)≥L(2i)且L(i)≥L(2i+1) (1 ≤ i ≤n/2 )        ⼩根堆: 若满⾜:L(i)≤L(2i)且L(i)≤L(2i+1) (1 ≤ i ≤n/2 )大根堆示例图:6.6.1 建立大根堆        思路:从开始, 把所有⾮终端结点都检查⼀遍,是否满足大根堆的要求,如果不满⾜,则进⾏调整。若元素互换破坏了下⼀级的堆,则采⽤相同的方法继续往下调整(⼩元素不断“下坠”)小元素下坠示例图:          结论: 建堆的过程,关键字对⽐次数不超过4n,建堆时间复杂度=O(n)6.6.2 堆的插入与删除        插入: 将新增元素放到表尾, 而后根据大小根堆进行上升调整。        删除: 被删除的元素⽤堆底元素替代,然后让该 元素不断“下坠”,直到⽆法下坠为⽌排序动图演示:6.7 归并排序        该算法是采用分治法, 把两个或多个已经有序的序列合并成⼀个。2路归并图:        结论:n个元素进⾏k路归并排序,归并趟数= 6.8 基数排序 (低位优先)        基数排序是非比较的排序算法,对每一位进行排序,从最低位开始排序,复杂度为O(kn),为数组长度,k为数组中的数的最大的位数;动图演示:         时间复杂度: ⼀趟分配O(n),⼀趟收集O(r),总共 d 趟分配、收集,总的时间复杂度=O(d(n+r)) , 其中把d为关键字拆 为d个部分, r为每个部分可能 取得 r 个值。基数排序适用场景:        ①数据元素的关键字可以⽅便地拆分为 d 组,且 d 较⼩        ②每组关键字的取值范围不⼤,即 r 较⼩        ③数据元素个数 n 较⼤如:内部排序总结:         基本有序:  直接插入(比较最少), 冒泡(趟数最少)6.9 外部排序        数据元素太多,⽆法⼀次全部读⼊内存进⾏排序, 读写磁盘的频率成为衡量外部排序算法的主要因素。示例图:多路归并:        结论: 采⽤多路归并可以减少归并趟数,从⽽减少磁盘I/O(读写)次数。对 r 个初始归并段,做k路归并,则归并树可⽤ k 叉树表示 若树⾼为h,则归并趟数 = h-1 = 。K越大, r越小, 读写磁盘次数越少。(缺点: k越大, 内部排序时间越大)6.9.1 败者树        使⽤k路平衡归并策略,选出⼀个最小元素需要对⽐关键字 (k-1)次,导致内部归并所需时间增加。因此引入败者树。示例图:        结论: 对于 k 路归并,第⼀次构造败者 树需要对⽐关键字 k-1 次 , 有了败者树,选出最⼩元素,只需对⽐关键字次6.9.2 置换-选择排序        使用置换-选择排序可以减少初始化归并段。示意图: 6.9.3 最佳归并树原理图:        注意:对于k叉归并,若初始归并段的数量⽆法构成严格的 k 叉归并树, 则需要补充⼏个⻓度为 0 的“虚段”,再进⾏ k 叉哈夫曼树的构造。示例图: 添加虚段数目: 难点:结束!  !  !注: 以上部分图片素材来自王道数据结构我要的图文并茂关注

最新推荐

recommend-type

广州大学 数据结构实验报告 实验三 图的操作与实现

- **克鲁斯卡尔(Kruskal)算法**:按边的权重从小到大排序,然后尝试添加每一条边,如果添加这条边不会形成环路(即边的两个端点不在同一个连通分量中),则将其加入最小生成树。这种方法适合稀疏图,因为边的添加...
recommend-type

02.《大数据》配套之二:-数据采集与预处理PPT.ppt

02.《大数据》配套之二:-数据采集与预处理PPT.ppt
recommend-type

19年国赛服务器答案深度解析:网络搭建与应用

网络搭建与应用是一门涉及计算机网络规划、配置、管理和维护的技术学科。在19年的国家竞赛中,参与者需要展示他们对网络架构、网络设备、协议、安全等方面的知识,以及他们在真实世界问题解决中的实际应用能力。在网络搭建与应用19国赛服务器答案中,涉及的知识点可能包括但不限于以下几个方面: 1. 网络基础知识 - 了解网络的基本概念,包括网络的定义、分类(如LAN、WAN等)、网络的功能和网络协议栈(如TCP/IP模型)。 - 理解网络设备的功能和作用,例如交换机、路由器、防火墙等。 - 掌握网络通信的基本原理,包括数据链路层、网络层、传输层和应用层的协议和功能。 2. 网络设计与规划 - 学习如何根据不同的需求设计网络拓扑结构,例如星形、环形、总线型等。 - 掌握IP地址规划和子网划分的方法,如CIDR、VLSM等技术。 - 了解如何进行网络流量分析和带宽规划,以确保网络性能和稳定性。 3. 网络设备配置与管理 - 掌握交换机和路由器的配置命令,例如VLAN划分、路由协议配置、端口安全等。 - 理解网络设备的管理和维护策略,包括日志管理、性能监控和故障诊断。 4. 网络安全 - 学习网络安全的基本原则,包括数据加密、访问控制、入侵检测系统(IDS)和入侵防御系统(IPS)。 - 掌握常见的网络攻击手段及其防御措施,例如DDoS攻击、ARP欺骗、病毒和恶意软件的防御。 5. 服务器搭建与应用 - 了解不同类型的服务器和它们的应用场景,如Web服务器、数据库服务器、邮件服务器等。 - 学习服务器的安装、配置和管理方法,包括操作系统的安装、服务软件的部署、用户管理等。 6. 实践操作 - 通过搭建真实或虚拟的网络环境来实践理论知识,包括使用网络模拟软件(如GNS3、Packet Tracer等)进行网络设备配置和故障排除。 - 学习如何准备和参加网络相关的竞赛,包括时间管理和应对突发问题的策略。 在给定的压缩包子文件的文件名称列表中,“19年国赛服务器的答案”表明该文件包含具体的竞赛解答步骤和方法。文件可能涉及的是如何根据具体的网络搭建与应用的题目,一步一步地提供解题策略、配置命令和执行步骤等。具体内容可能包括: - 对竞赛题目需求的分析和理解。 - 对应的网络设计解决方案和实现步骤。 - 关键的配置命令和参数设置。 - 对于各种网络功能和安全性的测试方法。 - 可能遇到的问题及其解决方案。 综上所述,对于网络搭建与应用19国赛服务器答案的深入学习和掌握,能够帮助专业人士和学生扩展网络知识,提高解决复杂网络问题的能力,并为将来的IT行业工作奠定扎实的基础。通过针对竞赛题目的实际操作演练,还能增强个人的实践技能和创新思维能力。
recommend-type

【VS2010模块化秘籍】:提升项目管理效率的10个技巧

# 1. VS2010模块化编程概述 在现代软件开发中,模块化编程已经成为提高代码质量和促进团队协作的关键技术之一。本章将介绍在Visual Studio 2010(VS2010)环境中如何理解和实施模块化编程。 ## 1.1 什么是模块化编程? 模块化编程是一种组织程序结构的方法,将程序分解为独立且可管理的模块,每个模块实现一个特定的功能。在V
recommend-type

数据分析师发展前景

<think>嗯,用户现在想了解数据分析师的职业发展和未来前景。根据之前的对话,用户是土木本科想转行,之前我建议过数据分析作为可能的方向之一,现在他可能想更深入了解这个领域的潜力。 首先,我需要参考之前提供的引用内容。引用1提到了数据分析师的职业路径,从专员到专家,还有技能提升的重要性。引用2和3强调了行业需求增长和技能的必要性,引用4则讨论了成为行业专家的长期发展优势。这些都需要整合到回答中。 用户的问题集中在职业前景和趋势,所以我要覆盖市场需求、职业阶段、技能要求、行业趋势和转行建议。考虑到用户是转行者,需要突出土木背景如何与数据分析结合,比如提到的BIM、GIS或者工程数据分析,这样
recommend-type

Elasticsearch及IK分词器安装包资源汇总

标题中提到的知识点包括Elasticsearch安装包和IK分词器,这是进行搜索引擎搭建和数据文本分析的重要组件。Elasticsearch是一个基于Lucene构建的开源搜索引擎,具有水平可伸缩性、高可用性和易用性的特点。它提供了全文搜索功能,同时支持结构化搜索和分析,常被用于大数据分析场景中。 描述中涉及的版本信息表明了所附的安装包和分词器支持不同版本的Elasticsearch。Elasticsearch版本6.x和7.x分别对应了两个主要的版本线,而IK分词器是专门为Elasticsearch设计的中文分词插件。 IK分词器是一款支持中文分词的扩展插件,可以根据中文语境进行智能分词,包括正向匹配、正向最大匹配和逆向最大匹配等算法,对中文文本进行处理。分词器的版本通常会与Elasticsearch的版本相匹配,以保证兼容性和最佳性能。 提到的logstash是与Elasticsearch配合使用的数据处理管道工具,负责收集、处理和转发数据。logstash可以作为事件的中介来处理各种来源的数据,然后将其发送到Elasticsearch进行存储。本压缩包中的logstash-6.4.3.tar.gz对应的版本表明了它的兼容性,适用于Elasticsearch 6.x版本。 压缩包文件名称列表中的文件包含了不同软件的多个版本。其中,“elasticsearch-head-master.zip”是一个可以对Elasticsearch进行可视化管理的Chrome插件,它提供了包括集群管理、索引管理、数据操作和查询在内的功能。 另外,“mysql-connector-java-5.1.41.jar”是一个MySQL数据库的Java驱动程序,用于连接Java应用程序和MySQL数据库,但这似乎与Elasticsearch及IK分词器直接关联不大,可能是一个辅助组件,用于在某些集成场景下将数据从MySQL迁移到Elasticsearch。 从标签内容来看,Elasticsearch被归类于源码软件、大数据和搜索引擎类别。它是一个重要的大数据处理组件,特别是在全文搜索和文本分析领域。在大数据背景下,Elasticsearch凭借其卓越的搜索和分析能力,已经成为企业构建和维护搜索引擎的首选技术之一。 总结来说,本次提供的压缩包包含了多个关键组件,它们共同支持构建一个功能强大的搜索引擎和数据分析平台。Elasticsearch自身及其配套的IK分词器、logstash和可视化插件elasticsearch-head,均对大数据和搜索领域有着重要意义。尽管这些工具具有复杂性,但它们的组合使用使得数据的索引、搜索、可视化和分析变得简单、快速和强大。
recommend-type

从零开始:Axure插件开发入门指南,构建自定义Chrome工具

# 摘要 随着原型设计工具Axure RP的广泛应用,定制化插件开发变得日益重要。本文旨在为开发者提供一个完整的Axure插件开发指南,从基础概念到环境搭建,再到核心编程和界面定制,最终实现交互逻辑与发布维护。通过详细解析插件的API、JavaScript编程、数据管理、界面设计及发布流程,本文帮助开发者深入理解并掌握Axure插件开发的关键技术,确保开发过程的高效性和插件的稳定运行。 # 关键字 Axur
recommend-type

代码错误,修改代码

<think>好的,用户说代码有错误,需要修改。首先我得仔细看看之前的代码哪里有问题。题目是关于彩灯的操作和查询,每个彩灯有一个周期k_i,每次操作区间加1,查询时判断当前按动次数是否为k_i的倍数。 首先,用户提供的代码使用了树状数组(Fenwick Tree)来维护差分数组,实现区间加和单点查询。但可能存在一些问题。比如,树状数组的差分处理是否正确? 在区间更新时,原代码是add(l, 1)和add(r+1, -1),这应该是正确的差分方法。当查询单点x时,sum(x)得到的是从1到x的累计值,也就是该点的实际操作次数。这部分逻辑看起来没问题。 但可能的问题在于,当k_i的值很大时,
recommend-type

筹资风险分析模板:Excel高效风险评估工具

Excel模板筹资风险分析.zip是一个用于财务风险分析的工具包,它可能包含了一个名为“筹资风险分析.xlsx”的Excel文件,这个文件被压缩在ZIP格式的压缩包中。下面将详细说明这个Excel模板中可能包含的知识点: 1. 筹资风险概念: 筹资风险指的是企业在筹资过程中由于各种不确定因素的影响,使得企业实际获得的筹资成本高于预期成本,或者筹资方式、筹资渠道未能达到预期目的,从而对企业财务状况和经营成果产生不利影响的可能性。筹资风险可以来源于金融市场波动、债务利率上升、企业信用评级下降等因素。 2. Excel在财务分析中的应用: Excel作为一个强大的电子表格软件,广泛应用于各种财务数据分析和管理中。它具备数据处理、图表制作、公式计算等功能,非常适合用来制作财务模型、进行预算编制、风险分析等任务。筹资风险分析中,Excel可以帮助用户进行敏感性分析、情景模拟和概率分析等。 3. 筹资风险分析的关键要素: - 资本结构:分析企业的债务与权益比例,评估不同筹资方式对资本结构的影响。 - 债务成本:估算企业债务的利率和偿还期限,考虑利率风险和偿债压力。 - 股权成本:计算股权筹资的期望回报率,评估股权稀释的影响。 - 流动性风险:考虑筹资后的资金流动性,确保企业运营资金的充足性。 - 筹资成本:计算不同筹资方式的综合成本,比较各种筹资渠道的经济性。 4. Excel模板筹资风险分析.xlsx可能包含的功能: - 数据录入区:用于输入企业的财务数据和筹资相关的具体参数。 - 计算引擎:使用Excel公式和函数来计算筹资成本、预期回报率等关键指标。 - 情景分析表:通过调整不同的变量,模拟出不同的筹资情景,分析其对企业财务状况的影响。 - 敏感性分析:评估筹资参数变动对企业风险和回报的影响程度。 - 图表展示:将分析结果以图表的形式展现出来,比如使用条形图、折线图和饼图等,直观展示风险和回报的对比。 - 结论和建议:根据分析结果提供筹资策略的优化建议。 5. 筹资风险分析的实施步骤: - 明确分析目标:确定分析筹资风险的目的和需要关注的关键点。 - 收集数据:搜集相关的市场数据、企业财务报表、筹资计划等。 - 构建模型:在Excel中根据筹资风险分析的理论框架构建分析模型。 - 输入参数:将收集到的数据输入到Excel模型中。 - 运行分析:利用Excel的数据处理能力,执行必要的计算和分析。 - 解读结果:分析输出结果,并据此解读筹资风险水平。 - 制定策略:基于分析结果,提出筹资策略和风险控制措施。 6. 筹资风险分析的应用场景: 筹资风险分析不仅可以用于企业自身的筹资决策过程中,还可以在投资评估、财务咨询、风险管理和战略规划等领域发挥作用。在企业层面,它可以辅助管理层和财务部门制定更为稳健和有效的资金筹集计划;在咨询领域,可以为投资者提供分析企业的筹资活动和风险状况的专业意见;在学术研究中,筹资风险分析是研究企业资本结构和企业价值的重要工具。 7. 筹资风险分析的局限性: 尽管Excel模板筹资风险分析提供了有力的工具,但也存在局限性。模型依赖于准确的数据输入,如果假设或数据有误,将影响分析结果的可靠性。此外,市场环境的变化、政策的调整以及其他不可预测的因素都可能对筹资风险造成影响,这些在模型中可能难以全面考虑。 通过使用Excel模板筹资风险分析.zip内的筹资风险分析.xlsx文件,企业可以更有效地进行筹资风险管理,制定出更合理的筹资策略,从而降低财务风险,提高企业的整体价值。
recommend-type

【Z460_Z560 BIOS升级终极指南】:29CN41WW版本升级,性能提升,故障排除

# 摘要 本文探讨了BIOS升级的必要性、益处以及相关风险和解决策略。首先,概述了BIOS的基础概念和版本更新的重要性,接着详细解读了特定笔记本型号Z460/Z560的BIOS架构和升级步骤。文章进一步分析了BIOS升级对于笔记本性能提升的影响,并提供了详细的故障诊断和排除方法。最后,通过分享实际升级案例,总结了BIOS升级的最佳实践和专业建议。本文旨在帮助技术用户深入理解BIOS升级的过程及