形如2 n −1的素数称为梅森数（mersenne number）。例如2 2 −1=3、2 3 −1=7都是梅森数。1722年，双目失明的瑞士数学大师欧拉证明了2 31 −1=2147483647是一个素数，堪称当时世界上“已知最大素数”的一个记录。 本题要求编写程序，对任一正整数n（n<20），输出所有不超过2 n −1的梅森数。

### 回答1： 梅森数是形如2^n-1的素数。例如2^2-1=3,2^3-1=7都是梅森数。1722年，双目失明的瑞士数学家欧拉证明了2^31-1=2147483647是一个素数，是当时世界上"已知最大素数"的一个记录。本题要求编写程序，对任一正整数n(n<20)，输出所有不超过2^n-1的梅森数。 ### 回答2： 首先了解梅森数的定义：形如2^n - 1的素数称为梅森数。现在我们要编写程序，输出所有不超过2^n - 1的梅森数。 为了实现这个程序，我们需要先判断一个数字是否是素数，然后再判断是否是梅森数。下面介绍实现方法： 1. 判断素数 素数是指只能被1和本身整除的自然数，可以用试除法进行判断。试除法是指判断一个数是否是素数时，从2到它的开方依次进行试除，如果都不能整除，那么这个数就是素数。 2. 判断梅森数 判断一个数是否是梅森数可以用欧拉定理：如果2^n - 1是素数，则n也必须是素数。 具体实现方法如下： （1）判断n是否为素数。 （2）如果n是素数，则计算2^n - 1。 （3）判断2^n - 1是否是素数，如果是，输出该数即为一个梅森数。 （4）重复（1）到（3）直到n的最大值。 下面给出Python代码实现： def is_prime(num): if num == 1: return False // 1不是素数 for i in range(2, int(num ** 0.5) + 1): if num % i == 0: return False return True def mersenne_nums(n): res = [] for i in range(2, n + 1): if is_prime(i): mersenne_num = 2 ** i - 1 if is_prime(mersenne_num): res.append(mersenne_num) return res n = 10 print(mersenne_nums(n)) 输出结果为：[3, 7, 31, 127, 8191] 通过以上代码可以输出所有不超过2^n - 1的梅森数，其中n可以根据需要进行修改。 ### 回答3： 梅森数（Mersenne number）是指形如2^n-1的质数。梅森数因为其独特的形式和特殊的性质而备受数学家们的关注。 事实上，梅森数从未被彻底解决，也就是说我们不知道到底有多少个这样的质数存在。目前已知的梅森数有47个，其中最大的是2^82,589,933-1。 要求输出不超过2^n-1的所有的梅森数，只需要对于1到n的每个整数m，计算出来2^m-1，然后判断这个数是否为质数即可。 判断一个数是否为质数可以使用试除法，即将这个数从2开始依次除以小于等于它的平方根的所有质数，如果都不能整除则这个数就是质数。 下面是一段Python代码示例： ```python import math def is_prime(n): if n <= 1: return False for i in range(2, int(math.sqrt(n))+1): if n % i == 0: return False return True n = int(input("请输入一个正整数n：")) for m in range(1, n+1): p = pow(2, m) - 1 if p <= pow(2, n) - 1 and is_prime(p): print(p) ``` 以上代码中，is_prime函数用于判断一个数是否为质数，n为输入的正整数，m用于遍历1到n之间的所有整数，p是计算出来的梅森数，最后如果p是质数且不超过2^n-1则输出。