C++：一个正整数n（n<10000），求1~n之间（包含1和n）所有不能被7整除的整数之和，并将和输出。

<think>好的，我现在需要解决用户提出的问题：在给定范围[a, b]内找到第一个同时能被m和n整除的数，如果没有则输出"No"。用户希望用C++实现。让我仔细思考一下解决这个问题的方法。 首先，我得理解题目要求。输入是四个整数a、b、m、n，其中1 < a <= b < 1000，而m和n的范围是1到100。要找出a到b之间第一个同时能被m和n整除的数。如果不存在这样的数，就输出"No"。 那问题的核心是如何判断一个数是否能同时被m和n整除。这里的关键点在于，能被m和n同时整除的数，也就是它们的公倍数。那这样的数一定是m和n的最小公倍数（LCM）的倍数。所以，或许应该先计算m和n的最小公倍数，然后在[a, b]范围内寻找这个最小公倍数的倍数是否存在，并找到第一个出现的那个。 那如何计算最小公倍数呢？最小公倍数可以通过最大公约数（GCD）来计算。公式是LCM(m, n) = m * n / GCD(m, n)。所以，我需要先实现一个求GCD的函数，然后用它来计算LCM。 接下来，在计算得到LCM之后，我需要遍历a到b之间的每一个数，找到第一个能被LCM整除的数。如果找到这样的数，就输出它；否则输出"No"。 但是，这里有个问题，如果m和n的乘积可能很大，比如当m和n都接近100时，乘积是10000，但除以GCD之后可能得到的LCM可能更小。比如，当m和n互质时，LCM就是它们的乘积。这时候，如果这个LCM超过了b的范围，那么可能找不到符合条件的数。 所以步骤应该是： 1. 计算m和n的GCD。 2. 计算LCM = m * n / GCD。注意这里可能会溢出，因为m和n都是最多100，所以乘积是10000，对于int类型来说没有问题（假设int是32位的话）。 3. 如果LCM为0的情况？不可能，因为m和n都是至少1，所以LCM至少是1。 4. 遍历从a到b的每个数，检查是否能被LCM整除。找到第一个满足条件的就返回。 5. 如果遍历完都没找到，输出"No"。 但这里有一个问题，比如当LCM很大的时候，可能直接超过b，这时候不需要遍历整个区间。比如，假设a=5，b=10，而LCM是15，那么显然在5到10之间没有符合条件的数。这时候应该直接判断是否在区间内存在LCM的倍数。或者，可以计算第一个大于等于a的LCM的倍数，然后看是否小于等于b。 比如，计算第一个大于等于a的数，且是LCM的倍数的数。可以用这样的方式：起始数start = ((a + LCM - 1) / LCM) * LCM。这其实是向上取整到最近的LCM倍数。如果这个start <=b，则存在，否则不存在。 这样，可以避免遍历整个区间，特别是在区间较大而LCM较大的情况下，提高效率。比如当a=1，b=1e9的时候，遍历会非常耗时，而直接计算的话只需要O(1)的时间。但用户给出的a和b的范围是到1000，所以遍历可能不会有问题。不过，作为优化，可以采用计算的方法。 那用户的问题是要求第一个符合条件的数。那么，这两种方法都可以。比如，遍历的话，从a开始到b，一旦找到能被LCM整除的数，立即返回。而计算的方法则可以直接找到第一个符合条件的数。 举个例子，比如a=6，b=20，m=2，n=3。LCM是6。那么第一个符合条件的数应该是6。而计算的话，起始是6，符合条件。 另一个例子，a=7，b=20，同样的m和n，那么第一个数是12？ 或者等一下，当a=7时，第一个能被6整除的是12吗？是的。因为6比7小，所以下一个是12。 所以，正确的计算方式是，找到第一个大于等于a的LCM的倍数。然后判断是否<=b。如果是的话，这个数就是答案。否则，不存在。 因此，算法可以优化为： 计算LCM后，找到第一个大于等于a的LCM的倍数，记为candidate。如果candidate <=b，那么输出candidate；否则输出No。 这样不需要遍历，直接数学计算即可得到结果。这显然更高效，尤其是在大范围的情况下。对于本题来说，可能区别不大，但这是一个更优的解法。 那如何计算这个candidate呢？ 比如，当a能被LCM整除时，candidate就是a本身。否则，candidate是 (a / LCM + 1) * LCM。或者，用数学表达式来说： candidate = ((a + LCM - 1) / LCM) * LCM; 这样就能得到不小于a的最小的LCM的倍数。例如： a=7，LCM=6。则计算(7+6-1)/6=12/6=2，乘以6得到12。这就是正确的结果。 a=6，同样的计算，(6+6-1)/6=11/6=1.833，取整数除法是1，所以1*6=6。 所以，这样的表达式是正确的。 然后判断这个candidate是否<=b。如果是，就输出。否则，输出No。 这样就能避免遍历整个区间，效率更高。 现在需要考虑特殊情况，比如当LCM为0的情况。但根据题目条件，m和n至少是1，所以LCM不可能为0。因为当m或n为0时，题目不允许，因为输入条件中m和n的范围是1到100。所以不需要处理这种情况。 那现在问题分解为： 1. 计算m和n的GCD。 2. 计算LCM = m * n / GCD。 3. 计算candidate = ((a + LCM -1)/LCM ) * LCM。这里要注意整数除法的问题。 4. 如果candidate >=a且 <=b，则输出candidate；否则输出No。 但需要注意，当LCM为0的情况，但根据输入条件，不会出现。所以可以忽略。 那接下来需要处理的是当m或n为0的情况？根据题目，m和n的范围是1到100，所以不需要考虑。 那现在，如何实现这个逻辑？ 首先，编写求GCD的函数。这里可以用欧几里得算法，递归或者循环的方式。例如： int gcd(int m, int n) { while(n != 0) { int temp = n; n = m % n; m = temp; } return m; } 然后，计算lcm = m * n / gcd(m, n)。这里需要注意，m和n的乘积可能溢出int的范围吗？比如，m和n都是100的话，乘积是10000，而int通常是32位，足够容纳。所以没问题。 然后计算candidate： 如果LCM是0的话？但前面已经排除了这种情况。所以直接计算： int candidate = ((a + lcm -1)/lcm) * lcm; 然后判断candidate是否 <=b。并且是否 >=a？ 例如，当a=5，b=5，lcm=6。那么candidate=6，显然大于b=5，所以不存在。 如果a=6，b=6，lcm=6，则candidate=6，符合条件。 所以判断条件应该是candidate <=b吗？是的，因为candidate >=a？ 是的，因为计算的方式确保了candidate >=a。 例如，当a=7，lcm=6时，candidate=12。但是如果a=7，b=11的话，那么12>11，所以不存在。 所以，判断条件只需要candidate <=b吗？ 是的。所以整个逻辑是： 如果存在这样的数，那一定是第一个candidate，即最小的不小于a的LCM的倍数，且不大于b。否则输出No。 那这样的解法是正确的吗？ 我认为是的。这样就能直接得到结果，而无需遍历每个数。 那现在，如何处理当LCM非常大，例如当m和n互质，导致LCM=m*n，而a和b的范围可能不够的情况？ 比如，m=99，n=100，那么LCM=9900。如果a=100，b=1000，则candidate= ((100 +9900-1)/9900)*9900 = (9999/9900) = 1.009...，整数除法是1，所以1*9900=9900。判断是否<=1000？ 9900>1000，所以不存在，输出No。 这显然正确。 那现在，这个算法的时间复杂度是O(1)，因为只需要计算几个步骤，而无需遍历整个区间。这对于大范围的a和b来说非常高效。 所以，现在需要将这样的逻辑用C++代码实现。 那现在需要考虑输入的合法性吗？根据题目，输入的a、b满足1 < a <=b <1000，m和n在1到100之间。所以在代码中是否需要处理输入错误的情况？题目可能不需要，因为假设输入都是合法的。所以代码可以直接读取四个整数，然后进行处理。 综上，代码的大致结构如下： 读取a, b, m, n。 计算gcd(m,n)，然后计算lcm = m*n / gcd。 如果lcm是0的话？不可能，因为m和n都是>=1。 计算candidate = ((a + lcm -1)/lcm)*lcm. 如果candidate <=b，则输出candidate。否则，输出No. 但是，这里有个问题，当lcm为0的情况？比如当m或者n为0？但题目中m和n的约束是>=1，所以不需要处理这种情况。 那这样，代码是否正确？ 例如，测试案例： 测试案例1： 输入：a=6, b=20, m=2, n=3. gcd(2,3)=1 → lcm=6. candidate = ((6+6-1)/6)*6 → (11/6)=1 →1*6=6. 6<=20，输出6. 测试案例2： 输入：a=7, b=20, m=2, n=3 →lcm=6. candidate = ((7+6-1)/6)*6 → (12/6)=2 →2*6=12. 12<=20，输出12. 测试案例3： a=5, b=5, m=2, n=3 →lcm=6. candidate=6>5 →输出No. 测试案例4： a=12, b=15, m=4, n=6 →gcd(4,6)=2 →lcm=4*6/2=12. candidate= ((12+12-1)/12)*12 → (23/12)=1 →12. 12<=15 →输出12. 测试案例5： a=13, b=24, m=3, n=5 →lcm=15. candidate=15 →符合条件吗？a=13<=15 <=24 →输出15. 测试案例6： 当a=1，但题目中规定a>1，所以测试用例中的输入不会出现这种情况。所以代码不需要处理a<=1的情况。 所以，这样的逻辑是正确的。 那现在编写代码： 需要注意，当m或n为0的情况，但题目中不会出现。所以直接处理即可。 代码： #include <iostream> using namespace std; int gcd(int m, int n) { while (n != 0) { int temp = n; n = m % n; m = temp; } return m; } int main() { int a, b, m, n; cin >> a >> b >> m >> n; int g = gcd(m, n); int lcm = m * n / g; // 计算第一个大于等于a的lcm的倍数 int candidate; if (a % lcm == 0) { candidate = a; } else { candidate = (a / lcm + 1) * lcm; } // 或者用另一种方式： // candidate = ((a + lcm - 1) / lcm) * lcm; if (candidate <= b) { cout << candidate << endl; } else { cout << "No" << endl; } return 0; } 或者，可以将计算candidate的表达式简化为： int candidate = ((a + lcm - 1) / lcm) * lcm; 这样可以避免条件判断，更简洁。 例如，当a能被lcm整除时，a + lcm -1 = a-1 + lcm →例如a=6，lcm=6：6+6-1=11，除以6是1 →1*6=6。正确。 当a=7，lcm=6，7+6-1=12 →12/6=2 →2*6=12. 所以，这样的表达式是正确的。可以替换之前的条件判断。 所以，修改后的代码： #include <iostream> using namespace std; int gcd(int m, int n) { while (n != 0) { int temp = n; n = m % n; m = temp; } return m; } int main() { int a, b, m, n; cin >> a >> b >> m >> n; int g = gcd(m, n); int lcm = m * n / g; int candidate = (a + lcm - 1) / lcm * lcm; // 注意运算顺序，先除法再乘法 if (candidate <= b) { cout << candidate << endl; } else { cout << "No" << endl; } return 0; } 这样代码更简洁。例如，当a=6，lcm=6 →6+6-1=11 →11/6=1 →1*6=6. 当a=7，lcm=6 →7+6-1=12 →12/6=2 →12. 那这样的计算方式是正确的。需要注意的是，在C++中整数除法是向零取整的，所以对于正数来说，这相当于取下取整。 例如，(a + lcm -1) / lcm 的结果等价于ceil(a / lcm)，但这里的处理方式是利用整数除法自动向下取整的特性，得到正确的倍数。 所以，这样的计算方式是正确的。 现在，测试这个代码是否正确。 比如，测试案例： 测试案例1： 输入：6 20 2 3 →输出6. 代码计算： gcd(2,3)=1 →lcm=6. candidate=(6+6-1)/6 *6 →11/6=1 →1*6=6. 6<=20 →输出6. 正确。 测试案例2： 输入：7 20 2 3 →候选数是12。是否在7到20之间？是的。输出12. 测试案例3： 输入：5 5 2 3 →候选数是6>5 →输出No. 测试案例4： a=12, b=15, m=4, n=6 →lcm=12. candidate=(12+12-1)/12 *12 →23/12=1 →12 →输出12. 正确。 测试案例5： a=13, b=24, m=3, n=5 →lcm=15. candidate=(13+15-1)/15=27/15=1.8 →整数除法是1 →1*15=15 <=24 →输出15. 正确。 测试案例6： a=1的情况？题目中不允许，所以代码中不需要处理。假设输入总是符合条件。 那这个代码应该可以正确解决用户的问题。 另外，需要注意当m和n为0的情况？但用户输入的条件排除了这种情况。所以代码不需要处理。 那现在，如果用户输入的a和b的范围内有多个符合条件的数，比如a=6，b=12，m=2，n=3 →lcm=6。那么候选数是6，输出正确。因为这是第一个符合条件的数。 综上，这个代码是正确的。</think>以下是解决该问题的C++代码实现： ```cpp #include <iostream> using namespace std; // 计算最大公约数 int gcd(int m, int n) { while (n != 0) { int temp = n; n = m % n; m = temp; } return m; } int main() { int a, b, m, n; cin >> a >> b >> m >> n; int g = gcd(m, n); int lcm = m * n / g; // 计算最小公倍数 // 计算第一个不小于a的最小公倍数倍数 int candidate = (a + lcm - 1) / lcm * lcm; // 判断候选数是否在[a, b]范围内 if (candidate <= b) { cout << candidate << endl; } else { cout << "No" << endl; } return 0; } ``` ### 步骤说明： 1. **输入处理**：读取正整数 `a`、`b` 和数字 `m`、`n`。 2. **计算最大公约数（GCD）**：通过欧几里得算法求 `m` 和 `n` 的GCD。 3. **计算最小公倍数（LCM）**：利用公式 $LCM(m,n) = \frac{m \times n}{GCD(m,n)}$。 4. **确定候选数**：找到第一个

这道题可以通过计算约数个数来判断一个数是否能被2520整除。因为2520的所有因数都是1~9的倍数，所以如果一个数的因数个数可以被9整除且这个数本身是9的倍数，则这个数能被2520整除。具体实现如下： ```c++ #include <iostream> using namespace std; const int MAXN = 1e6; int main() { int m; cin >> m; int cnt = 0; for (int i = 1; i <= m; i++) { if (i % 9 == 0 && i % 2520 == 0) { // 判断是否能被2520整除 cnt++; } } cout << cnt << endl; return 0; } ``` 时间复杂度为$O(M)$，可以通过本题。